高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（六） Word版含答案

 www.ks5u.com板块命题点专练（六）

1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．－　　　　　　　　 B．

C．－  D．

解析：选D　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°

＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°

＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D．

2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α＝(　　)

A．  B．

C．－  D．－

解析：选D　因为cos＝，

所以sin 2α＝cos＝cos

＝2cos2－1＝2×－1＝－．

3．(2016·全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)

A．－  B．－

C．  D．

解析：选D　∵cos 2θ＝＝，

又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝．

4．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．

解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，

所以cos＞0，

所以cos＝ ＝．

tan＝tan

＝－

＝－

＝－×＝－．

答案：－

5．(2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．

解析：由θ在第二象限，且tan＝，得sin＝－，故sin θ＋cos θ＝sin＝－．

答案：－

6．(2015·四川高考)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan 是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．

(1)求C的大小；

(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．

解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，

所以p≤－2或p≥．

由根与系数的关系，

有tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p，

于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，

从而tan(A＋B)＝＝－＝－．

所以tan C＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°．

(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝，

解得B＝45°或B＝135°(舍去)．

于是A＝180°－B－C＝75°．

则tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)

＝

＝＝2＋．

所以p＝－(tan A＋tan B)

＝－(2＋＋1)

＝－1－．

1．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)

A．  B．

C．2  D．3

解析：选D　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，

解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．

2．(2016·全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)

A．  B．

C．－  D．－

解析：选C　法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a．

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a．

∴cos A＝＝＝－．故选C．

法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a．

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AB＝ ＝a．

同理，在Rt△ACD中，AC＝ ＝a．

∴cos A＝＝－．

3．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)

A．5  B．

C．2  D．1

解析：选B　由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°．当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°．由余弦定理可得AC＝＝．

4．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．

解析：因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝，

所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝．

又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝．

答案：

5．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m．

解析：在△ABC中，AC＝100 m，在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，解得MA＝100 m，在△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m．即山高MN为150 m．

答案：150

6．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c．

(1)求C；

(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

解：(1)由已知及正弦定理得

2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，

即2cos Csin(A＋B)＝sin C，

故2sin Ccos C＝sin C．

可得cos C＝，所以C＝．

(2)由已知得absin C＝．

又C＝，所以ab＝6．

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，

故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．

所以△ABC的周长为5＋．

7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；

(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，

S△ADC＝AC·ADsin∠CAD．

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，

所以AB＝2AC．

由正弦定理，得＝＝．

(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝．

在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC．

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6．

由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1．

1．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB．

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由已知及正弦定理得，

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①

又A＝π－(B＋C)，

故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②

由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B．

又B∈(0，π)，所以B＝．

(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac．

由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos．

又a2＋c2≥2ac，故ac≤＝4＋2，当且仅当a＝c时等号成立．

因此△ABC面积的最大值为(4＋2)＝＋1．

2．(2015·山东高考)设f(x)＝sin xcos x－cos2x＋．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由题意知f(x)＝－

＝－＝sin 2x－．

由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；

单调递减区间是(k∈Z)．

(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，

由题意知A为锐角，所以cos A＝．

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，

即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．

因此bcsin A≤．

所以△ABC面积的最大值为．