初中北京课改版21.1 圆的有关概念课时训练

考向21   圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

【知识梳理】

考点一、圆的有关概念及性质

1．圆的有关概念

 圆、圆心、半径、等圆；

    弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；

    三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．

方法指导：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

2．圆的对称性

    圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

    圆具有旋转不变性．

3．圆的确定

    不在同一直线上的三个点确定一个圆．

方法指导：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

4．垂直于弦的直径

    垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

    推论  平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

方法指导：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．

    注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

5．圆心角、弧、弦之间的关系

    定理  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

    推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．

6．圆周角

    圆周角定理  在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

    推论1  在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2  半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

方法指导：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．

考点二、与圆有关的位置关系

1．点和圆的位置关系

    设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

点P在圆外d＞r；

点P在圆上d＝r；

    点P在圆内d＜r．

方法指导：圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示．

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．

③经过在同一直线上的三点不能作圆．

④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

2．直线和圆的位置关系

（1）切线的判定

    切线的判定定理  经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

    (会过圆上一点画圆的切线)

（2）切线的性质

    切线的性质定理  圆的切线垂直于过切点的半径．

（3）切线长和切线长定理

    切线长  经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

切线长定理  从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

方法指导：直线是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线经过⊙O上的一点A；②OA⊥．

3．圆和圆的位置关系

    (1)基本概念

    两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．

(2)请看下表：

方法指导：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．

    ②同心圆是内含的特殊情况．

    ③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．

    ④“R-r”时，要特别注意，R＞r．

【专项训练】

一、选择题

1. 在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．15

2．如图，AB为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为

A. 70°     

B.35°   

C. 30°    

D. 20°

3．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于 （   ）

A.30°  

B.60°   

C.45°  

D.50°  

4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（   ）                                                      

A. 5      

B. 4       

C. 3     

D. 2

5．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为 （   ）

A.       B.       C.        D. 

6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（　　）

A．   

B．       

C．  

D．

二、填空题

7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线的距离为2，过上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为             .         

8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于        .

9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．

       第8题                  第9题                   第10 题

10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距=       cm．

11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是        .

12．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是　   　（只需填写序号）．

三、解答题

13．如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．

（1）求证：直线PB是⊙O的切线；

（2）求cos∠BCA的值．

14．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1+t(t≥0)．

 (1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；

(2)问点A出发后多少秒两圆相切?

15.已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．

（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；

（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．

16. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考

如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．

当α=      度时，点P到CD的距离最小，最小值为       ．

探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=       度，此时点N到CD的距离是       ．

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．

（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）

答案与解析

一、选择题
1.【答案】C；

【解析】过A作AD⊥BC于D．

在Rt△ABD中，易知∠B=30°，则AD=4，BD=4；

在Rt△ACD中，∠C=45°，则CD=AD=4；

∴BC=BD+CD=4+4≈10.9；

①当⊙B与⊙C外离时，（设⊙C的半径为r）则有：

r+4＜BC=10.9，即0＜r＜6.9；

②当⊙B内含于⊙C时，则有：

r﹣4＞BC=10.9，即r＞14.9；

综合四个选项，只有C选项不在r的取值范围内，故选C．

2.【答案】B；

【解析】如图，连接OD，AC.由∠BOC = 70°，

根据弦径定理，得∠DOC = 140°；

根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 70°.

从而再根据弦径定理，得∠A的度数为35°.故选B.

3.【答案】C；

【解析】连接OC，

∵OC=OA，，PD平分∠APC，

∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO.

∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC.

∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°. 故选C.

4.【答案】C；

【解析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段.如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA.根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4， OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3.故选C.

5.【答案】B；

【解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF.

       根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；

       根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形.

      ∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴BD=.故选B.

6.【答案】D；

【解析】如图，连接AB，

由圆周角定理，得∠C=∠ABO，

在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，

∴．

二、填空题

7．【答案】；

【解析】如图所示，OA⊥，AB是切线，连接OB，

∵OA⊥，∴OA=2，

又∵AB是切线，∴OB⊥AB，

在Rt△AOB中，AB===．

8．【答案】5；

【解析】∵在Rt△ABO中，

，

        ∴AD=2AO=.

        连接CD，则∠ACD=90°.

        ∵在Rt△ADC中，，

        ∴BC=AC－AB=15－10=5.

9．【答案】；

【解析】设正方形ABCD边长为x，∵  ∠POM＝45°，∴  OC＝CD＝x，

∴  OB＝2x，连接OA，在Rt△OAB中，

∴  ．

10．【答案】；

【解析】本题是一个综合性较强的题目，既有两圆相切，又有直线和圆相切．求的长就要以为一边构造直角三角形．过作的平行线，过作的平行线，两线相交于是和的半径之和，设为，则在中解得由题意知不合题意，舍去．

故填.

11．【答案】99°；

   【解析】由，知

从而在中，与互补，

所以故填99.

12．【答案】②③； 

【解析】∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，

∴=≠，

∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

连接OD，

则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD，故②正确；

∵弦CE⊥AB于点F，

∴A为的中点，即=，

又∵C为的中点，

∴=，

∴=，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP．

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

故答案为：②③．

三、解答题

13.【答案与解析】

   （1）证明：连接OB、OP

∵且∠D=∠D，∴  △BDC∽△PDO.

∴∠DBC=∠DPO.∴BC∥OP.

∴∠BCO=∠POA ，∠CBO=∠BOP.

∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO.∴∠BOP=∠POA.

又∵OB=OA， OP=OP， ∴△BOP≌△AOP（SAS）.

∴∠PBO=∠PAO.又∵PA⊥AC， ∴∠PBO=90°.

∴ 直线PB是⊙O的切线 .

（2）由（1）知∠BCO=∠POA.

设PB，则BD=，

又∵PA=PB，∴AD=.

又∵ BC∥OP ，∴.∴.∴ . ∴

∴cos∠BCA=cos∠POA=.   

14.【答案与解析】

    (1)当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；

          当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t-11．

(2)两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11-2t＝1+1+t，t＝3；

②当两圆第一次内切，由题意，可得11-2t＝1+t-1，；

③当两圆第二次内切，由题意，可得2t-11＝1+t-1，t＝11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t-11＝1+t+1，t＝13．

所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切．

15.【答案与解析】

 （1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC===8，

∵PD、PC是⊙O的切线，

∴PD=PC，∠APC=∠APD，

在△APC和△APD中，

，

∴△APC≌△APD（SAS），

∴AD=AC=8．

（2）证明：①连接OD、BD，

∵PD是⊙O的切线，

∴OD⊥PD，

∵PD∥AB，

∴OD⊥AB，

∴=，

∴AD=BD，∠ACD=∠BCD，

∴CD平分∠ACB．

②∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在RT△ADB中，AD2+BD2=AB2，

∴2AD2=102，

∴AD=5．

16.【答案与解析】

解：思考：90，2.

探究一：30，2.

探究二：（1）当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是MP=OM=4，

从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2.

当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，

此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°.

（2）如图4，由探究一可知，

点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，

此时延长PO交AB于点H，

α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，

如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，

连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3.

在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=.∴∠MOH=49°.

∵α=2∠MOH，∴α最小为98°.

∴α的取值范围为：98°≤α≤120°.

 ∴的取值范围是.