山东省潍坊市高密市第四中学2022届高考一模数学试题

这是一份山东省潍坊市高密市第四中学2022届高考一模数学试题，共17页。试卷主要包含了若cs=35，则sin2α=等内容，欢迎下载使用。
 山东省潍坊市高密市第四中学2022届高考一模数学试题 1.（5分）已知，，A.  B.
C.  D. 2.（5分）复数满足为虚数单位，则复数的模等于A.  B.  C.  D. 3.（5分）名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有A. 种 B. 种 C. 种 D. 种4.（5分）若，则A.  B.  C.  D. 5.（5分）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.  B.  C.  D. 6.（5分）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则     
 A.  B.  C.  D. 7.（5分）已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为A.  B.  C.  D. 8.（5分）定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为      
 A.  B.  C.  D. 9.（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分十分制如图所示，则下列描述正确的有  
 A. 甲、乙两组成绩的平均分相等 B. 甲、乙两组成绩的中位数相等
C. 甲、乙两组成绩的极差相等 D. 甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差10.（5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是
 A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象11.（5分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为
C.  D. 直线与双曲线有两个公共点12.（5分）正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面以下命题正确的有
 A. 侧面上存在点，使得
B. 直线与直线所成角可能为
C. 平面与平面所成锐二面角的正切值为
D. 设正方体棱长为，则过点、、的平面截正方体所得的截面面积最大为13.（5分）已知向量，，且与互相垂直，则  ______ ．14.（5分）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则__________.15.（5分）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是____．16.（5分）《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥和一个鳖臑四个面均为直角三角形的四面体在如图所示的堑堵中，，，，且有鳖臑和鳖臑，现将鳖臑沿线翻折，使点与点重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是 ______ .
 17.（12分）中，是上的点，平分，面积是面积的倍．求；若，，求和的长．18.（12分）已知数列是等比数列，其前项和为，且求数列的通项公式若，令，求数列的前项和19.（12分）第届冬季奥运会于年月日在北京开幕，本次冬季奥运会共设个大项，个分项，个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得 男生女生合计了解  不了解  合计  求的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取人，再从这人中抽取人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为，求的数学期望．附表： 附：20.（12分）三棱锥中，三角形为等腰直角三角形，，侧面为等边三角形， 
求证：； 
若侧棱上有一动点，设，当为何值时，直线与平面所成的角最大？
 21.（12分） 
 (1)已知函数．讨论的单调性；若 存在两个极值点，证明：．22.（12分）已知、分别为椭圆：的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为求的方程；证明：直线过定点.
答案和解析1.【答案】C【解析】 
此题主要考查了集合中元素的性质和并集及其运算，属于基础题. 
根据题意将集合化简，利用并集的运算求解即可.解：由，解得 
又，故集合， 
因为集合，， 
所以； 
故选
 2.【答案】B【解析】 
此题主要考查复数的运算以及复数的模，属于基础题. 
由复数的运算得，由复数模的运算得答案. 
 
解：， 
所以 
故选
 3.【答案】C【解析】 
此题主要考查组合与组合数公式、分步乘法计数原理，属于基础题. 
利用组合数公式分别求出“先从名志愿者中选名去甲场馆”、“再选名去乙场馆”、“将剩下的名安排到丙场馆”不同的安排方法种数，根据分步乘法计数原理求出不同的安排方法总种数. 
解：甲、乙、丙三个场馆分别安排、、名同学做志愿者，每名同学只去个场馆， 
先从名志愿者中选名去甲场馆，再选名去乙场馆，将剩下的名安排到丙场馆， 
故不同的安排方法共有种. 
故选：
 4.【答案】D【解析】 
这道题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题． 
利用诱导公式化，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案． 
 
解：， 
 
． 
故选D．
 5.【答案】B【解析】 
该题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，属于基础题． 
根据题意，可得该圆柱底面圆周半径，由此能求出该圆柱的体积． 
 
解：如图所示： 
 
圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上， 
该圆柱底面圆周半径， 
该圆柱的体积：． 
故选B．
 6.【答案】C【解析】 
该题考查等比数列的通项公式，属基础题． 
设等比数列的公比为，根据条件可得，解方程即可． 
 
解：设等比数列的公比为， 
则由前项和为，且， 
有 
， 
故选C． 

 7.【答案】C【解析】解：如图， 
 
、分别是边、的中点，且， 
 
 
 
． 
故选：． 
由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案． 
该题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
 8.【答案】C【解析】 
该题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目． 
由不等式在上恒成立，得到函数在时是增函数， 
再由函数是定义在上的奇函数得到为偶函数， 
结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案． 
 
解：定义在的奇函数满足： 
， 
且， 
又时，，即， 
，函数在时是增函数， 
又，是偶函数； 
时，是减函数，结合函数的定义域为，且， 
可得函数与的大致图象如图所示， 
 
由图象知，函数的零点的个数为个． 
故选：． 

 9.【答案】BCD【解析】解：因为，所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分， 
甲、乙两组成绩的中位数均为， 
甲、乙两组成绩的极差均为， 
甲组的成绩比乙组的更加稳定，所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方程． 
故选：． 
利用统计图中的数据信息，分别求解甲、乙两组成绩的平均分、中位数、极差等，即可判断各选项的正误． 
此题主要考查了统计知识的应用，主要考查了平均数、中位数、极差以及方差的理解和应用，解答该题的关键是正确读取统计图中的数据信息，属于基础题．
 10.【答案】ABD【解析】解：由函数的图象可得，由，解得． 
再根据最值得，； 
又，得，得函数， 
当时，，故A正确； 
当时，，是最值，故B正确； 
，则， 
函数不单调，故C错误； 
函数的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确． 
故选：． 
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 
此题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，三角函数的平移变换，属于中档题．
 11.【答案】ABD【解析】解：，分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，如图，三角形是直角三角形，并且，可得：，所以正确； 
，可得 
渐近线方程：，所以正确； 
直线与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由个交点，所以正确； 
故选： 
利用已知条件画出图形，求解双曲线的离心率以及渐近线方程，判断直线与双曲线的位置关系，推出选项即可． 
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

 12.【答案】AC【解析】解：取中点，中点，连接，，， 
易证，， 
从而平面平面， 
所以点的运动轨迹为线段， 
取为中点， 
因为是等腰三角形， 
所以， 
又因为， 
所以， 
故A正确； 
设正方体棱长为， 
当点与点或点重合时，直线与直线所成角最大， 
此时， 
所以B错误； 
平面平面， 
取为中点，则，， 
即为平面与平面所成的锐二面角， 
， 
所以C正确； 
当为与交点时，易知截面为菱形为中点， 
因为正方体棱长为， 
所以， 
此时截面面积可以为， 
故D错误． 
故选：． 
：在平面内找到点证明垂直即可； 
：找到与所成角的最大值进行验证即可； 
：找到二面角的平面角，进而求出其正切值进行验证； 
：找到截面面积大于，即可证明选项错误． 
该题考查空间几何中二面角的平面角，线面垂直，线线所成角，及截面积求解的相关知识，属于中档题．

 13.【答案】 【解析】解：向量，， 
， 
， 
与互相垂直， 
， 
解得． 
故答案为：． 
利用空间向量坐标运算法则求出，，再由与互相垂直，能求出． 
该题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，是基础题．
 14.【答案】 【解析】 
 此题主要考查二项式展开式的系数以及二项式系数的和属于基础题. 
给展开式中的分别赋值，，可得两个等式，两式相减，再除以得到答案. 
解：设，令，则其所有项的系数和为 
，令，则 
 
又奇数次幂项的系数和为 
，  ，故答案为
 15.【答案】 【解析】 
该题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题． 
由偶函数的定义，可得，即有时，，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程． 
 
解：为偶函数，可得， 
当时，，即有 
时，，， 
可得，， 
则曲线在点处的切线方程为， 
即为． 
故答案为：． 
 
 

 16.【答案】 【解析】解：鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体如图， 
 
该几何体是三棱锥，由已知求得底面三角形是边长为的正三角形， 
侧棱底面， 
设的外心为，过作底面垂线，取 的中点，过作的垂线， 
使两垂线相交于点，则为拼接成的几何体的外接球的球心． 
，则外接球的半径满足 
拼接成的几何体的外接球的表面积为 
故答案为： 
由题意可得鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体是三棱锥，由已知求得底面三角形是边长为的正三角形，侧棱底面，找出三棱锥外接球的球心，求解三角形求得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 
此题主要考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
 17.【答案】解：， 
， 
因为， ， 
所以， 
由正弦定理可得： 
因为， 
所以， 
在和中，由余弦定理知： 
， 
， 
故， 
由知， 
所以【解析】此题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，属于中档题. 
利用面积公式和面积比得到，再利用正弦定理求解； 
由，得到，在和中，由余弦定理得到，进而求出
 18.【答案】解：因为为等比数列，所以设其公比为 
因为， 
当时，， 
由，得， 
解得 
当时，，则， 
所以的通项公式为 
因为，则， 
， 
， 
由，得， 
， 
所以数列的前项和【解析】此题主要考查等比数列的通项公式、前项和和数列求和，属于中档题. 
由递推关系求出公比和首项，即可得通项公式 
求出，利用错位相减法即可求解.
 19.【答案】解：据题意列出列联表如下所示： 男生女生合计了解不了解合计由，得，，所以， 
因为 ， 
所以有的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关. 
①由列联表知不了解冬奥会的学生中，男生：女生：，故抽取的人中，男生为人，女生为人， 
则抽取的人中，记“至少抽到一名女生”为事件，则； 
②样本中了解冬奥会的频率为，将频率视为概率，用样本估计总体，即从全校学生中任取一人，恰好了解冬奥会的概率为， 
由题意得，对冬季奥运会项目的了解的人数服从二项分布， 
且， 
所以的数学期望【解析】此题主要考查独立性检验以及离散型随机变量的期望，涉及到二项分布，属于基础题. 
根据题意填写列联表，利用公式，求得，结合附表即可求解 
①由列联表，结合对立事件的概率公式，即可求解；②将频率视为概率，用样本估计总体，对冬季奥运会项目的了解的人数服从二项分布，且，即可求解. 

 20.【答案】（1）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，由AB=AC，则MB⊥AC，由PA=PC，则AC⊥PM， 
又PM∩MB=M，故AC⊥平面PBM，又∵PB⊂平面PBM，∴PB⊥AC； 
（2）解：∵AC⊥平面PBM，以点M为坐标原点，MA，MB所在直线分别为x，y轴，过点M且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系， 
 
设AB=2，则PB=2，AC=AB=2，PM==， 
又MB=AC，cos∠BMP==-， 
则P（0，-，2），B（0，，0），A（，0，0），C（-，0，0）， 
故=（0，2，-2），=（-，-，2），由已知=λ=（0，2λ，-2λ）， 
则==， 
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z）， 
∴，令y=1，可得=（-1，1，）， 
设直线TA与平面PBC所成的角为θ， 
sinθ=|cos＜，＞|===， 
由0＜λ＜1，故当λ=时，sinθ最大，即直线TA与平面PBC所成的角最大， 
综上当λ=时，直线TA与平面PBC所成的角最大．【解析】 
取的中点，连接，，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； 
以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，设直线与平面所成的角为，利用空间向量法可得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值． 
此题主要考查线线垂直的证明，以及线面角的问题，属中档题．
 21.【答案】解：函数的定义域为， 
可得：， 
设，， 
当时，恒成立，即恒成立， 
此时函数在上是减函数， 
当时，判别式， 
当时，，即，即恒成立， 
此时函数在上是减函数， 
当时，令得，或． 
当时，； 
当， 
所以在和上是减函数，在上是增函数． 
综上：当时，在上是减函数， 
当时，在和上是减函数，在上是增函数． 
证明：若 存在两个极值点， 
由知， 
且是的两根， 
则， 
不妨设， 
则 
 
， 
则， 
可知：要证， 
即证， 
即证明， 
则证， 
即证， 
即证在上恒成立， 
设，，其中， 
求导得， 
则在上单调递减， 
当时，，即， 
故， 
则成立．【解析】该题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，属于较难题． 
求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． 
可知：要证，即证，进行求解即可． 

 22.【答案】解：由题意，椭圆的方程为由知 
设，则直线的方程为，联立，由韦达定理， 
代入直线的方程得 ，， 
即，直线的方程为，联立，由韦达定理， 
代入直线的方程得 ，， 
即，直线的斜率，直线的方程为，整理得，直线过定点【解析】此题主要考查直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；求出各点坐标，表示，结合已知条件即可求解；求出，两点坐标，进而求出直线，即可证明.