2022年山东省淄博市高考数学三模试卷

2022年山东省淄博市高考数学三模试卷

1.（5分）若集合，，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）已知条件：直线与直线平行，条件：，则是的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.（5分）已知抛物线：的准线被圆所截得的弦长为，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）若球的半径为，一个内接圆台的两底面半径分别为和球心在圆台的两底面之间，则圆台的体积为

A.  B.
C.  D.

5.（5分）如图在中，，为中点，，，，则
 

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知，且，则

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知正项等比数列的前项和为，且，，成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）正边形…内接于单位圆，任取其两个不同顶点，，则的概率是

A.  B.
C.  D.

9.（5分）已知矩形中，，若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双曲线上，则该双曲线的离心率可为

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知复数，，满足，下列说法正确的是

A. 若，则 B.
C. 若，则 D.

11.（5分）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是

A. 事件与事件相互独立 B.
C.  D.

12.（5分）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是

A. 的图像关于对称
B.
C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增
D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为

13.（5分）若，则______.

14.（5分）设，若，则______.

15.（5分）设随机变量，满足若，则______.

16.（5分）已知我国某省二、三、四线城市数量之比为：：年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元平方米，方差为其中三、四线城市的房产均价分别为万元平方米，万元平方米，三、四线城市房价的方差分别为，，则二线城市房产均价为 ______万元平方米，二线城市房价的方差为 ______.

17.（12分）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为 
求函数的解析式； 
记的内角，，的对边分别为，，，，，若角的平分线交于，求的长．

18.（12分）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列． 
求数列的通项公式； 
若，求数列的前项和

19.（12分）元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满万元，可减千元；方案二：金额超过万元含万元，可摇号三次，其规则是依次装有个幸运号、个吉祥号的一个摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的二号摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出个幸运号则打折，若摇出个幸运号则打折；若摇出个幸运号则打折；若没有摇出幸运号则不打折．  
若某型号的车正好万元，两个顾客都选中第二中方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；  
若你评优看中一款价格为万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案．

20.（12分）已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面 
证明：四边形为矩形； 
当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
 

21.（12分）如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为 
求椭圆的标准方程； 
设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点，点在之间，若为线段上的点，且满足，证明：
 

22.（12分）已知，，，为函数的两个零点，，曲线在点处的切线方程为，其中…为自然对数的底数． 
当时，比较与的大小； 
若，且，证明：

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合或， 
， 
， 
 
故选： 
求出集合，进而是得到，由此能求出 
此题主要考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】C

【解析】解：直线与直线平行， 
故，解得或， 
所以是的必要不充分条件， 
故选 
利用直线平行的充要条件，列方程求出的值，再判断充分、必要条件即可． 
此题主要考查直线平行的充要条件，考查运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】C

【解析】解：因为抛物线的准线方程为， 
，解得 
故选： 
先求出抛物线的准线方程，再根据勾股定理列方程可解得 
此题主要考查了直线与圆相交的性质，属基础题．
 

4.【答案】A

【解析】解：由题意得，，，如图， 
 
则，， 
圆台的高为， 
圆台的体积为 
故选： 
由已知求出圆台的高，然后求出圆台体积公式得答案． 
此题主要考查圆台体积的求法，考查圆台的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

5.【答案】C

【解析】解：，为中点，，， 
，， 
又，， 
 
 
， 
故选： 
将所求问题中的向量转换成以为起点的向量，再通过向量数量积运算即可求解． 
此题主要考查平面向量数量积运算，化归转化思想，属基础题．
 

6.【答案】C

【解析】解：，且， 
，，或， 
，或舍去，， 
则， 
故选： 
由题意，利用查两角和的正弦公式求得的值，可得的值． 
此题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】B

【解析】解：正项等比数列的前项和为，且，，成等差数列． 
，公比， 
， 
即：，解得， 
存在，，使得，即， 
， 
， 
， 
当且仅当，取等号． 
即，，的最小值为， 
故选： 
正项等比数列满足，，成等差数列，知，由存在两项，，使得，知，然后利用基本不等式求解即可． 
此题主要考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．
 

8.【答案】B

【解析】解：由， 
可得， 
因为，所以，， 
对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有， 
因此，的概率为 
故选： 
分析可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的概率公式可求得结果． 
此题主要考查了向量夹角的计算以及古典概型概率计算，属于中档题．
 

9.【答案】CD

【解析】解：设双曲线方程为，矩形中，矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双曲线上，双曲线经过，焦点坐标，可得，解得， 
所以，该双曲线的离心率为 
或双曲线经过，焦点坐标，可得，解得， 
所以，该双曲线的离心率为 
故选： 
设出双曲线方程，通过点的坐标满足双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可． 
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
 

10.【答案】BD

【解析】解：对选项，设， 
则，，不满足，故错误； 
对选项，设，在复平面内表示的向量分别为，且， 
当方向相同时，， 
当方向不相同时，， 
综上，故正确； 
对选项，设，，， 
，故错误； 
对选项，设，，，，，， 
， 
则， 
， 
故正确． 
故选： 
对选项，，利用特殊值法即可判断，错误，对选项，根据复数模长的性质即可判断正确，对选项，根据复数模长公式即可判断正确． 
此题主要考查了复数的运算，属于中档题．
 

11.【答案】BD

【解析】解：由题意得，，， 
先发生，此时乙袋中有个红球，个白球和个黑球，则， 
先发生，此时乙袋中有个红球，个白球和个黑球，则， 
先发生，此时乙袋中有个球，个白球和个黑球，则， 
，故正确； 
，， 
，故错误； 
，，，故错误； 
，故正确． 
故选： 
由题设求出，利用全概率公式、条件概率公式进行求解． 
此题主要考查命题真假的判断，考查条件概率、全概率公式、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】BC

【解析】解：根据题意，依次分析选项： 
对于，函数满足，则的图像关于点对称，错误； 
对于，是偶函数且满足，则有，即， 
同时有，则有，正确； 
对于，函数在区间上单调递增，且的图像关于点对称，则在上也是增函数， 
又由，则在区间上单调递增，正确； 
对于，若，，则，又由，则，错误； 
故选： 
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 
此题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性和对称性，属于中档题．
 

13.【答案】 7

【解析】解：由题意可得， 
解得或舍去或舍去或舍去或舍去， 
故答案为： 
直接利用排列数、组合数公式求解即可． 
此题主要考查了排列数、组合数公式的运用，是基础题．
 

14.【答案】 9

【解析】解：函数， 
函数每一段均单调递增， 
又， 
， 
舍， 
故答案为： 
根据函数每一段均单调递增，可得，由此求出 
此题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】

【解析】解：随机变量， 
，解得， 
， 
 
故答案为： 
根据已知条件，结合对立事件概率和为，先求出，再结合方差的公式，即可求解． 
此题主要考查离散型随机变量方差的求解，考查转化能力，属于基础题．
 

16.【答案】 2  29.9; 略

【解析】解：设二线城市房产均价为，方差为，因为二、三、四线城市数量之比为：：，二、三、四线城市房产均价为万元平方米，三、四线城市的房产均价分别为万元平方米，万元平方米， 
所以， 
解得：万元平方米， 
由题意可得， 
解得： 
故答案为：； 
根据平均值及方差的定义列方程求解即可． 
此题主要考查了求平均数与方差的问题，记住平均数与方差的公式是解答该题的关键．
 

17.【答案】解：（1）因为， 
设函数f（x）的周期为T， 
由题意， 
即，解得ω=1， 
所以． 
（2）由f（A）=1得：， 
即，解得， 
因为A∈[0，π]，所以， 
因为A的平分线AD交BC于D， 
所以S△ABC=S△ABD+S△ACD， 
即， 
可得， 
由余弦定理得：，=+-2bccosA=（b+c）2-3bc，而bc=12， 
得（b+c）2=52， 
因此．

【解析】 
应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得，即可得解析式． 
由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求，进而可得的长． 
此题主要考查了勾股定理和余弦定理的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：（1）设等差数列{}的公差为d，∵S3=，且-2，，S5成等比数列． 
∴3+3d=+4d，=（-2）S5，即=（+d-2）（5+10d）， 
解得=1，d=2；=0=d（舍去）． 
∴=1，d=2； 
∴=1+2（n-1）=2n-1． 
（2）由（1）可得：Sn==， 
∴=2-n=， 
∴•=（2n-1）•， 
∴数列{•}的前n项和Tn=+++…+， 
Tn=++…++， 
相减可得：Tn=+2（++…+）-=+2×-， 
化为Tn=3-．

【解析】 
设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，列出方程组，解出即可得出，， 
由，利用求和公式可得：，可得，利用错位相减法即可得出结论． 
此题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：（1）选择方案二比方案一更优惠，  
则需要至少摸出一个幸运球，  
设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A，  
则，  
故所求概率．（4分）  
（2）若选择方案一，则需付款10-0.6=9.4（万元）． 5分）  
若选择方案二，设付款金额为X万元，  
则X可能的取值为6，7，8，10，，，，（9分）  
故X的分布列为  

所以（万元）＜9.4（万元），  
所以选择第二种方案更划算．（12分）

【解析】 
选择方案二比方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，由此能求出至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率．  
若选择方案一，则需付款万元；若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，，，，分别求出相应的概率，从而求出的数学期望，由此得到选择第二种方案更划算．  
该题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、转化化归思想、整体思想，是中档题．
 

20.【答案】解：（1）因为∠ACB=120°，AC=BC=2，D为AB的中点， 
所以CD⊥AB，且CD=BCsin30°=1， 
又因为EF=1，所以CD=EF，因为EF∥CD， 
所以四边形EFDC为平行四边形， 
因为BF⊥平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BF⊥EF，所以CD⊥BF， 
因为BF⋂AB=B，BF，AB⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF，DF⊂平面ABF， 
所以CD⊥DF，所以四边形EFDC为矩形． 
（2）由（1）可知，EF⊥平面ABF，BF⊥平面AEF，AF⊂平面AEF， 
所以BF⊥AF，， 
所以三棱锥A-BEF的体积： 
， 
当且仅当AF=BF时等号成立，此时FD⊥AB， 
据（1），以D为坐标原点，分别以DA，CD，DF所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示： 
 
由已知可得下列点的坐标：，，，， 
所以，， 
设平面ABE的法向量为，则， 
取，则x=0，z=1， 
所以平面ABE的一个法向量为， 
因为是平面AEF的法向量， 
设平面AEF与平面ABE夹角为θ，则， 
故平面AEF与平面ABE夹角的余弦值为．

【解析】 
依题意可得且，从而得到四边形为平行四边形，由线面垂直的性质得到，从而得到，即可得到平面，从而得到，即可得证； 
由可得利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值． 
此题主要考查面面角的计算，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】（1）解：由题设可知，，即， 
因为，+=，所以a=2c，， 
所以c=2，a=4，， 
所以椭圆E的标准方程为． 
（2）证明：由（1）可知M（-8，0），设直线l的方程为x=my-8（m＞0）， 
其与椭圆的交点为B（，），C（，）， 
联立，得（4+3）-48my+144=0， 
Δ=（48m）2-4（4+3）×144＞0，即m＞2， 
所以，， 
设点N（，），因为，所以， 
即，所以， 
所以，=m-8=-2， 
因为点N在直线x=-2上，因为直线x=-2垂直平分线段MA， 
所以|NM|=|NA|， 
即∠AMC=∠MAN， 
因为∠ANC为△MNA的一个外角， 
所以∠ANC=∠AMC+∠MAN=2∠AMC．

【解析】 
根据题意得到关于，，的方程，进而可求出结果； 
设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理证得点在直线上，从而可得出结论． 
此题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：（1）令，由于a＜b，则a=0，b=lnm， 
又，则， 
∴曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为， 
则， 
若x＞0，则f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x）； 
（2）证明：，则f′（lnm）=lnm， 
∴曲线y=f（x）在点（lnm，0）处的切线方程为y=h（x）=lnm（x-lnm）， 
令，则， 
∴F′（x）在（0，+∞）上单调递增，又F′（lnm）=0， 
∴当x∈（0，lnm）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（lnm，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增， 
∴F（x）≥F（lnm）=0，即x≥0时，f（x）≥h（x）， 
设h（x）=n的正根为，则lnm（-lnm）=n，所以， 
又h（x）为增函数，则h（）≤f（）=n=h（），即≤， 
结合（1），设的根为，则， 
又g（x）为减函数，则g（）≤f（）=n=g（），即≥， 
∴， 
设，则， 
∴φ（x）在（2，+∞）上单调递增，则， 
∴，即， 
∴， 
又，则f′（x）单调递增， 
又，于是存在唯一∈（0，lnm），使得f′（）=0， 
且当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 
∵f（0）=f（lnm）=0，若关于x的方程f（x）=n有两个正根，必要n＜0， 
∴， 
∴，即得证．

【解析】 
先求出曲线在处的切线方程，再两式作差比较即可； 
求出曲线在点处的切线方程，可证得时，，设的正根为，可得到，再结合，设的根为，可得，进而得到，再证明，综合即可得证． 
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查转化思想，逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．