2022年山东省淄博市高考数学一模试卷

2022年山东省淄博市高考数学一模试卷

1.（5分）若集合，，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）若复数的实部与虚部相等，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

4.（5分）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是

A.  B.  C.  D.

5.（5分）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.（5分）若，，则，，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若在区间上单调递增，则实数的最大值为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）若，则

A.  B.  C.  D.

9.（5分）已知函数，结论正确的有

A. 是周期函数
B. 的图象关于原点对称
C. 的值域为
D. 在区间上单调递增

10.（5分）若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的有

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

11.（5分）若圆：与圆：的公共弦的长为，则下列结论正确的有

A.
B. 直线的方程为
C. 中点的轨迹方程为
D. 圆与圆公共部分的面积为

12.（5分）某人投掷骰子次，由于记录遗失，只有数据平均数为和方差不超过，则这次点数中

A. 众数可为 B. 中位数可为 C. 极差可为 D. 最大点数可为

13.（5分）甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有 ______种．

14.（5分）已知等比数列，其前项和为若，，则______.

15.（5分）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则______.

16.（5分）已知，，…，是抛物线上不同的点，且若，则______.

17.（12分）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 
记的内角，，的对边分别为，，若_____，求角的大小．

18.（12分）已知数列满足：，且设 
证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； 
求数列的前项和．

19.（12分）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是以为斜边的直角三角形，为的中点，，， 
求证：直线平面； 
若过的平面与侧棱，的交点分别为，，且，求直线与平面所成角的正弦值．
 

20.（12分）某选手参加射击比赛，共有次机会，满足“假设第次射中的概率为当第次射中时，第次也射中的概率仍为；当第次未射中时，第次射中的概率为”已知该选手第次射中的概率为 
求该选手参加比赛至少射中次的概率； 
求本次比赛选手平均射中多少次？

21.（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，点在椭圆上． 
求椭圆的标准方程； 
设过点且倾斜角不为的直线与椭圆的交点为，，求面积最大时直线的方程．

22.（12分）已知函数 
当时，设函数的最大值为，证明：； 
若函数有两个极值点，，求的取值范围，并证明：

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合， 
， 
则 
故选： 
求出集合，，利用交集定义能求出 
此题主要考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】C

【解析】解：双曲线，可得，， 
所以双曲线的离心率为： 
故选： 
利用双曲线方程求解，，即可得到离心率． 
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

3.【答案】A

【解析】解：数的实部与虚部相等， 
，解得 
故选： 
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的实部和虚部的定义，即可求解． 
此题主要考查复数的四则运算，以及复数的实部和虚部的定义，属于基础题．
 

4.【答案】B

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，因为母线长为， 
所以侧面展开图的面积为， 
解得， 
所以圆锥的高为， 
所以圆锥的体积是 
故选： 
求出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥的高和体积． 
此题主要考查了圆锥的结构特征与侧面展开图的面积和体积的计算问题，是基础题．
 

5.【答案】B

【解析】解：由向量，， 
由“向量，夹角为钝角”的充要条件为， 
解得，即且， 
又“”是“且”的必要不充分条件， 
即“”是“向量，夹角为钝角”的必要不充分条件， 
故选： 
由向量数量积坐标运算及向量共线的坐标运算，结合充要条件判断即可得解． 
此题主要考查了向量数量积的运算，重点考查了向量的坐标运算，属基础题．
 

6.【答案】D

【解析】解：，， 
， 
，即， 
， 
 
故选： 
根据条件得出，进而得出，从而可得出，这样即可得出，，的大小关系． 
此题主要考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】A

【解析】解： 在区间上单调递增， 
，且， 
求得， 
则实数的最大值为， 
故选： 
由题意，利用余弦函数的单调性，求得的范围． 
此题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．
 

8.【答案】C

【解析】解：由已知可得为的系数， 
又二项式可以化为， 
则此二项式的展开式的含的项为， 
则， 
故选： 
由已知可得为的系数，又二项式可以化为，然后求出展开式中含的项，由此即可求解． 
此题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】AD

【解析】解：设，则是周期为的周期，则是周期函数，故正确， 
，则图象关于原点不对称，故错误， 
，，即的值域为，故错误， 
当时，函数为增函数，为增函数，由复合函数单调性的关系得，在区间上单调递增，故正确， 
故选： 
利用换元法，利用指数函数的单调性分别进行判断即可． 
此题主要考查函数性质的考查，利用指数函数和三角函数的单调性分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

10.【答案】AC

【解析】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 
对于，若，，则由面面平行的性质得，故正确； 
对于，若，，则或，故错误； 
对于，若，，则由线面垂直的判定定理得，故正确； 
对于，若，，则与相交、平行或，故错误． 
故选： 
对于，由面面平行的性质得；对于，或；对于，由线面垂直的判定定理得；对于，与相交、平行或 
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
 

11.【答案】BC

【解析】解：两圆方程相减可得直线的方程为，即， 
因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，则到直线的距离为， 
所以，解得， 
所以直线的方程为，故错误，正确； 
由圆的性质可知直线垂直平分线段所以到直线的距离即为中点与点的距离， 
设中点坐标为，因此，即，故正确； 
因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为，所以扇形的面积为， 
三角形的面积为， 
所以圆与圆公共部分的面积为，故错误． 
故选： 
两圆方程相减求出直线的方程，进而根据弦长求得，即可判断选项；然后由圆的性质可知直线垂直平分线段进而可得到直线的距离即为中点与点的距离，从而可求出 中点的轨迹方程，因此可判断选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以即可求出圆与圆公共部分的面积，即可判断选项． 
此题主要考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】AC

【解析】解：对于，若次都是，满足题意，众数为，符合题，故正确； 
对于，若中位数为，则出现，，，，， 
这组情况方差最小，但此时方差大于，不符合题意，故错误； 
对于，，，，，，这种情况下方差为，故正确； 
对于，若最大点数为，当方差最小时，该组数为，，，，， 
该组数的方差大于，故错误． 
故选： 
根据众数、方差、平均数、中位数的定义进行逐项判断． 
此题主要考查命题真假的判断，考查众数、方差、平均数、中位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】 90

【解析】解：甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有种． 
故答案为： 
根据分步计数原理可得不同的承包方案． 
此题主要考查分步计数原理，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 8或2

【解析】解：设等比数列的公比为， 
由，，得， 
整理得，解得或， 
当时，；当时， 
故答案为：或 
设等比数列的公比为，由题意可得，从而可求出值，进一步利用即可求解． 
此题主要考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

15.【答案】

【解析】解：， 
两边取对数，可得， 
令，可得， 
线性回归方程， 
，解得 
故答案为： 
根据已知条件，结合对数函数的公式可得，，再结合线性回归方程，即可求解． 
此题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 16

【解析】解：设、、、⋯、的纵坐标，， 
由抛物线的方程可得准线方程， 
因为，所以， 
所以，由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离可得： 
， 
故答案为： 
设、、、⋯、的纵坐标，，由向量的和为零向量，可得，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，可得向量的模的和的值． 
此题主要考查抛物线的性质的应用及向量的运算性质的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：若选①，因为， 
所以由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，即2sinAcosB=（sinBcosC+sinCcosB）=sin（B+C）， 
因为A=π-B-C，所以sinA=sin（B+C）， 
所以2sinAcosB=sinA， 
因为sinA≠0，所以cosB=， 
因为0＜B＜π，所以B=． 
若选②，因为， 
所以由正弦定理可得=，整理可得-ac=-，即+-=ac， 
由余弦定理可得cosB=，可得cosB==， 
因为0＜B＜π，所以B=． 
若选③，， 
所以由正弦定理可得sinAsinBsinC-sinBcosAcosC=sinB， 
因为sinB≠0，所以sinAsinC-cosAcosC=，即cos（A+C）=-， 
因为B=π-A-C，所以cosB=， 
因为0＜B＜π，所以B=．

【解析】 
若选①，由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式，结合，可得的值，结合范围，可得的值． 
若选②，由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得的值，结合范围，可得的值． 
若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求的值，结合范围，可得的值． 
此题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：（1）证明：==2=2（2+1）=2+2， 
所以=2，又+2=+2=4， 
所以{+2}是首项为4，公比为2的等比数列， 
则+2=4•2n-1=2n+1， 
所以=2n+1-2； 
（2）数列{}的前2n项和为S2n=+++...+ 
=（+++...+）+（++...+） 
=（+++...+）+（++...++n） 
=2（+++...+）+n=2（++...+）+n 
=2×（22+23+...+2n+1-2n）+n 
=2×-3n=2n+1-3n-8．

【解析】 
由等比数列的定义和通项公式，可得所求； 
由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 
此题主要考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：（1）证明：∵AP=AC，O为PC的中点，∴AO⊥PC， 
连接BO，∵△PBC是心PC为斜边的直角三角形，∴OB=OC，又AB=AC，AO为△AOB和△AOC的公共边， 
∴△AOB≌△AOC，∴∠AOB=∠AOC=90°，∴AO⊥OB， 
∴AO⊥平面PBC； 
（2）∵AD∥BC，∴BC∥平面PAD，∴EF∥BC，∴EFCB是梯形，∵EF=3=AD，∴E，F分别为棱PA，PD的中点， 
据（1）以OP所在直线为x轴，以过点O且垂直于平面PAC的直线为y轴，以OA所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 
由题设可得，PC=10，∵AP=13，∴AO=12， 
 
则P（5，0，0），B（-，，0），C（-5，0，0），A（0，0，12）， 
∴=（，-，0），=（，-，12），∴=（+）=（，-，6），又=（-，-，0）， 
设平面α的一个法向量为=（x，y，z）， 
则，令x=4，则y=-3，z=-5， 
∴平面α的一个法向量为=（4，-3，-5）， 
∵=（0，0，12），=，∴=+=（-，-，12）， 
设直线DO与平面α所成角为θ．则sinθ==． 
∴直线DO与平面α所成角的正弦值为．

【解析】 
先证，可证，可证直线平面； 
先证，分别为棱，的中点，以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量，与直线的方向向量，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值． 
此题主要考查线面垂直的证明，以及线面角的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：（1）事件“A：3次机会至少射中1次”的对立事件为“B：3次机会均未射中”， 
P（B）=， 
故P（A）=1-P（B）=． 
（2）设本次比赛选手射中的次数为X，则X所有可能取值为0，1，2，3， 
P（X=0）=， 
P（X=1）=+， 
P（X=2）=， 
P（X=3）=， 
故E（X）=．

【解析】 
先求出次机会均未射中的概率，再结合对立事件的概率和为，即可求解． 
设本次比赛选手射中的次数为，则所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，即可求解． 
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：（1）因为|F1F2|=2c=4，可得c=2，则F1（-2，0）、F2（2，0）， 
由椭圆的定义可得，得， 
所以，，因此，椭圆E的标准方程为． 
（2）由题意，设点A（，）、B（，），设直线l的方程为x=my+2（m≠0）， 
联立，消去x可得（+3）+4my-2=0， 
Δ=16+8（+3）=24（+1）＞0， 
由韦达定理可得，， 
所以，=， 
令，则， 
当且仅当时，即当m=±1时，等号成立， 
此时直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0．

【解析】 
求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求出的值，可得出的值，进而可得出椭圆的标准方程； 
设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值，利用等号成立的条件可求得直线的方程． 
此题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】（1）证明：f′（x）=-a=，（a＞0）， 
令f′（x）=0得，x=，（x＞-1）， 
当-1＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞时，f′（x）＜0，函数单调递减 
所以f（x）max=f（）=a-lna，即h（a）=a-lna， 
则h′（a）=1-=， 
当0＜a＜1时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，当a＞1时，h′（a）＞0，h（a）单调递增， 
所以h（a）≥h（1）=1，即证； 
（2）=ln（x+1）-ax+1+，g′（x）=+x-a=， 
令φ（x）=-（a-1）x-（a-1）， 
所以+=a-1，•=1-a， 
由题意得，二次函数φ（x）有两个变号大于-1的零点，，（＜）， 
则， 
解得，a＞1， 
g（）+g（）=ln（1+）+ln（1+）-a（+）+（）+2， 
=ln[+（+）+1]-a（+）+[（+）2-2]+2， 
=-+2， 
因为a＞1，所以-+2＜2， 
所以g（）+g（）＜2．

【解析】 
先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的性质，进而可求，进而可证； 
先对求导，然后结合导数与单调性极值关系，然后结合二次函数实根分布可求的范围，结合二次函数性质可求． 
此题主要考查了导数与单调性，极值及最值关系的应用，还考查了二次函数的实根分布问题，体现了转化思想的应用，属于中档题．