湖南省常德市汉寿县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题（含答案）

湖南省常德市汉寿县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若分式的值等于0，则x的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3

2．下列各数是无理数的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，若，，则的度数为（    ）

A． B．

C． D．

4．不等式的解集在数轴上表示，正确的是（    ）

A．   B．

C． D．

5．中，如果，那么的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不能确定

6．下列命题中，真命题是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

7．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（    ）

A． B．

C． D．

8．一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为（   ）

A． B． C．或 D．

二、填空题

9．的立方根为______

10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．

11．分式，的最简公分母是________．

12．化简二次根式的结果为______．

13．如右图，四人去公园玩跷跷板，设和两人的体重分别为，

则______（填＞，＝或＜）.

14．如右图，是的高，是的中线，是的角平分线，若，则=________.

15．关于的分式方程有增根，则______．

16．如图，在中，是的中点，，，交于点，若，，则的周长为________．

三、解答题

17．计算：

18．计算：.

19．解方程：．

20．化简：

21．解不等式组.

22．如图，已知，点分别在上，，．

(1)求证：；

(2)求证：．

23．设，．

(1)求，的值；

(2)求的值．

24．如图，在中，，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：；

(2)若，求的面积．

25．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．

(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？

(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？

26．在等腰中，，为直线上一动点，以为腰作等腰三角形，顶点按逆时针方向排列，，，连接．

(1)如图1，若，当点在线段上时，线段与的数量关系为           （不需要证明）；

(2)如图2，若，当点在线段延长线上时，（1）中结论是否还成立？请说明理由；

(3)当时，在中,若，求的度数．

参考答案：

1．A

【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．

【详解】由题意可得：且，解得．

故选A．

【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．

2．C

【分析】化简各个选项，根据无理数的定义逐个判断即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

，是有理数，故A选项不符合题意，

，是有理数，故B选项不符合题意，

是无理数，故C选项符合题意，

，是有理数，故D选项不符合题意，

故选C．

【点睛】本题考查无理数的判断，解题的关键是熟练掌握无理数的几种表现形式，如：开不尽方的数，含的数，无限不循环的数.

3．A

【分析】根据三角形外角的性质可进行求解．

【详解】解：∵，，

∴；

故选A．

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．

4．B

【分析】解出不等式的解集，然后根据解集选择合适的数轴表示即可．

【详解】解：

故选B

【点睛】本题考查了不等式的解法，以及解集的表示方法，正确解不等式是解题关键．

5．B

【分析】根据在中，，可求出的度数，即可得出结论.

【详解】解：∵在中，，，

∴，

∴，

∴是直角三角形.

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答本题的关键.

6．C

【分析】根据求一个数的平方根，二次根式的性质，不等式的性质，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. 如果，那么，故该选项是假命题，不符合题意；

B. 如果，那么，故该选项是假命题，不符合题意；

C. 如果，那么，故该选项是真命题，符合题意；    

D. 如果，且，那么，故该选项是假命题，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握求一个数的平方根，二次根式的性质，不等式的性质是解题的关键．

7．A

【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．

【详解】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，

∴实际每天植树（1+30%）x万棵，需要天完成，

∵提前2天完成任务，

∴-=2，

故选：A．

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．

8．D

【分析】分边长为4的边为底边和腰两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．

【详解】解：当边长为4的边为底边时，则这个三角形的三边为4，，，

∵，

∴不能构成三角形，不符合题意；

当边长为4的边为腰时，则这个三角形的三边为4，4，，

∵，

∴能构成三角形，符合题意，

∴这个等腰三角形的周长为，

故选D．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，实数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

9．

【分析】a的立方根是

【详解】-的立方根是-.

故答案为-.

【点睛】本题考查的知识点是立方根，解题的关键是熟练的掌握立方根.

10．

【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，

要使在实数范围内有意义，必须，

∴．

故答案为：

11．

【分析】直接根据最简公分母的求法即可得到答案．

【详解】解：分式，的最简公分母是．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查的知识点是最简公分母，解题的关键是熟练的掌握求最简公分母的方法．

12．

【分析】根据二次根式的化简公式计算即可．

【详解】解：．

故答案为

【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟记化简方法是解题关键．

13．

【分析】设两人的体重分别为，根据题意列出等式与不等式，即可求解．

【详解】设两人的体重分别为，

由图可知，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了不等式的性质，理解题意是解题的关键．

14．

【分析】由已知得出是等腰直角三角形，根据是的中线，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质即可求解．

【详解】解：∵是的高，，

∴，则是等腰直角三角形，

∴

∵是的中线，

∴，

∴

∵是的角平分线，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．

15．5

【分析】根据已知有增根，即使分式方程分母为0的根，即满足x-2=0；解题中分式方程，先通分，再去分母，化成整式方程后，用x表示出未知参数m，最后将x的值代入即可求得m的值．

【详解】解：分式方程有增根

得：x=2

通分得：

去分母得：

化简得：

将x=2代入得m=5

故答案为5．

【点睛】这道题考查的是分式方程增根的概念和分式方程未知参数的解法．解决这类题的关键在于：确定增根，化分为整，增根代入．

16．

【分析】根据中垂线的性质得出，然后根据平行线的性质的等腰三角形的判定与性质性质分析求解即可．

【详解】解：∵是的中点，，

∴垂直平分，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的周长为，

故答案为：8．

【点睛】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．

17．

【分析】根据负指数幂、零次方的运算法则计算即可．

【详解】解：原式=．

【点睛】本题考查了整式的运算，相关知识点有：负指数幂、零次方，熟记运算法则是解题关键．

18．

【分析】先计算二次根式的乘法运算，然年计算加减法即可．

【详解】解：

．

【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

19．

【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解，最后进行检验即可．

【详解】解：方程两边同乘以最简公分母，得： ，

去括号，得：，

解得：，

检验当时，，

∴是原方程的解．

【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤．

20．

【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别因式分解，进而约分得到最简结果即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．

21．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：

由①得：，                        

由②得：，                          

所以原不等式组的解集为．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是准确求出各个不等式的解集．

22．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）直接根据证明即可．

（2）根据（1）得，然后证明即可．

【详解】（1）解： 证明：在和中，

∴ ．

（2）解：由（1）知，

∴    ，      

在和中，

∴ ，       

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．

23．(1)，

(2)

【分析】（1）将的数值直接代入计算即可；

（2）将拆分组合成完全平方公式，然后代入数值即可．

【详解】（1）解：

（2）解：  

=      

=       

【点睛】本题考查了二次根式的计算，相关知识点有：完全平方公式，熟记运算法则是解题关键．

24．(1)见解析

(2)

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据 “”进行证明即可；

（2）先根据线段中点的定义可得的长，再根据全等三角形的性质和三角形面积公式求解即可．

【详解】（1）证明：∵在中，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

在和中，

∵，

∴；

（2）解：∵是边上的中线，

∴，

由（1）知，

∴，                

∴．

【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．

25．(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元；

(2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球．

【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；

（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．

【详解】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，

由题意得：

，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

则x+30=80．

答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．

（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，

由题意得：50×（1+8%）（50-a）+80×0.9a≤3060，

解得：a≤20，

答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．

【点睛】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

26．(1)

(2)成立，理由见解析

(3)或

【分析】（1）根据，得，然后证全等即可．

（2）方法同（1）；

（3）分类讨论：当D在线段上、点D在的延长线上、点D在AB的延长线上三种情况，然后根据条件证出为等边三角形，最后计算角度即可．

【详解】（1）解：，

，

，

，，

，

．

故答案为：；

（2）解：，理由如下：

∵，，

∴．

∴，

即．

在和中，

，

∴，

∴．

（3）解：①当D在线段上时，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，又，

∴为等边三角形，

∴，

在中，，，

∴．

②当点D在的延长线上时，

∵，

∴， 由（2）同理可得：，

∴，，

∴，又，

∴是等边三角形，

在中，， ，

，

③当点D在AB的延长线上时，同理可得也是等边三角形，

∴，

即，这与已知条件不符，故这种情况不存在，

综上所述，的度数为或．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、分类思想等知识点，熟练掌握全等三角形的证明是解题关键．