


初中北京课改版21.1 圆的有关概念课时训练
展开考向21 圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
【知识梳理】
考点一、圆的有关概念及性质
1.圆的有关概念
圆、圆心、半径、等圆;
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧;
三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角.
方法指导:等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
2.圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
圆具有旋转不变性.
3.圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
方法指导:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
4.垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
方法指导:在图中(1)直径CD,(2)CD⊥AB,(3)AM=MB,(4),(5).若上述5个条件有2个成立,则另外3个也成立.因此,垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.
注意:(1)(3)作条件时,应限制AB不能为直径.
5.圆心角、弧、弦之间的关系
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等.
6.圆周角
圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
方法指导:圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.
考点二、与圆有关的位置关系
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆外d>r;
点P在圆上d=r;
点P在圆内d<r.
方法指导:圆的确定:
①过一点的圆有无数个,如图所示.
②过两点A、B的圆有无数个,如图所示.
③经过在同一直线上的三点不能作圆.
④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.
2.直线和圆的位置关系
(1)切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(会过圆上一点画圆的切线)
(2)切线的性质
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
(3)切线长和切线长定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
方法指导:直线是⊙O的切线,必须符合两个条件:①直线经过⊙O上的一点A;②OA⊥.
3.圆和圆的位置关系
(1)基本概念
两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义.
(2)请看下表:
方法指导:
①相切包括内切和外切,相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.
②同心圆是内含的特殊情况.
③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.
④“R-r”时,要特别注意,R>r.
【专项训练】
一、选择题
1. 在△ABC中,,∠C=45°,AB=8,以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离,则⊙C的半径不可能为( )
A.5 B.6 C.7 D.15
2.如图,AB为⊙ O 的直径,CD 为弦,AB⊥CD ,如果∠BOC=70°,那么∠A的度数为
A. 70°
B.35°
C. 30°
D. 20°
3.已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,则∠CDP等于 ( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.50°
4.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
5.如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为 ( )
A. B. C. D.
6. 如图,O为原点,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),⊙D过A、B、O三点,点C为上一点(不与O、A两点重合),则cosC的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.已知⊙O的半径为1,圆心O到直线的距离为2,过上任一点A作⊙O的切线,切点为B,则线段AB长度的最小值为 .
8.如图,AD,AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC于点B.若OB=5,则BC的长等于 .
9.如图所示,已知⊙O中,直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上,并且∠POM=45°,则AB的长为________.
第8题 第9题 第10 题
10.如图所示,在边长为3 cm的正方形中,与相外切,且分别与边相切,分别与边相切,则圆心距= cm.
11.如图所示,是的两条切线,是切点,是上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°那么∠A的度数是 .
12.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是∠ACQ的外心,其中正确结论是 (只需填写序号).
三、解答题
13.如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.
(1)求证:直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
14.如图所示,点A、B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A、⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).
(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式;
(2)问点A出发后多少秒两圆相切?
15.已知⊙O的直径AB=10,弦BC=6,点D在⊙O上(与点C在AB两侧),过D作⊙O的切线PD.
(1)如图①,PD与AB的延长线交于点P,连接PC,若PC与⊙O相切,求弦AD的长;
(2)如图②,若PD∥AB,①求证:CD平分∠ACB;②求弦AD的长.
16. 如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α= 度时,点P到CD的距离最小,最小值为 .
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO= 度,此时点N到CD的距离是 .
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数椐:sin49°=,cos41°=,tan37°=.)
答案与解析
一、选择题
1.【答案】C;
【解析】过A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,易知∠B=30°,则AD=4,BD=4;
在Rt△ACD中,∠C=45°,则CD=AD=4;
∴BC=BD+CD=4+4≈10.9;
①当⊙B与⊙C外离时,(设⊙C的半径为r)则有:
r+4<BC=10.9,即0<r<6.9;
②当⊙B内含于⊙C时,则有:
r﹣4>BC=10.9,即r>14.9;
综合四个选项,只有C选项不在r的取值范围内,故选C.
2.【答案】B;
【解析】如图,连接OD,AC.由∠BOC = 70°,
根据弦径定理,得∠DOC = 140°;
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠DAC = 70°.
从而再根据弦径定理,得∠A的度数为35°.故选B.
3.【答案】C;
【解析】连接OC,
∵OC=OA,,PD平分∠APC,
∴∠CPD=∠DPA,∠CAP=∠ACO.
∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC.
∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°,∴∠DPA+∠CAP =45°,即∠CDP=45°. 故选C.
4.【答案】C;
【解析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段.如图,过点O作OM⊥AB于M,连接OA.根据弦径定理,得AM=BM=4,在Rt△AOM中,由AM=4, OA=5,根据勾股定理得OM=3,即线段OM长的最小值为3.故选C.
5.【答案】B;
【解析】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF.
根据直径所对圆周角是直角的性质,得∠FDB=90°;
根据圆的轴对称性和DC∥AB,得四边形FBCD是等腰梯形.
∴DF=CB=1,BF=2+2=4.∴BD=.故选B.
6.【答案】D;
【解析】如图,连接AB,
由圆周角定理,得∠C=∠ABO,
在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,由勾股定理,得AB=5,
∴.
二、填空题
7.【答案】;
【解析】如图所示,OA⊥,AB是切线,连接OB,
∵OA⊥,∴OA=2,
又∵AB是切线,∴OB⊥AB,
在Rt△AOB中,AB===.
8.【答案】5;
【解析】∵在Rt△ABO中,
,
∴AD=2AO=.
连接CD,则∠ACD=90°.
∵在Rt△ADC中,,
∴BC=AC-AB=15-10=5.
9.【答案】;
【解析】设正方形ABCD边长为x,∵ ∠POM=45°,∴ OC=CD=x,
∴ OB=2x,连接OA,在Rt△OAB中,
∴ .
10.【答案】;
【解析】本题是一个综合性较强的题目,既有两圆相切,又有直线和圆相切.求的长就要以为一边构造直角三角形.过作的平行线,过作的平行线,两线相交于是和的半径之和,设为,则在中解得由题意知不合题意,舍去.
故填.
11.【答案】99°;
【解析】由,知
从而在中,与互补,
所以故填99.
12.【答案】②③;
【解析】∵在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,
∴=≠,
∴∠BAD≠∠ABC,故①错误;
连接OD,
则OD⊥GD,∠OAD=∠ODA,
∵∠ODA+∠GDP=90°,∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°,
∴∠GPD=∠GDP;
∴GP=GD,故②正确;
∵弦CE⊥AB于点F,
∴A为的中点,即=,
又∵C为的中点,
∴=,
∴=,
∴∠CAP=∠ACP,
∴AP=CP.
∵AB为圆O的直径,
∴∠ACQ=90°,
∴∠PCQ=∠PQC,
∴PC=PQ,
∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点,
∴P为Rt△ACQ的外心,故③正确;
故答案为:②③.
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)证明:连接OB、OP
∵且∠D=∠D,∴ △BDC∽△PDO.
∴∠DBC=∠DPO.∴BC∥OP.
∴∠BCO=∠POA ,∠CBO=∠BOP.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO.∴∠BOP=∠POA.
又∵OB=OA, OP=OP, ∴△BOP≌△AOP(SAS).
∴∠PBO=∠PAO.又∵PA⊥AC, ∴∠PBO=90°.
∴ 直线PB是⊙O的切线 .
(2)由(1)知∠BCO=∠POA.
设PB,则BD=,
又∵PA=PB,∴AD=.
又∵ BC∥OP ,∴.∴.∴ . ∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=.
14.【答案与解析】
(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;
当t>5.5时,函数表达式为d=2t-11.
(2)两圆相切可分为如下四种情况:
①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+1+t,t=3;
②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,;
③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11;
④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.
所以,点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切.
15.【答案与解析】
(1)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC===8,
∵PD、PC是⊙O的切线,
∴PD=PC,∠APC=∠APD,
在△APC和△APD中,
,
∴△APC≌△APD(SAS),
∴AD=AC=8.
(2)证明:①连接OD、BD,
∵PD是⊙O的切线,
∴OD⊥PD,
∵PD∥AB,
∴OD⊥AB,
∴=,
∴AD=BD,∠ACD=∠BCD,
∴CD平分∠ACB.
②∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
在RT△ADB中,AD2+BD2=AB2,
∴2AD2=102,
∴AD=5.
16.【答案与解析】
解:思考:90,2.
探究一:30,2.
探究二:(1)当PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是MP=OM=4,
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2.
当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,
此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°.
(2)如图4,由探究一可知,
点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD,
此时延长PO交AB于点H,
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,
如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,
连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3.
在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=.∴∠MOH=49°.
∵α=2∠MOH,∴α最小为98°.
∴α的取值范围为:98°≤α≤120°.
∴的取值范围是.
初中数学北京课改版九年级上册21.1 圆的有关概念课后测评: 这是一份初中数学北京课改版九年级上册21.1 圆的有关概念课后测评,共12页。
考向18 特殊的四边形(能力提升)-2023年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练+知识梳理+答案与解析: 这是一份考向18 特殊的四边形(能力提升)-2023年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练+知识梳理+答案与解析,共16页。
考向16 勾股定理及其逆定理(能力提升)-2023年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练+知识梳理+答案与解析: 这是一份考向16 勾股定理及其逆定理(能力提升)-2023年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练+知识梳理+答案与解析,共15页。