高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（十三） Word版含答案

 www.ks5u.com板块命题点专练（十三）

1．(2015·广东高考)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．3

C．4  D．9

解析：选B　由左焦点为F1(－4,0)知c＝4．又a＝5，

∴25－m2＝16，解得m＝3或－3．又m＞0，故m＝3．

2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A　如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．

设E(0，m)，

由PF∥OE，得＝，

则|MF|＝．①

又由OE∥MF，得＝，

则|MF|＝．②

由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，

∴e＝＝．

故选A．

3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．

4．(2015·浙江高考)椭圆＋＝1(a＞b＞0 )的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．

解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ．

又O为线段F1F的中点，

∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|．

在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，

可解得|OM|＝，|MF|＝，

故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝．

由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，

整理得b＝c，

∴a＝＝c，故e＝＝．

答案：

5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

解：(1)由题意得＝，＋＝1，

解得a2＝8，b2＝4．

所以C的方程为＋＝1．

(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．

将y＝kx＋b代入＋＝1，

得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．

故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝．

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

即kOM·k＝－．

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

1．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A．(－1,3)  B．(－1，)

C．(0,3)  D．(0，)

解析：选A　由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3．

2．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A．  B．2

C．  D．

解析：选D　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，

∴点M的坐标为．

∵点M在双曲线上，

∴－＝1，解得a＝b，

∴c＝a，e＝＝．故选D．

3．(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)

A．  B．

C．  D．2

解析：选A　法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．

法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．

又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．

4．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．

解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，

∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，)，

∴λ＝16－4×()2＝4，

∴双曲线的标准方程为－y2＝1．

法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，

∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．

∴双曲线的焦点在x轴上，

故可设双曲线方程为

－＝1(a>0，b>0)．

由已知条件可得

解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1．

答案：－y2＝1

5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．

解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．

∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，

∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝．

∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b．

又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2．

答案：2

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)

A．3  B．6

C．9  D．12

解析：选B　由题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，

∴椭圆中c＝2，

又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，

从而椭圆的方程为＋＝1．

∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，

∴xA＝xB＝－2，

将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，

由椭圆的对称性可知|AB|＝2|yA|＝6．

2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A．　　　　　　 B．

C．  D．   

解析：选A　由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1．在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝．

3．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．

解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝ ＝ ＝．

答案：

4．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．

(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．

解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，

或M(－2，a)，N(2，a)．

又y′＝，

故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，

即x－y－a＝0．

y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，

即x＋y＋a＝0．

故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0．

(2)存在符合题意的点．理由如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．

将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0．

故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a．

从而k1＋k2＝＋

＝＝．

当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．

1．(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．

解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0．

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．

又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2．

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0．

解得y＝0或y＝，

所以y1＝．

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．

(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，

代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0．

由x1·(－2)＝，得x1＝，

故|AM|＝|x1＋2|＝．

由题意，设直线AN的方程为y＝－(x＋2)，

故同理可得|AN|＝．

由2|AM|＝|AN|，得＝，

即4k3－6k2＋3k－8＝0．

设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．

f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，

所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增．

又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，

因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，

所以＜k＜2．

2．(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|．

又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，

从而|AD|＝4，

所以|EA|＋|EB|＝4．

由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝．

所以|MN|＝|x1－x2|＝．

过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，

点A到直线m的距离为，

所以|PQ|＝2＝4 ．

故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12．

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，

故四边形MPNQ的面积为12．

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．