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    初中北京课改版21.1 圆的有关概念课时训练

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    这是一份初中北京课改版21.1 圆的有关概念课时训练,共16页。

    考向21   圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

     

    【知识梳理】

    考点一、圆的有关概念及性质

    1.圆的有关概念

     圆、圆心、半径、等圆;

        弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧;

        三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角.

    方法指导等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

    2.圆的对称性

        圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;

        圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;

        圆具有旋转不变性.

    3.圆的确定

        不在同一直线上的三个点确定一个圆.

    方法指导圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.

    4.垂直于弦的直径

        垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

        推论  平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

    方法指导在图中(1)直径CD,(2)CDAB,(3)AM=MB,(4),(5).若上述5个条件有2个成立,则另外3个也成立.因此,垂径定理也称五二三定理.即知二推三.

        注意:(1)(3)作条件时,应限制AB不能为直径.

       

    5.圆心角、弧、弦之间的关系

        定理  在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

        推论  在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等.

    6.圆周角

        圆周角定理  在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

        推论1  在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.

    推论2  半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

    方法指导圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.

     

    考点二、与圆有关的位置关系

    1.点和圆的位置关系

        O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:

    点P在圆外d>r;

    点P在圆上d=r;

        点P在圆内d<r.

    方法指导圆的确定:

    过一点的圆有无数个,如图所示.

    过两点A、B的圆有无数个,如图所示.

    经过在同一直线上的三点不能作圆.

    不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.

    2.直线和圆的位置关系

    (1)切线的判定

        切线的判定定理  经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

        (会过圆上一点画圆的切线)

    (2)切线的性质

        切线的性质定理  圆的切线垂直于过切点的半径.

    (3)切线长和切线长定理

        切线长  经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.

    切线长定理  从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

    方法指导直线O的切线,必须符合两个条件:直线经过O上的一点A;OA

    3.圆和圆的位置关系

        (1)基本概念

        两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义.

    (2)请看下表:

    方法指导

    相切包括内切和外切,相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.

        同心圆是内含的特殊情况.

        圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.

        ④“R-r时,要特别注意,R>r.

     

     

     

     

     

     

    专项训练

    一、选择题

    1. 在△ABC中,,∠C=45°,AB=8,以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离,则⊙C的半径不可能为(  )

    A.5 B.6 C.7 D.15

    2.如图,AB为⊙ O 的直径CD 为弦,AB⊥CD ,如果∠BOC=70°,那么∠A的度数为

    A. 70°     

    B.35°   

    C. 30°    

    D. 20°

    3.已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,则∠CDP等于   

    A.30°  

    B.60°   

    C.45°  

    D.50°  

    4.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为                                                         

    A. 5      

    B. 4       

    C. 3     

    D. 2

    5.如图所示,四边形ABCD中,DC∥ABBC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为   

    A.       B.       C.        D. 

     

     

     

     

    6. 如图,O为原点,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),DABO三点,点C上一点(不与OA两点重合),则cosC的值为(  )

    A.   

    B.       

    C.  

    D.

    二、填空题

    7.已知⊙O的半径为1,圆心O到直线的距离为2,过上任一点A作⊙O的切线,切点为B,则线段AB长度的最小值为             .         

    8.如图,AD,AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC于点B.若OB=5,则BC的长等于        .

    9.如图所示,已知O中,直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及O上,并且POM=45°,则AB的长为________

                  

           第8题                  第9题                   第10 题

    10.如图所示,在边长为3 cm的正方形中,相外切,且分别与边相切,分别与边相切,则圆心距=       cm.

    11.如图所示,的两条切线,是切点,上两点,如果E=46°DCF=32°那么A的度数是        .

     

     

     

     

    12.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是∠ACQ的外心,其中正确结论是     (只需填写序号).

     

      

    三、解答题

    13如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,

    (1)求证:直线PB是⊙O的切线;

    (2)求cos∠BCA的值.

     

     

     

     

     

     

    14.如图所示,点A、B在直线MN上,AB=11厘米,A、B的半径均为1厘米.A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t0).

     (1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式;

    (2)问点A出发后多少秒两圆相切?

     

     

     

     

     

     

    15.已知⊙O的直径AB=10,弦BC=6,点D在⊙O上(与点C在AB两侧),过D作⊙O的切线PD.

    (1)如图①,PD与AB的延长线交于点P,连接PC,若PC与⊙O相切,求弦AD的长;

    (2)如图②,若PD∥AB,①求证:CD平分∠ACB;②求弦AD的长.

     

     

     

     

     

     

     

    16. 如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.

    思考

    如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.

    当α=      度时,点P到CD的距离最小,最小值为      

    探究一

    在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO=       度,此时点N到CD的距离是      

    探究二

    将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.

    (1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;

    (2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.

    (参考数椐:sin49°=,cos41°=,tan37°=.)

          

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    答案与解析

    一、选择题
    1.答案C;

    解析AADBCD

    RtABD中,易知B=30°,则AD=4BD=4

    RtACD中,C=45°,则CD=AD=4

    BC=BD+CD=4+410.9

    BC外离时,(设C的半径为r)则有:

    r+4BC=10.9,即0r6.9

    B内含于C时,则有:

    r4BC=10.9,即r14.9

    综合四个选项,只有C选项不在r的取值范围内,故选C

    2.答案B;

    解析】如图,连接OD,AC.由∠BOC = 70°

    根据弦径定理,得∠DOC = 140°

    根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠DAC = 70°.

    从而再根据弦径定理,得∠A的度数为35°.故选B.

     

    3.答案C;

    解析】连接OC,

    ∵OC=OA,,PD平分∠APC,

    ∴∠CPD=∠DPA,∠CAP=∠ACO.

    ∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC.

    ∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°,∴∠DPA+∠CAP =45°,即∠CDP=45°. 故选C.

    4.答案C;

    解析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段.如图,过点O作OM⊥AB于M,连接OA.根据弦径定理,得AM=BM=4,在Rt△AOM中,由AM=4, OA=5,根据勾股定理得OM=3,即线段OM长的最小值为3.故选C.

          

    5.答案B;

    解析】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF.

           根据直径所对圆周角是直角的性质,得∠FDB=90°;

           根据圆的轴对称性和DC∥AB,得四边形FBCD是等腰梯形.

          ∴DF=CB=1,BF=2+2=4.∴BD=.故选B.

    6.答案D;

    解析】如图,连接AB

    由圆周角定理,得C=ABO

    RtABO中,OA=3,OB=4,由勾股定理,得AB=5,

    二、填空题

    7.答案

    解析】如图所示,OAAB是切线,连接OB

    OA,∴OA=2,

    又∵AB是切线,∴OBAB

    RtAOB中,AB===

     

    8.答案5;

    解析】∵在Rt△ABO中,

            ∴AD=2AO=.

            连接CD,则∠ACD=90°.

         

            ∵在Rt△ADC中,

            ∴BC=AC-AB=15-10=5.

    9.答案

    解析设正方形ABCD边长为x,  POM=45°  OC=CD=x,

      OB=2x,连接OA,在RtOAB中,

     

             

     

    10.答案

    解析本题是一个综合性较强的题目,既有两圆相切,又有直线和圆相切.求的长就要以为一边构造直角三角形.过的平行线,过的平行线,两线相交于的半径之和,设为,则解得由题意知不合题意,舍去.

    故填.

    11.答案99°

       解析

    从而中,互补,

    所以故填99.

     

    12.答案②③ 

    解析O中,AB是直径,点DO上一点,点C是弧AD的中点,

    =

    ∴∠BAD≠∠ABC,故错误;

    连接OD

    ODGDOAD=ODA

    ∵∠ODA+GDP=90°EPA+FAP=FAP+GPD=90°

    ∴∠GPD=GDP

    GP=GD,故正确;

    CEAB于点F

    A的中点,即=

    C的中点,

    =

    =

    ∴∠CAP=ACP

    AP=CP

    AB为圆O的直径,

    ∴∠ACQ=90°

    ∴∠PCQ=PQC

    PC=PQ

    AP=PQ,即PRtACQ斜边AQ的中点,

    PRtACQ的外心,故正确;

    故答案为:②③

    三、解答题

    13.答案与解析

       (1)证明:连接OB、OP

    且∠D=∠D,∴  △BDC∽△PDO.

    ∴∠DBC=∠DPO.∴BC∥OP.

    ∴∠BCO=∠POA ,∠CBO=∠BOP.

    ∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO.∴∠BOP=∠POA.

    又∵OB=OA, OP=OP, ∴△BOP≌△AOP(SAS).

    ∴∠PBO=∠PAO.又∵PA⊥AC, ∴∠PBO=90°.

    ∴ 直线PB是⊙O的切线 .

    (2)由(1)知∠BCO=∠POA.

    设PB,则BD=

    又∵PA=PB,∴AD=.

    又∵ BC∥OP ,∴.∴.∴ . ∴

    ∴cos∠BCA=cos∠POA=.   

    14.答案与解析

        (1)当0t5.5时,函数表达式为d=11-2t;

              当t>5.5时,函数表达式为d=2t-11.

    (2)两圆相切可分为如下四种情况:

    当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+1+t,t=3;

    当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,

    当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11;

    当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.

    所以,点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切.

    15.答案与解析

     (1)解:∵AB是⊙O的直径,

    ∴∠ACB=90°,

    ∴AC===8,

    ∵PD、PC是⊙O的切线,

    ∴PD=PC,∠APC=∠APD,

    在△APC和△APD中,

    ∴△APC≌△APD(SAS),

    ∴AD=AC=8.

    (2)证明:①连接OD、BD,

    ∵PD是⊙O的切线,

    ∴OD⊥PD,

    ∵PD∥AB,

    ∴OD⊥AB,

    =

    ∴AD=BD,∠ACD=∠BCD,

    ∴CD平分∠ACB.

    ②∵AB是⊙O的直径,

    ∴∠ADB=90°,

    在RT△ADB中,AD2+BD2=AB2

    ∴2AD2=102

    ∴AD=5

    16.答案与解析

    解:思考:90,2.

    探究一:30,2.

    探究二(1)PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是MP=OM=4,

    从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2.

    当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,

    此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°.

    (2)如图4,由探究一可知,

    点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD,

    此时延长PO交AB于点H,

    α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,

    如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,

    连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3.

    在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=.∴∠MOH=49°.

    ∵α=2∠MOH,∴α最小为98°.

    ∴α的取值范围为:98°≤α≤120°.

     的取值范围是.

       

     

     

     

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