广东省广东实验中学2022-2023学年高三下学期高考第三次阶段考试数学试题

这是一份广东省广东实验中学2022-2023学年高三下学期高考第三次阶段考试数学试题，共15页。试卷主要包含了下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。

广东实验中学2023届高三级第三次阶段考试
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分选择题（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．若复数z满足,则z=( )
A． B． C． D．
3．经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为( )
A． 2 B． C．1 D．
4．设,且,且…等于( )
A． B． C． D．
5．以等边三角形ABC为底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P-ABC的侧面与底面ABC所成的角为45°，记正三棱锥P - ABC和正三棱锥Q-ABC的体积分别为V1和V2，则( )
A．1 B． C． D．
6．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度小于等于0.1mg/m3为安全范围，已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1 mg/m3，且室内甲醛浓度p(t)（单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式,则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
7．设函数,,若函数g(x)在区间(-1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．己知均为锐角，且，则tana的最大值是( )
A． B． C．2 D．4
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列结论正确的有( )
A．某班有40名学生，从中随机抽取10名去参加某项活动，则每4人中必有一人被抽中
B．己知，，，则
C．设随机变量服从正态分布N(1，4)，且，则
D．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数为3，90%分位数为9.5
10．如图，在棱长为2的正方体中，分别是
的中点，则( )
A．M，N，B，D1四点共面
B．异面直线PD1与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥P- MNB的体积为
11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是( )
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．时，的最大值为12
12．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：
若满足,则称为的次不动点.下列说法正确的是( )
A．定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
B．定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
C．当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点
D．满足函数在区间上存在不动点的正整数a不存在
第二部分 非选择题(90分)
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．在的展开式中，的系数为 ．
14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
15．已知双曲线，若过点(2，2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为____．
16．某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃
栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分（n≥4），每个
部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，
要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，将总的栽植方案数
用an表示，则a4=____，an=____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知数列中，对任意的,都有
(1)若为等差数列，求的通项公式；
(2)若，求的通项公式．
18．（本小题12分）
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为，边界的中间部分为长l千米的直线段CD，且.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧
(1)求曲线段FGBC的函数表达式；
(2)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区
OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径
OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且,求
平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值.
19．（本小题12分）
已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O 的位置，并证明直线平面EMC
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC
所成的角为60°;若存在，指出点M的位置，
若不存在，说明理由．
20．（本小题12分）
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与
人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，

抗体
指标值

合计
小于60
不小于60
有抗体



没有抗体



合计



一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，
假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
(1) 填写下面的2×2列联表，并根据列联表及
的独立性检验，判断能否认为注射疫
苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．
（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注 射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生 抗体．
(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
(ii)以(i)中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中n=a+b+c+d为样本容量）

0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
21．（本小题12分）
已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．
(1)求抛物线C和圆M的方程；
(2)设为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，且证明：点P在一条定曲线上．
22．（本小题12分）
已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
















数学参考答案
一、单选1．C 2．A 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．B
二、多选9．BCD 10．BCD 11．ACD 12．BC
三、填空13．-360 14． 15． 16．18，
四、解答
17．解：方法一：(1)由条件，可得：， ……1分
因为为等差数列，设公差为d，由上式可得： ……3分
的通项公式为 ……5分
方法二：因为为等差数列，设，则
……1分
又，所以，，解得 ……3分
的通项公式为 ……5分
(2)由条件，可得：
两式相减得： ……7分
因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；
……8分
偶数项是首项为1公差为4的等差数列． ……9分
综上： ……10分
18．解：(1)由己知条件，得A=2，……1分 又，
……2分
又当时，有，且 ……3分
曲线段FGBC的解析式为，……5分（没有定义域扣1分）
(2)如图，, ……6分
作轴于P1点，在中：
在中，
……8分
……9分

……11分
当时，即时，平行四边形面积有最大值为（平方千米） ……l2分
19．解：(1)直线平面ABFE，故点O在平面ABFE
内也在平面ADE内，点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长FM交EA的延长线于O，……1分
,M为AB的中点，
,,所以点O在EA的延长线上，
且AO=2，……2分
连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形,
是FD的中点，连接MN，因为MN为△DOF
的中位线， ……3分
又平面EMC，平面EMC ……3分
直线平面EMC． ……5分
(2)由己知可得，,
为二面角,D-EF-A的平面角,,平面ADE，又EF平面ABFE，
平面ABFE平面ADE.
作于H，则平面AEFB，易得H为AE中点 ……6分
以H为坐标原点，以HA，HD所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,,,所以,
设,则
设平面EMC的法向量，则
取y=﹣2，则，，所以 ……8分
与平面EMC所成的角为60°，
……10分
，得或，
即M为线段AB的三等分点． ……11分
存在线段AB的三等分点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°． ……12分
20．解：(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有0.0025×20×200=10(只)；在内有 0.00625×20×200 = 25(只)；
在内有 0.00875 ×20×200 = 35(只)；在内有 0.025×20×200 = 100(只)

抗体
指标值

合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
在内有0.0075×20×200=30（只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只 ……2分
零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得 ……4分
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05 ……5分
(2)(i)令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”
记事件A，B，C发生的概率分别为
则， ……6分

所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 ……8分
(ii)由题意，知随机变量，
因为最大，所以 ……9分
解得 ……11分
是整数，所以或
接受接种试验的人数为109或110．……12分
21．解：(1)由题设得 ……1分抛物线C的方程为 ……2分
因此，抛物线的焦点为，即圆M的圆心为M
由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1，所以圆M的方程为 ……4分
(2)证明：由于,每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则
故设过点P且与圆M相切的切线方程为,即
依题意得 ……5分
整理得①；……6分
设直线PA，PQ的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故，②， ……7分
由，得③
因为点，
则④，⑤，……9分
由②，④，⑤三式得
……1 0分
即，
则即
所以点P在圆 ……l 2分
22．解：(1)由题意的定义域为，又 ……1分
当a<0时，因为x>0，所以，故在上单调递减；……2分
当a>0时，令，解得：
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，……3分
综上所述，当a<0时，函数的单调递减区间为
当a>0时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为……4分
(2)
……6分
设，其中，则
设则
当时，，且等号不同时成立，则恒成立；……7分
当时，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，，所以，存在使得
当时，；当时，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且 ……9分
作出函数的图象如下图所示：
由(1)中函数的单调性可知，
①当a<0时，在上单调递减，
当，，当时，
所以，，此时不合乎题意； ……10分
②当a>0时，,且当时，
此时函数的值域为，即
(i)当时，即当时，恒成立，合乎题意；……11分
(ii)当时，即当时，取，结合图象可知
，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是 ……l2分
● 部分选填解析
6．解：由题意可知，,,
，因为，所以解得
设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则
整理得，设因为
所以，即，则，即，至少需要放置的时间为6周．
7．解：令，则
令，即，故
，作出函数的图象如图所示：
函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数，直线过定点
当直线过点时，，
当直线与曲线相切时，
设切点坐标为，由，故切线的斜率为
所以，解得，则，解得
结合图象可知，当或时，函数的图象与直线只有一个交点，即函数在区间上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是
8．解：均为锐角，，
，由均为锐角，得
当且仅当时等号成立．
10．解：对于A，易知MN与BD1为异面直线，所以M，N，B，D1不可能四点共面，故A错误；对于B，连接CD1，CP，易得，所以为异面直线PD1与MN所成角，则,

所以异面直线与MN所成角的余弦值为,故B正确.
对于C，连接，易得,所以平面BMN截正方体所得，
截面为梯形故C正确；
对于D，易得,因为平面MNB，平面MNB，所以平面MNB，
所以故D正确．
11．解：如图，设直线PO与圆O于E，F．则
故A正确．
取AC的中点为M，连接OM，
则
,而
故的取值范围是故B错误；
当时,
,故C正确．
当时，圆O半径取AC中点为M，BD中点为N，则
最后等号成立是因为,不等式等号成立当且仅当,故D正确．
12．解：对于选项A:取函数，0既是的不动点，又是
的次不动点，故选项A错；对于选项B，定义在R上的奇函数满足
故选项B正确；
对于选项C:当时，即
令，，在区间单调递增，
在单调递增，
满足有唯一解，则
当时，，即
令，在区间单调递增，在
单调递增，满足有唯一解，则，于是
故选项C正确；对于选项D:
函数在区间上存在不动点，则在上有解，
则在上有解，令，则
再令，则，解得
在上单调递减，在上单调递增，

在上恒成立，所以在上单调递增，
，
实数a满足（e为自然对数的底数），正整数,故选项D错误
15．解：过(2，2)能作两条切线说明该点在双曲线外部，故，故
，又点不在该双曲线渐近线上，故，即
综上，
16．解：①当n=4时，第1区域有3种选择，第2区域有2种选择，
第4区域要与第1区域颜色不同，故对第3区域的选择分类讨论：
当第3区域与第1区域颜色相同时，第4区域有2种选择；
当第3区域与第1区域颜色不同时，第4区域仅有1种选择，

②当将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色时，第1区域有3种染色方案，
第2区域至第n－1区域有2种染色方案，此时考虑第n区域也有2种涂色方案，在此情况下有两种情况：
情况一：第n区域与第1区域同色，此时相当于将这两区域重合，这时问题转化为用3种不同颜色给圆上n－1个区域涂色，且相邻区域颜色互异，即为种染色方案；
情况二：第n区域与第1区域不同色，此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上n个区域染色，且相邻区域颜色互异，即此时的情况就是an，
根据分类原理可知,且满足初始条件：
即递推公式为，，变形得
数列是以－1为公比的等比数列，
即，故答案为：18,；