江苏省扬州市江都区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

这是一份江苏省扬州市江都区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省扬州市江都区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，则下列变形不正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A． ∵，∴，故该选项错误，符合题意；
B． ，故该选项正确，不符合题意；
C． ，则，故该选项正确，不符合题意；
D． ，故该选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果，那么，反之亦然．
2．一元二次方程根的情况为（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系，计算即可得出答案．
【详解】解：在一元二次方程中，
∵，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（    ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
【答案】B
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．
【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，
故应该关注该校所有女生身高的众数，
故选：B．
【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量．
4．在直角坐标系中，点P的坐标是，的半径为2，下列说法正确的是（    ）
A．与x轴、y轴都有两个公共点
B．与x轴、y轴都没有公共点
C．与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【答案】D
【分析】如图，由，轴于A，轴于B，可得与y轴相切，与x轴相交，从而可得答案．
【详解】解：如图，∵，轴于A，轴于B，

∴，，
∵的半径为2，
∴与y轴相切，与x轴相交，
∴与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点，
故选D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解本题的关键．
5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，
选项A中作了一个角的平分线和一条边的垂直平分线，不合题意；
选项B中作了两个角的平分线，符合题意；
选项C中作了两条边的垂直平分线，不合题意；
选项D中作了一条边的垂直平分线和底边的垂线，不合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查尺规作图和三角形内心的理解，解题的关键是掌握“三角形内心为三角形三个内角平分线的交点”．
6．如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为平方米，则可列方程为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可．
【详解】解：根据题意得：；  
故选C
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键．
7．如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ）

A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得出点M在O点为圆心，以为半径的圆上，然后得到当直线过圆心O时，最短，从而利用勾股定理计算出答案．
【详解】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆，

∵四边形为矩形，，
∴，
∵，
∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上，
连接交圆O与点N，
∵点B为圆O外一点，
∴当直线过圆心O时，最短，
∵，，
∴，
∴，
∵．
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对　圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
8．已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．
【详解】解：点、是二次函数图像上的两个点，
该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
当时，y随x的增大而减小，
该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．

二、填空题
9．一组数据：8，，，5的极差为__________．
【答案】
【分析】根据极差的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴数据：8，，，5的极差为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求极差，熟知极差的定义是解题的关键：一组数据中的最大值与最小值的差为极差．
10．如图，．若，，则的长为__________．

【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解．
【详解】解：．
，
又，
，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键．
11．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为_____．
【答案】
【分析】用白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是 ，
故答案为．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率, 掌握概率公式是解题的关键.
12．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为4米，则线段的长为__________米（结果保留根号）．

【答案】
【分析】根据建立方程即可求解．
【详解】解：
设则


（舍去），
故答案为：
【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解此题的关键．
13．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为__________．

【答案】##度
【分析】如图所示，连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
14．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为__________．

【答案】cm.
【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【详解】解：设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，
根据题意，得
解得x=4．
故选：4cm．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．已知抛物线，则该抛物线关于x轴对称的抛物线的函数关系式为__________．
【答案】
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：抛物线与抛物线关于x轴对称，
当横坐标相等时，纵坐标互为相反数，
即，得，
故所求抛物线的函数关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换的特点，熟练掌握和运用轴对称图形的坐标特点是解决本题的关键．
16．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，若小正方形的边长为1，则的长为__________．

【答案】3
【分析】连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，进而可得．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为__________秒．
【答案】18
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解∶ ，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，s有最大值，
∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．
18．如图，在中，，，点E是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点P，过点P作于点F．若面积为10，则的面积为__________．

【答案】
【分析】首先根据重心的性质，可求得，，再根据，，可证得，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：点E是的重心，
，点、点分别是、的中点，
，，
，
，
，
在中，，点是的中点，

，

，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了重心的性质，三角形中线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用重心的性质及相似三角形的性质得到相关三角形的面积是解决本题的关键．

三、解答题
19．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，

【分析】(1)采用配方法解此方程，即可求解；
(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．
【详解】（1）解：由原方程得：，
得，
得，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，；
（2）解：由原方程得：，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中．

(1)外接圆的圆心坐标是__________；外接圆的半径是__________；
(2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是__________；
(3)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为．
【答案】(1)；
(2)
(3)见解析

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念即可求出圆心坐标，然后勾股定理即可求出半径的长度；
（2）根据位似变换和位似中心的概念解答；
（3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答．
【详解】（1）解：如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点G，连接，

根据网格的特点可得圆心；
∴半径，
故答案为：；；
（2）解：如图，连接，交于点，即位似中心，

根据网格的特点可知，
故答案为：；
（3）解：
，且相似比为．

根据网格的特点作出，如图，

即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查的是格点正方形、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键．
21．在党的二十大胜利召开之际，某中学举行“同声放歌心向党，携手欢庆二十大”歌唱大赛，向党的二十大献礼，八年级和九年级根据级部初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个年级各选出的5名选手的复赛成绩（单位：分）如下表：
八年级
80
75
85
100
85
九年级
75
100
70
100
80

(1)八年级复赛成绩的中位数是__________分，九年级复赛成绩的众数是__________分；
(2)计算两个年级复赛成绩的方差，并说明哪个年级的复赛成绩较稳定．
【答案】(1)85；100
(2)，，八年级的复赛成绩较稳定

【分析】（1）根据中位线和众数的定义进行求解即可；
（2）根据方差的定义求出两个年级的方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可
【详解】（1）解：把八年级成绩从小到大排列为：，处在最中间的为，
∴八年级复赛成绩的中位数是85分；
∵九年级复赛成绩中100分出现了两次，出现的次数最多，
∴九年级复赛成绩的众数是100分，
故答案为：85；100；
（2）解：八年级复赛成绩的平均成绩为分，
∴八年级复赛成绩的方差为；
九年级复赛成绩的平均成绩为分，
∴九年级复赛成绩的方差为；
∵，即，
∴八年级的复赛成绩较稳定．
【点睛】本题主要考查了求中位数，方差和众数，熟知中位数，方差和众数的定义是解题的关键．
22．为庆祝神州十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加．
(1)若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是__________；
(2)若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率．
【答案】(1)
(2)表格见解析，

【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同，
∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是，
故答案为：．
（2）解：列表如下：

A
B
C
D
A




B




C




D





由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数有2种，
∴恰好选中A、B两名同学参加活动的概率．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．如图，在中，，，．

(1)求边上的高的长度；
(2)正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边、上，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由勾股定理求出，再由三角形面积即可得出答案；
(2)设正方形边长为x，证出，得出比例式，进而得出答案．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，
，
，
如图，设与交于点M，

，
∴四边形是矩形，
，
设正方形的边长为x，
，
，
得
解得，
∴正方形的边长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比，学会用方程的思想解决问题．
24．某商店销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月售出，经市场调查，销售价每提高1元，月销售量就减少．
(1)当销售单价定为60元时，求月销售量和销售利润．
(2)商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？
(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【答案】(1)月销售量为；销售利润为元
(2)销售单价应定为85元
(3)当售价定为70元时，会获得最大利润元

【分析】（1）先根据销售量和售价的关系求出月销售量，再根据销售利润（销售单价成本价）数量求出对应的销售利润即可；
（2）设销售单价定为x元，根据销售利润（销售单价成本价）数量建立方程求解即可；
（3）设销售单价定为x元，月利润为y元，根据销售利润（销售单价成本价）数量得到y与x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，当销售单价定为60元时，月销售量为，
∴销售利润为元；
（2）解：设销售单价定为x元，根据题意得：
解得：
当时，销售成本为，不合题意，舍去；
当时，销售成本为，符合题意；
答：销售单价应定为85元；
（3）解：设销售单价定为x元，月利润为y元，根据题意得：
，
当时，；
答：当售价定为70元时，会获得最大利润元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意，列出对应的式子和方程是解题的关键．
25．如图，是的直径，、是的弦，，垂足为E，连接并延长，与过点A的直线相交于点P，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】(1)首先证明，根据平行线的性质得到，再根据切线的判定定理证明结论即可；
(2)连接，根据勾股定理可求出，证明，再根据相似三角形的性质计算，即可求得
线段的长．
【详解】（1）证明: 由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解: 如图, 连接，

是的直径，，
，
，
是的直径，
，，
，
，，
，
，即，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理及推论、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
26．如图，在中，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接．

(1)请找出图中与相似的三角形，并说明理由；
(2)求当A、E、F三点在一直线上时的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)或

【分析】（1）先根据正方形的性质和勾股定理得到，，再根据等腰直角三角形的性质
和勾股定理得到，，进而证明，，由此即可
证明；
（2）先利用勾股定理求出，进而求出，再分当在左上方时，当在右下
方时，两种情况求出的长，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵当A、E、F三点在一直线上时，，
∴，
如图1，当在左上方时，
∴，
∵，
∴，
∴；

如图2，当在右下方时，
∴

∵，
∴，
∴；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
27．规定：某一个函数图像上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．
(1)函数__________“自反”函数（填：“是”或“不是”），如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由；
(2)若抛物线（为常数）上有且只有一个“反点”，求的值；
(3)若抛物线（、为常数，）对于任意的常数恒有两个“反点”，求a的取值范围．
【答案】(1)是，
(2)a的值为或4
(3)

【分析】（1）根据定义可知，“自反”函数与有交点，联立解析式求解即可；
（2）根据定义，可得与只有1个交点，根据判别式即可求解；
（3）根据定义联立二次函数解析式与，令，得到关于的代数式，根据代数式恒大于0，令，即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：∵经过原点，满足定义，则是“自反”函数
依题意，
解得或，
自反”函数的“反点”是或，
故答案为：是．
（2）解：依题意，
即有两个相等的实数解，
∴，
解得：或；
（3）关于的二次函数（，为常数）对于任意的常数恒有两个“反点”，
，
即有两个不等实数根，
，
即，
关于的二次函数与轴无交点，
，
解得:．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数交点问题、反比例函数与几何图形、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，理解新定义并熟练应用是解题的关键．
28．问题提出：若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？比如两个正数的和是1，那么这两个正数可以是和，和，和，…它们的乘积分别是，，，…，初步判断：当这两个正数分别是和时，乘积有最大值为．

(1)问题探究：
若两个正数的和是10，其中一个正数为，这两个正数的乘积为y，试探究y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
(2)结论猜想：
猜想：若任意两个正数的和是一个固定的数a，那么这两个正数的乘积存在最大值，最大值为__________．
(3)结论应用：
①已知m、n满足，则当t为多少时，取得最大值？并求出最大值：
②如图，是的直径，，C是上一点，且，点D是半圆上一动点，点E、F分别是延长线上一点，且满足，直接写出四边形的面积的最大值．
【答案】(1)，25
(2)
(3)①，；  ②25

【分析】（1）根据题意得到，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）：设其中一个正数为m，则另一个正数为，它们的积为n，仿照（1）得到，利用二次函数的性质即可得到答案；
（3）①先求出且，再根据（2）的结论进行求解即可；②先解直角三角形求出，则，如图所示，过点A作于H，则，推出，同理可得，进而推出，根据（2）的结论求出的最大值为即可得到答案．
【详解】（1）解：∵两个正数的和是10，其中一个正数为，
∴另一个正数是，
∵这两个正数的乘积为y，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为；
（2）解：设其中一个正数为m，则另一个正数为，它们的积为n，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为；
（3）解：①∵，
∴，且，
∴由（2）的结论可知，当，即时，有最大值；
②∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点A作于H，
∴，
∴，
同理可得，
又∵，
∴，
∴


，
∵，且，
∴由（2）的结论可知的最大值为，
∴的最大值为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等等等，正确理解题意是解题的关键．