安徽省蚌埠市蚌埠第六中学2022-2023学年九年级上学期期末监测数学试卷（含详细答案）

安徽省蚌埠市蚌埠第六中学2022-2023学年九年级上学期期末监测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．的值等于（    ）

A．2 B．1 C． D．

3．已知抛物线，下列结论错误的是（    ）

A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大

4．若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，为圆的一弦，且点在上．若，，的弦心距为3，则的长度为何？（   ）

A．3 B．4 C． D．

6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

7．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ）

A． B． C．或 D．

8．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：

那么方程的一个近似根是( )A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3

9．如图，直线与x轴交于点A，与函数的图象交于点B，轴于点C，平移直线，使其过点C，且与函数的图象交于D，若，则k的值为（   ）

A．6 B．8 C．10 D．12

10．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，其中斜边的端点D在斜边的延长线上，相交于点F，则以下判断不正确的是（   ）

A．是等边三角形 B．

C．是等腰三角形 D．

二、填空题

11．点是线段的黄金分割点，，若，则______．

12．两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为______．

13．如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则______．

14．已知抛物线与y轴交于点C，顶点的纵坐标为1，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F．

（1）a的值为______；

（2）P为线段EF上一点，过点P作，交抛物线于M，N两点，若，则点P的坐标为______．

三、解答题

15．计算：2sin30°﹣2cos60°+tan45°

16．已知a，b，c为的三边长，且，．

(1)求线段a，b，c的长；

(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．

17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

(1)以原点O为位似中心，位似比为，在第二象限画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标；

(2)点是线段BC上的一点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．

18．周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：）

19．已知的半径为，弦，，，求与间的距离．

20．如图，等腰直角三角形的顶点M在等腰直角三角形的边上，的延长线交于点D，其中．

(1)求证：；

(2)若，求的值．

21．如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．

(1)求y1与y2的解析式；

(2)观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；

(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为        ．

22．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．

(1)求y关于x的一次函数解析式；

(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．

23．在四边形中，的平分线交于点F，延长到E使，G是的中点，交于点O，连接．

(1)当四边形是矩形时，如图，求证：①；②；

(2)当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立．请给出结论的证明．

参考答案：

1．D

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2．B

【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．

【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：

∴∠B=90°-45°=45°，

∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，

∴根据正切定义，，

∵∠A=45°，

∴，

故选 B．

【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．

3．D

【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．

【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；

由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；

由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；

因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；

故选D．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．

4．B

【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．

【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：

，解得；

，解得；

，解得；

∵-8<2<4，

∴，

故选： B．

【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．

5．D

【分析】作于点，由垂径定理得，中勾股定理即可求解．

【详解】解：作于点，如图所示，

由题意可知：，，，

，

，

，

在中

，

故选：D．

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出的长．

6．C

【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．

【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，

，

，

，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

7．A

【分析】由求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即可得出答案．

【详解】解：∵求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，

又∵当时，二次函数的图象在x轴上方，

∴不等式的解集为．

故选：A．

【点睛】本题考查图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键．

8．C

【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，

故选：C

【点睛】考点：图象法求一元二次方程的近似根．

9．B

【分析】过点D作轴于点E，设，通过表示点D的坐标，由,即可求解．

【详解】解：过点D作轴于点E，

由直线可知，

设

∴，，

∴，

由题意可知，

∴，

即，

∴，，

∴

∴点D的坐标为

∵点B、点D在反比例函数上，

∴,

解得：或(舍)

∴

故选B．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的解析式，考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图像上点坐标特征，由列出方程是解题的关键．

10．D

【分析】过点D作，在上取点G，使，连接，证明，推出，，再证明，推出是等边三角形，即可证明是等边三角形，据此求解即可判断．

【详解】解：过点D作，在上取点G，使，连接，

∵和是两个全等的等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，，

∴，

又，

∴，

∴，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴是等边三角形，选项A成立，

∴，即是等腰三角形，则选项C也成立，

，

∴，，

∴，则选项B也成立，

∴没有条件能证明，故选项D不成立，

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，证明是等边三角形是解题的关键．

11．##

【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于 ，代入求值即可．

【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，

∴，

故答案为： ．

【点睛】本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键．

12．####

【分析】根据勾股定理可求出该直角三角形的斜边长为，再根据直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半即可求解．

【详解】由题意可求出该直角三角形的斜边长为，

∴该直角三角形外接圆的半径为．

故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形外接圆的性质．掌握直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半是解题关键．

13．

【分析】过点D作于点E．由，可求出，进而由勾股定理可求出．再根据，，可设，则，，从而由可列出关于x的等式，解出x 的值，即可求出，，最后根据勾股定理可求出，进而可求出．

【详解】如图，过点D作于点E．

∵，

∴，即，

解得：，

∴．

∵，，

∴可设，则，．

∵，

∴

解得：，

∴，，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键．

14．         

【分析】（1）求出顶点坐标，利用纵坐标的值解题即可；

（2），直线所在直线为，得到直线的解析式为，设，，利用根与系数的关系求出解题即可．

【详解】解：（1）

∴顶点坐标为，

∵顶点的纵坐标为1，

∴

∴抛物线解析式为

（2）过点作交轴于点G

∵，直线所在直线为，

∴当时，；令，则，则

∴

∵

∴

∴

即：

∴，解得：

∴

∴直线解析式为，

∵

∴直线的解析式为，

设，，

由消去y得到，

∴，

∵

∴，

∵点P在直线上，

∴

故答案为：，

【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次函数的顶点，解题的关键是学会用数形结合思想解决问题．

15．1

【详解】试题分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可．

试题解析：

2sin30°﹣2cos60°+tan45°

=2× ﹣2× +1

=1﹣1+1

=1

16．(1)

(2)

【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；

（2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可．

【详解】（1）由题意可设，则，

∵，

∴，

解得：，

∴；

（2）∵，

∴，

整理，得：，

解得：（舍去负值）．

【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．

17．(1)见解析，的坐标为

(2)

【分析】（1）连接并延长，截取，连接并延长，截取，连接OC并延长，截取，确定出，并求出点坐标即可；

（2）根据A与坐标，B与坐标，以及C与坐标的关系，确定出变化后点D的对应点坐标即可．

【详解】（1）根据题意画出图形，如图所示：

则点的坐标为；

（2）变化后D的对应点的坐标为：．

【点睛】此题考查了作图−位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

18．这栋楼的高度为：米

【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，在Rt△AEB和Rt△AEC中，根据正切的概念分别求出BE、EC，计算即可．

【详解】解：过A作于E，

∴

由依题意得：，

和中，

∵，

∴，

∴

∴这栋楼的高度为：米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．

19．或

【分析】有两种情况，即AB，CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，需分类讨论．

【详解】解：如图①，过作于交于，连接，，

，

；

由垂径定理得，，

，，

；

如图②，过作于，于，连接，，

同理可得，，

当，在圆心的两侧时，

，

与的距离为或．

【点睛】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB、CD的位置关系有两种，不要漏解．

20．(1)见解析

(2)5

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可知．再根据，，即得出，从而可证，进而得出；

（2）由，可设，则，由勾股定理可得．又易证，即得出，从而可求出，再由勾股定理可求出，从而可求出，进而得出．

【详解】（1）证明：∵三角形和三角形都为等腰直角三角形，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，即；

（2）解：∵，

∴可设，则，

∴．

∵，，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．掌握三角形相似的判定定理和性质并利用数形结合的思想是解题关键．

21．(1)，；

(2)；

(3)2．

【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；

（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y1<y2，，所以x取值在A、B两点横坐标之间；

（3）根据平移性质可知，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积=的代数式求解即可．

【详解】（1）∵一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，

∴，    ，

解得：，  ，

∴y1、y2的解析式为：，；

（2）从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y1<y2，

∴x的取值范围为：；

（3）

作CG⊥DE于G，如图，

∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，

∴，CF=t，

∵直线AB的解析式为，

∴直线AB与y轴的交点为C，与x轴的交点为，

即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，

∴∠FCA=45°，

∵CG⊥DE， ，

∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，

∴∠GCF=∠GFC=45°，

∴CG==，

∵A、C两点坐标为：A（6，－），C，

∴线段AC=，

∴，

∵△ACD的面积为6，

∴3t=6，

解得：t=2．

【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．

22．(1)

(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元

【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案；

（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．

【详解】（1）解：设，把，和，代入可得

，

解得，

则；

（2）解：每月获得利润

．

∵，

∴当时，P有最大值，最大值为3630．

答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．

【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．

23．(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）①证明即可；②连接，证明，即可证明；

（2）①的结论和（1）中证明一样，证明即可；②的结论，作，证明即可．

【详解】（1）证明：①证明过程：

四边形为矩形，

，

平分，

，

为等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

②证明：连接，

G为的中点，四边形为矩形，

，

，

平分，为等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）作交于M，连接，作交于点N，如图所示，

，

由（1）同理可证：，

，

四边形为平行四边形，

，

，

，

G为的中点，由平行线分线段成比例可得，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．