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    第18章 平行四边形-思想方法专题:矩形中的折叠问题(含答案)
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    初中数学人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试随堂练习题

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    这是一份初中数学人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试随堂练习题,共4页。

    eq \a\vs4\al(◆)类型一 折叠中求角度
    1.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF.若∠EFC′=125°,那么∠ABE的度数为( )

    A.15° B.20° C.25° D.30°

    第1题图 第2题图
    2.如图,某数学兴趣小组开展以下折纸活动:(1)对折矩形纸片ABCD,使AD和BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;(2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
    A.25° B.30° C.36° D.45°
    eq \a\vs4\al(◆)类型二 折叠中求线段长
    3.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若AO=5cm,则AB的长为( )
    A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm

    第3题图 第4题图
    4.如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上的F处,则DE的长是( )
    A.3 B.eq \f(24,5) C.5 D.eq \f(89,16)
    5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为________.

    eq \a\vs4\al(◆)类型三 折叠中求面积
    6.如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于E.
    (1)求证:△AFE≌△CDE;
    (2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.
    7.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上的一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
    (1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
    (2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积.
    参考答案与解析
    1.B 解析:由折叠可知∠EFC=∠EFC′=125°.∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DEF=180°-125°=55°.根据折叠可知∠BEF=∠DEF=55°,∴∠BED=110°.∵四边形ABCD为矩形,∠A=90°,∴∠ABE=110°-90°=20°.故选B.
    2.B 3.C 4.C
    eq \f(18,5) 解析:如图,连接BF交AE于H,由折叠的性质可知BE=FE,AB=AF,∠BAE=∠FAE,∴AH⊥BF,BH=FH.∵BC=6,点E为BC的中点,∴BE=eq \f(1,2)BC=3.又∵AB=4,∴在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=eq \r(AB2+BE2)=5.∵S△ABE=eq \f(1,2)AB·BE=eq \f(1,2)AE·BH,∴BH=eq \f(12,5),则BF=2BH=eq \f(24,5).∵E是BC的中点,∴FE=BE=EC,∴∠BFC=90°.在Rt△BFC中,由勾股定理得CF=eq \r(BC2-BF2)=eq \r(62-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,5)))\s\up12(2))=eq \f(18,5).

    6.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠D=90°.∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,∴∠F=∠B,AB=AF,∴AF=CD,∠F=∠D.在△AFE与△CDE中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠F=∠D,,∠AEF=∠CED,,AF=CD,))∴△AFE≌△CDE.
    (2)解:∵AB=4,BC=8,∴CF=AD=8,AF=CD=AB=4.∵△AFE≌△CDE,∴EF=DE.在Rt△CED中,由勾股定理得DE2+CD2=CE2,即DE2+42=(8-DE)2,∴DE=3,∴AE=8-3=5,∴S阴影=eq \f(1,2)×4×5=10.
    7.解:(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM.∵AN平分∠MAB,∴∠MAN=∠NAB,∴∠DAM=∠MAN=∠NAB.∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,∴AM=2DM.在Rt△ADM中,∵AD=3,∴由勾股定理得AM2-DM2=AD2,即(2DM)2-DM2=32,解得DM=eq \r(3).
    (2)延长MN交AB的延长线于点Q,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ,由折叠性质得△ANM≌△ADM,∴∠ANM=∠D=90°,∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ.设NQ=x,则AQ=MQ=MN+NQ=1+x.∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°.在Rt△ANQ中,由勾股定理得AQ2=AN2+NQ2,即(x+1)2=32+x2,解得x=4,∴NQ=4,AQ=5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等,AB=4,AQ=5,∴S△NAB=eq \f(4,5)S△NAQ=eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×AN·NQ=eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×3×4=eq \f(24,5).
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