高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（十二） Word版含答案

 www.ks5u.com板块命题点专练（十二）

1．(2013·天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)

A．－　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．

解析：选C　由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2．

2．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 (　　)

 A．x＋y－2＝0  B．x－y＋2＝0

C．x＋y－3＝0  D．x－y＋3＝0

解析：选D　依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0．故选D．

1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析：选D　圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．

2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B　∵A(1,0)，B(0，)，C(2，)，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为，故中心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝．

3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，

则解得

所以圆的标准方程为2＋y2＝．

答案：2＋y2＝

4．(2015·山东高考)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．

解析：如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，|OP|＝＝2，又|OA|＝|OB|＝1，可以求得|AP|＝|BP|＝，∠APB＝60°，故·＝××cos 60°＝．

答案：

5．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．

解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，

所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，

所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π．

答案：4π

6．(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．

解析：如图所示，圆心在直线x＝2上，所以切点A为(2,1)．

设圆心C为(2，t)，由题意，

可得|OC|＝|CA|，

故4＋t2＝(1－t)2，

所以t＝－，半径r2＝．

所以圆C的方程为

(x－2)2＋2＝．

答案：(x－2)2＋2＝

7．(2014·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．

解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2．

答案：2

8．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．

解析：由题意，圆心与点P的连线的斜率kOP＝2，

∴切线的斜率k＝－．

由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，

即x＋2y－5＝0．

答案：x＋2y－5＝0

9．(2016·全国丙卷)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.

解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，

∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，

从而∠BDP＝60°.

在Rt△BOD中，

∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.

取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，

∴OH为直角梯形ABDC的中位线，

∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.

答案：4

10．(2014·北京高考)已知椭圆C：x2＋2y2＝4．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．

解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．

因此a＝2，c＝．

故椭圆C的离心率e＝＝．

(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：

设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0．

因为OA⊥OB，

所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．

当x0＝t时，y0＝－，

代入椭圆C的方程，得t＝±，

故直线AB的方程为x＝±．

圆心O到直线AB的距离d＝．

此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

当x0≠t时，

直线AB的方程为y－2＝(x－t)．

即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0．

d＝ ．

又x＋2y＝4，t＝－，

故d＝＝＝．

此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

11．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．

解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1．

因为直线l与圆C交于两点，

所以<1，

解得<k<．

所以k的取值范围为．

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，

整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．

所以x1＋x2＝，x1x2＝．

·＝x1x2＋y1y2

＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝＋8．

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，

所以直线l的方程为y＝x＋1．

故圆心C(2,3)在直线l上，

所以|MN|＝2．