2022年山东省潍坊市高考数学核心素养测评试卷（3月份）

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这是一份2022年山东省潍坊市高考数学核心素养测评试卷（3月份），共20页。试卷主要包含了250-1除以7的余数是，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。

2022年山东省潍坊市高考数学核心素养测评试卷（3月份）

1.（5分）如图，已知全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x|(x+1)(x-2)>0}，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为()

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.（5分）“a>1，b>1”是“ab>1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（5分）设函数f(x)={x-3,x⩾10f(f(x+4)),xa恒成立，则实数a的取值范围为()
A. (-∞,0]∪(32,+∞) B. (2,+∞)
C. (-∞,32) D. (-∞,2)
6.（5分）250-1除以7的余数是()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.（5分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，直线y=kx交E于第一象限内的点B.点C在E上，若四边形OABC为平行四边形，则()
A. 若k越大，则E的长轴越长 B. 若k越大，则E越扁
C. 若k=33，则E的离心率为223 D. 若k=3，则E的离心率最大
8.（5分）如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn+1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn.设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为Xn，(n∈N*)，则Xn=()

A. 112πa2(19)n-1
B. 332πa2[1-(19)n]
C. 18πa2[1-(13)n]
D. 112πa2[(19)n-1-(13)n-1+1]
9.（5分）已知复数z满足|z|=|z-1|=1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是()
A. 复数z的虚部为32i B. 1z=12-32i
C. z2=z-1 D. 复数z的共轭复数为-12+32i
10.（5分）已知事件A，B满足A⊆B，且P(B)=0.5，则一定有()
A. P(A-B)>0.5 B. P(B-|A)0,b>0)与双曲线E2：x2a2-y2b2=λ(0|BD|
13.（5分）在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P为CD的中点，则AB→·AP→=______.
14.（5分）已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在[-π4,π8]上单调递增，则ω的一个取值为 ______.
15.（5分）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：3，AC=4，则△ABD面积的最大值为 ______.
16.（5分）设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点，则a2+b2的最小值为 ______.
17.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为3(a2+b2-c2)4.
(1)求∠C；
(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB.

18.（12分）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，将梯形AA1C1C绕AA1旋转至AA1D1D位置，二面角D1-AA1-C1的大小为30°.
(1)证明：A1，B1，C1，D1四点共面，且A1D1⊥平面ABB1A1；
(2)若AA1=A1C1=2AB=4，设G为DD1的中点，求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值．

19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0,18)，点P到点M的距离比点P到x轴的距离大18，记P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)过点P(x0,y0)(其中x0≠0)的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足|PA|=|PB|.记k1为直线EF的斜率，k2为C在点P处的切线斜率，判断k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
20.（12分）已知{an}和{bn}均为等差数列，a1=b1=1，a3=a1+a2，b5=b4+a2，记cn=max{b1-na1,b2-na2,…，bn-nan}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．
(1)计算c1，c2，c3，猜想数列{cn}的通项公式并证明；
(2)设数列{1(3-cn)(2-cn)}的前n项和为Sn，若Sn0).
(1)当x⩾1时，f(x)⩽0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，g(x)=xf(x)+x2-1，方程g(x)=m的根为x1，x2，且x2>x1，求证：x2-x1>1+em.
22.（12分）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第k(k=1,2,…，100)个箱子中有k个数学题，100-k个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．
(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p，答对每一个物理题的概率为q.
①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；
②已知p+q=1，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p，q的值．
(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．

答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为A∩CUB，
∵A={1,2,3,4,5}，B={x|(x+1)(x-2)>0}={x|x>2或x1，b>1”⇒“ab>1”，反之不成立，例如取a=12，b=4．
∴“a>1，b>1”是“ab>1”的充分不必要条件．
故选：A．
“a>1，b>1”⇒“ab>1”，反之不成立，例如取a=12，b=4.即可判断出结论．
该题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.【答案】C
【解析】解：函数f(x)={x-3,x⩾10f(f(x+4)),xa恒成立，
∴|a-3|>a，
①当a-3⩾0，即a⩾3时，∴a-3>a，∴a∈∅，
②当a-30)，
∴a2=4x02，
又∵x02a2+k2x02b2=1，则x02=a2b2a2k2+b2，
∴a2=4x02=4a2b2a2k2+b2，
∴4b2=a2k2+b2，∴a2=3b2k2，
对于选项A：当k增大时，a2变小，则a变小，故A错误，
对于选项B：e=1-b2a2=1-b23b2k2=1-k23(k>0)，
∴当k越大时，e越小，则E越接近于圆，故选项B错误，
对于选项C：由B可知，当k=33时，e=1-19=223，故选项C正确，
对于选项D：由B可知，当k越小时，e越大，但是k≠0(此时不为平行四边形)，
故e无最大值，故选项D错误，
故选：C.
由题意可知点B，点C关于y轴对称，且BC=OA=a，设B(x0,kx0)，则a2=4x02，又x02a2+k2x02b2=1，可得a2=4a2b2a2k2+b2，即a2=3b2k2，可判断A错误，由e=1-k23(k>0)，可判断B错误，C正确，D错误．
此题主要考查了椭圆的性质，以及离心率，属于中档题．

8.【答案】B
【解析】解：由正三角形的内心也是中心，也为重心，
故在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，所以圆D1的半径为32a×13=36a，
圆D2的半径为r，则36a-r=2r，解得r=318a，
故圆D2的半径为圆D1的半径的13，
同理可得圆D1，D2，…，Dn的半径构成以圆D1的半径为首项，13为公比的等比数列，
故圆D1，D2，…，Dn的面积构成以圆D1的面积为首项，19为公比的等比数列，
故圆D1，D2，…，Dn的面积之和为Xn=π(3a6)2(1-19n)1-19=332πa2(1-19n)，(n∈N*).
故选：B.
先求出圆D1的半径为32a×13=36a，可求得D2的半径为318a，可得圆D1，D2，…，Dn的面积构成以圆D1的面积为首项，19为公比的等比数列，可求Xn.
此题主要考查归纳推理，以及三角形内切圆的半径的求法，属中档题．

9.【答案】BC
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
∵复数z对应的点在第一象限，∴a>0，b>0，
∵|z|=|z-1|=1，∴{a2+b2=1(a-1)2+b2=1，解得a=12，b=32，
∴z=12+32i，复数z的虚部为32，故A错误，
1z=21+3i=2(1-3i)(1+3i)(1-3i)=12-32i，故B正确，
∵z2=(12+32i)2=14-34+32i=-12+32i，
z-1=12+32i-1=-12+32i，∴z2=z-1，故C正确，
z-=12-32i，故D错误．
故选：BC.
根据复数的几何意义，以及复数模公式，求出复数z，再结合复数的运算，以及共轭复数的定义，依次求解．
此题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．

10.【答案】CD
【解析】解：∵A⊆B，P(B)=0.5，∴P(A)0.5×0.5=0.25，故A错误，
B.P(B-|A)=P(B-A)P(A)=P(B-)P(A)P(A)=0.5，故B错误，
C.P(AB-)=P(A)P(B-)0.5×0.50.5=0.5，故D正确．
故选：CD.
根据条件概率的定义逐个进行分析即可．
此题主要考查条件概率，考查学生的运算求解能力，属于中档题．

11.【答案】ACD
【解析】解：如图，建立空间直接坐标系，连结\(B_{1}D\)，交平面\(A_{1}BC_{1}\)于点\(O\)，

所以\(D(0,0,0)\)，\(B_{1}(3,3,3)\)，\(A_{1}(3,0,3)\)，\(B(3,3,0)\)，\(C_{1}(0,3,3)\)，
\(\overrightarrow {DB_{1}}=(3,3,3),\overrightarrow {A_{1}B}=(0,3,-3),\overrightarrow {BC_{1}}=(-3,0,3)\)，
所以\(\overrightarrow {DB_{1}}_{}_{}⋅\overrightarrow {A_{1}B}=0,\overrightarrow {DB_{1}}_{}⋅\overrightarrow {BC_{1}}=0\)，
\(∴DB_{1}⊥A_{1}B\)，\(DB_{1}⊥BC_{1}\)，
又\(A_{1}B∩BC_{1}=B\)，
\(∴DB_{1}⊥\)平面\(A_{1}BC_{1}\)，
\(∵P\in\)平面\(A_{1}BC_{1}\)，\(∴PB⊥DB_{1}\)，故\(A\)正确；
设\(DB_{1}\)与平面\(A_{1}BC_{1}\)的交点为\(O\)，并设\(O(x,y,z)\)，
由于\(O\)在\(DB_{1}\)上，设\(\overrightarrow {DO}=λ\overrightarrow {DB_{1}}\)，得\(x=y=z=3λ,\overrightarrow {A_{1}O}=(x-3,y,z-3)\)，
由空间向量基本定理可知：\(\overrightarrow {A_{1}O}=m\overrightarrow {A_{1}B}+n\overrightarrow {A_{1}C_{1}}=(-3n,3m+3n,-3m)\)，
得方程：\(\begin{cases}3λ=-3n+3\\ 3λ=3m+3n\\ 3λ=-3m+3\end{cases}\)，解得：\(m=n=\dfrac{1}{3},λ=\dfrac{2}{3}\)，
故\(O(2,2,2)∴DB_{1}=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{3}\)，
\(∴DO=\dfrac{2}{3}DB_{1}=2\sqrt{3}\)，\(OB_{1}=\sqrt{3}\)，
将平面\(A_{1}BC_{1}\)的直观图分离出来如下：

依题意，\(DP+PB_{1}=2+\sqrt{13}\)，\(OB_{1}=\sqrt{3},OD=2\sqrt{3},DB_{1}⊥OP\)，
\(∴\begin{cases}{OB_{1}^{2}+OP^{2}=PB_{1}^{2}}\\ {OD^{2}+OP^{2}=PD^{2}}\end{cases}\)，解得\(OP=1\)，\(PB_{1}=2\)，\(PD=\sqrt{13}\)，
故\(P\)点的轨迹是以\(O\)为圆心，半径为\(1\)的圆，故\(B\)错误；
\(B_{1}P\)与平面\(A_{1}BC_{1}\)的夹角就是\(∠B_{1}PO,\sin∠B_{1}PO=\dfrac{OB_{1}}{PB_{1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
所以\(∠B_{1}PO=\dfrac{π}{3}\)，故\(C\)正确；
三棱锥\(P-BB_{1}C_{1}\)底面为三角形\(BB_{1}C\)，其面积为\(\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}\)，是定值，
故当\(P\)到底面三角形\(BB_{1}C\)的距离\(h\)最大时，三棱锥的体积取得最大值，
因为\(P\)在以\(O\)为圆心，半径为\(1\)的圆上，
而球心\(O\)到平面\(BB_{1}C\)距离为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，
故\(P\)到\(P\)到底面三角形\(BB_{1}C\)的距离\(h\)的最大值为\(1+\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，
所以三棱锥\(P-BB_{1}C_{1}\)体积的最大值为\(\dfrac{1}{3}×\dfrac{9}{2}×(1+\dfrac{\sqrt{6}}{3})=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)，故\(D\)正确；
故选：\(ACD.\)
建立空间直角坐标系，结合向量法和综合法对各个选项进行逐一计算验证．
此题主要考查了立体几何的综合，属于难题．

12.【答案】AC
【解析】解：E1：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±bax，离心率为ca，
E2：x2a2-y2b2=λ(0