2022年山东省五莲县、诸城市、安丘市、兰山区四县区高考数学过程性试卷

2022年山东省五莲县、诸城市、安丘市、兰山区四县区高考数学过程性试卷

1.（5分）已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

2.（5分）已知，则在复平面内复数对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.（5分）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为

A.  B.  C.  D.

4.（5分）下列区间中，函数单调递减的区间是

A.  B.
C.  D.

5.（5分）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的解集为

A.  B.
C.  D.

6.（5分）按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，年为碳达峰时期，年实现碳中和，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为 
参考数据：，

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知定义在上的函数且，为自然对数的底数，，则

A.  B.
C.  D. 与实数的取值有关

9.（5分）我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力，年年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示，根据下面图表、下列说法一定正确的是

A. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的小
B. 该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
C. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D. 年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比年有所上升

10.（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，，则

A.  B.
C.  D. 点的坐标为

11.（5分）已知函数，则下列结论正确的是

A. 是周期函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在处取得最大值

12.（5分）在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点，则下列说法正确的是
 

A. 点为中点时，
B. 点与点重合时三棱锥外接球体积为
C. 当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上
D. 当为中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为

13.（5分）若函数，则______.

14.（5分）若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为 ______.

15.（5分）一个箱子中装有形状完全相同的个白球和个黑球，现从中有放回的摸取次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则______.

16.（5分）已知数列中，，对任意，，，成等差数列，公差为，则______．

17.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，， 
若，，求； 
点在边上，且，证明：平分

18.（12分）已知数列中，，，，，，，成等差数列． 
求的值和的通项公式； 
设，求数列的前项和

19.（12分）如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，，，为的中点． 
证明：平面平面； 
若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
 

20.（12分）第届冬季奥林匹克运动会，即年北京冬季奥运会，于年月日星期五开幕，月日星期日闭幕．北京冬季奥运会设个大项，个分项，个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中 
甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； 
若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求的值； 
在的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．

21.（12分）已知圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为 
求的方程； 
过点的直线与交于，两点，轴于点，轴于点，直线交直线于点，求证：点，，三点共线．

22.（12分）已知函数，且在上的最大值为 
求实数的值； 
讨论函数在内的零点个数，并加以证明．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合，， 
， 
故选： 
利用交集的运算直接求解． 
此题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
 

2.【答案】A

【解析】解：， 
， 
， 
故对应的点位于第一象限， 
故选： 
根据复数的运算，化简，求出，从而求出答案即可． 
此题主要考查了复数的运算，考查转化思想，是基础题．
 

3.【答案】D

【解析】解：如图，是正四棱锥的高， 
 
设底面边长为，则底面积为， 
因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为， 
所以，又，所以， 
所以是正三角形，面积为， 
所以，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为， 
故选： 
设底面边长为，由线面角的定义可得侧棱长，然后分别求侧面的面积和底面的面积即可得解． 
此题主要考查棱锥的几何特征，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】B

【解析】解：在区间上，，函数单调递增，故排除； 
在区间上，，函数单调递减，故满足条件； 
在区间上，，函数不单调，故排除； 
在区间上，，函数单调递增，故排除， 
故选： 
由题意，利用诱导公式、正弦函数的单调性，得出结论． 
此题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性，属于中档题．
 

5.【答案】C

【解析】解：是定义在上的奇函数，且当时，， 
所以时，， 
则， 
所以，， 
由得或， 
故或 
故选： 
由已知结合奇函数定义可求出时的函数解析式，进而可求． 
此题主要考查了函数奇偶性在求解不等式中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】B

【解析】解：由题意可得，电池的容量为定值， 
则，即， 
两边取对数可得，，即， 
故 
故选： 
由题意可得，电池的容量为定值，则，即，再结合对数函数的公式，即可求解． 
此题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
 

7.【答案】C

【解析】解：连接，根据抛物线定义可知，点到抛物线准线的距离等于点到焦点的距离， 
连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示， 
 
此时点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和最小即为的长度， 
其中，故， 
故选： 
根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解． 
此题主要考查抛物线的几何性质，圆锥曲线中的范围与最值问题，属于中等题．
 

8.【答案】B

【解析】解：根据题意，函数且， 
则， 
则有； 
故； 
故选： 
根据题意，由函数的解析式分析可得，由此分析可得答案． 
此题主要考查函数值的计算，注意分析的值，属于基础题．
 

9.【答案】CD

【解析】解：对于，由表中数据可知，城镇居民相关数据极差较大，故错误， 
对于：这个图表是到年城镇居民与农村居民可支配收入的增长率，通过这个我们并不能得出该市农村居民可支配收入高于城镇居民，故错误， 
对于：由表中数据可知，对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村的比城镇的大， 
故正确， 
对于：由表中数据可知，增长率为正，故正确， 
故选： 
根据图表中的信息，逐个判断各个选项即可． 
此题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
 

10.【答案】ABD

【解析】解：由已知可得，， 
点绕点沿顺时针方向旋转相当于点绕点沿逆时针方向旋转， 
， 
， 
， 
又，故，，，故选项正确； 
，故选项正确； 
， 
，故选项正确； 
显然，故选项错误． 
故选： 
根据题意求得，进而求得，，，再逐项判断即可． 
本题以新定义在载体，旨在考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】BD

【解析】解：因为，的最小周期是，的最小正周期是，但，， 
所以函数不是周期函数，故错误； 
B.设，，， 
当时，同理可得，且，所以函数是奇函数，故正确； 
C.，，，所以函数的图象不关于直线对称，故错误； 
D.当时，，所以函数取得最大值，故正确． 
故选： 
首先化简函数，再根据函数周期的定义，判断； 
利用函数奇偶性的定义，判断； 
利用对称性的特征，举反例，判断； 
代入验证 
此题主要考查了三角函数性质及诱导公式，属于中档题．
 

12.【答案】ACD

【解析】解：对于，为的中位线，故， 
又平面，故平面，则，故正确； 
对于，与重合时，三棱锥的外接球即正方体外接球，故，故错误； 
对于，过的中心且垂直于平面，故以为底的三棱锥，球心在上，故正确； 
对于，在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的两段孤， 
在平面和平面上，轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，故，故正确， 
故选： 
由题意，为棱上的动点，则对应点在不同的位置，对各项进行分析即可． 
此题主要考查点的轨迹方程，及球的体积和表面积，考查学生的推理运算能力，属于难题．
 

13.【答案】 -2

【解析】解：根据题意，函数， 
则， 
则； 
故答案为： 
根据题意，由函数的解析式计算可得答案． 
此题主要考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为， 
所以，， 
故答案为： 
根据渐近线方程，得到、的比例关系，然后去求解离心率可得答案． 
此题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于基础题．
 

15.【答案】 2

【解析】解：有放回的摸取次，每次随机摸取一球是白球的概率相等，设为， 
而摸取次即为一次试验，只有两个不同结果， 
因此，，则，解得， 
所以 
故答案为： 
根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式计算作答． 
此题主要考查了二项分布的期望、方差公式，属于基础题．
 

16.【答案】 299

【解析】解：数列中，，对任意，，，成等差数列，公差为，  
，，，，  
． 
故答案为：． 
推导出，，，从而，由此能求出． 
此题主要考查等差数列的第项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】解：（1）由sinA-2sinB，可得a=2b=4， 
所以cosC==-， 
因为C∈（0，π）， 
所以C=； 
（2）证明：设∠BCD=α，∠ACD=β， 
因为sinA=2sinB，由正弦定理得a=2b， 
在△BCD中，由正弦定理得：=，① 
在△ACD中，由正弦定理得：=，② 
因为sin∠BDC=sin∠ADC，a=2b， 
所以可得sinα=sinβ， 
因为0＜α，β＜， 
所以α=β，即CD平分∠ACB．
 

【解析】 
根据正弦定理可知，根据余弦定理可求，由此即可求； 
由正弦定理证明即可． 
此题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：（1）+，+，+成等差数列， 
所以2（+）=+++， 
得-=-，得（k-1）=（k-1）， 
因为k≠1，所以==2， 
所以，得=； 
（2）， 
当n为偶数时，设n=2k， 
可得Sn=S2k=++⋅⋅⋅++++⋯+==， 
即， 
当n为奇数时，设n=2k-1， 
可得Sn=S2k-1=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+==， 
即， 
综上所述，．

【解析】 
由，，成等差数列，可求得，即可求出值和通项公式； 
由可求出的通项公式，分类讨论即可求出数列的前项和 
此题主要考查了数列的递推式和求和，属于中档题．
 

19.【答案】证明：（1）因为PD⊥底面ABCD，BC⊂面ABCD，则PD⊥BC， 
由∠BAD=90°，AD=AB=1， 
则，又∠CDA=90°，则AB∥DC， 
若F为CD中点，连接BF， 
易知ABFD为正方形，则BF=1，又CD=2，即FC=1，所以， 
综上BC2+BD2=CD2，即BD⊥BC， 
又BD∩PD=D，则BC⊥面PBD，又BC⊂面BCE， 
所以平面PBD⊥平面BCE； 
 
解：（2）由题设，以DA，DC，DP分别为x，与y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=m， 
则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），，P（0，0，m）， 
 
所以，，， 
设为面PBC的一个法向量，则， 
令x=1，则， 
设为面EBC的一个法向量，则， 
令a=1，则， 
所以，整理得， 
所以，即，易得PA=2，， 
由PD⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，则PD⊥AB，又∠BAD=90°，即AD⊥AB， 
由PD∩AD=D，则AB⊥面PAD，PA⊂面PAD，即AB⊥PA， 
所以在直角△PAB中，， 
在△PBC中，，，，即PB2+BC2=PC2，则PB⊥BC， 
所以． 
由上有且面PBC的一个法向量， 
则，故E到面PBC的距离．， 
所以．

【解析】 
线面垂直的性质可得，若为中点，连接，由正方形的性质及勾股定理可得，再由线面垂直的性质有面，最后根据面面垂直的判定证结论； 
构建空间直角坐标系，设求相关点坐标，再求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合二面角的余弦值求参数，最后求、向量法求到面的距离，再由体积公式求棱锥的体积． 
此题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 
∵， 
∴， 
∴， 
∴甲进入决赛可能性最大． 
（2）P=P1×P2×（1-P3）+P1P3（1-P2）+P2P3（1-P1）==， 
解得， 
∵，解得p=或p=， 
∵， 
∴p=． 
（3）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，3， 
P（ξ=0）=， 
， 
，， 
故ξ的分布列为：

【解析】 
分别求出甲，乙，丙三人初赛的两轮均获胜的概率，通过比较，即可求解． 
根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解． 
由题意可得，所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，即可求解． 
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，需要学生很强的综合能力，属于难题．
 

21.【答案】解：（1）由题设，所以=2， 
又因为c=2，=+，所以2=+4，解得=4，=8， 
所以椭圆M的方程为． 
（2）证明：由题意可知，直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2）， 
由，得（1+2）-8x+（8-8）=0， 
设A（，），B（，），则，， 
因为AD⊥x轴，所以D（，0）， 
直线BD方程为，所以， 
因为BC⊥x轴，所以C（，0）， 
因为，， 
所以======0， 
所以C，A，E三点共线．

【解析】 
由题设，又，，解得，，进而可得答案． 
由题意可知，直线斜率存在，设，，直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由于轴，则，写出直线的方程，进而可得点的坐标，写出直线的斜率，在计算，即可得出答案． 
此题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：（1）因为，所以， 
当时，有， 
当a=0时，，不符合条件， 
当a＜0时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调递减， 
即，不符合条件， 
当a＞0时，f'（x）＞0．则f（x）在上单调递增， 
即，解得a=1； 
（2）有（1）知f（x）在单调递增， 
因为，，所以f（x）在内存在唯一的零点， 
当，， 
因为，f'（π）=-ln（π+1）＜0， 
所以f'（x）在内存在零点，即f'（）=0， 
因为， 
所以当时，有f''（x）＜0，即f'（x）在上单调递减， 
所以当时，f'（x）=f'（）=0，即f（x）在上单调递增， 
所以有，即f（x）在无零点， 
当x∈[，π]时，f'（x）＜f'（）=0，所以f（x）在[，π]上单调递减， 
因为f（）＞0，f（π）＜0，所以f（x）在[，π]内有且仅有一个零点， 
综上所述，f（x）在[0，π]内有两个零点．

【解析】 
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的最大值，得到关于的方程，求出的值即可； 
求出函数在上单调递增，得到个零点，再讨论在上的单调性从而求出另个零点即可． 
此题主要考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．