高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 冲刺985 压轴题命题区间（一） 函数与方程 Word版含答案

压轴题命题区间(一)函数与方程

　已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________．

　由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0，得f(x)＝|x|－1，作出y＝f(x)，y＝|x|－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2．

　2

判定函数零点个数的3种方法

1．(2017·山西四校联考)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝log2|x|在区间内解的个数是(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．6

C．7  D．8

解析：选A　由题意画出y1＝f(x)，y2＝log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5．

2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点个数为________．

解析：设x＜0，则－x＞0，

所以f(x)＝－f(－x)＝－＝－x2－3x．

求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝x－3的解．

当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；

当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－，

所以函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为{－2－，1,3}，共3个．

答案：3

　(1)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是(　　)

A．   B．(1,2)

C．  D．(2,3)

(2)(2016·海口调研)已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则(　　)

A．1＜x1x2＜  B．＜x1x2＜1

C．2＜x1x2＜2  D．＜x1x2＜2

　(1)由函数图象可知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，f′(x)＝2x＋a，所以g(x)＝ln x＋2x＋a，函数g(x)＝ln x＋2x＋a在定义域内单调递增，g＝ln ＋1＋a＜0，g(1)＝ln 1＋2＋a＞0，所以函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是．

(2)依题意得f′(x)＝－2ke－2x，f′(0)＝－2k＝－1，k＝．在同一坐标系下画出函数y＝f(x)＝e－2x与y＝|ln x|的大致图象如图所示，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－2x1＝|ln x1|＝－ln x1∈，e－2x2＝|ln x2|＝ln x2∈，e－2x2－e－2x1＝ln x2＋ln x1＝ln(x1x2)∈，于是有e－＜x1x2＜e0，即＜x1x2＜1．

　(1)C　(2)B

函数零点存在性定理是解决函数零点问题的主要依据，这个定理能够判断函数零点的存在，并且能找到零点所在的区间．

在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断这个区间上零点的个数．

1．已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)  B．(－1,0)

C．(0,1)  D．(1,2)

解析：选B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，

又f(x)＝ax＋x－b，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．

2．(2017·郑州质检)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当0＜x≤1时，f(x)＝logx，则方程f(x)－1＝0在(0,6)内的所有根之和为(　　)

A．8  B．10

C．12  D．16

解析：选C　∵奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函数，其周期T＝4．

当0＜x≤1时，f(x)＝logx，故f(x)在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f(x)－1＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故选C．

　已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)

A．  B．

C．  D．

　由f(x)＝

得f(2－x)＝

所以f(x)＋f(2－x)＝

即f(x)＋f(2－x)＝

所以y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(2－x)－b，

所以y＝f(x)－g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)＋f(2－x)－b＝0有4个不同的解，

即函数y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个公共点，由图象可知＜b＜2．

　D

已知函数有零点(方程有根)求参数值或取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数：先将参数分离，转化为求函数值域加以解决；

(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．

1．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．

C．时，f(x)＝x2，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－t(x＋1)有两个不同的零点，则实数t的取值范围是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D　当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，f(x)＝－2＝－2＝－，所以函数f(x)在(－1，1]上的解析式为f(x)＝

作出函数f(x)在(－1,1]上的大致图象如图．令y＝t(x＋1)，y＝t(x＋1)表示恒过定点(－1,0)、斜率为t的直线，由图可知直线y＝t(x＋1)的临界位置，此时t＝，因此t的取值范围是．故选D．

1．在，k∈Z上存在零点的函数是(　　)

A．y＝sin 2x　　　　　　 B．y＝cos 2x

C．y＝tan 2x  D．y＝sin2x

解析：选B　当x∈，k∈Z时，

sin 2x＜0，sin2x＞0恒成立．故排除A，D，若tan 2x＝0，

则2x＝kπ，x＝，k∈Z，所以y＝tan 2x在x∈，k∈Z上不存在零点，当x＝＋2kπ，k∈Z时，cos 2x＝0，故选B．

2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)、(b，c)内

B．(－∞，a)、(a，b)内

C．(b，c)、(c，＋∞)内

D．(－∞，a)、(c，＋∞)内

解析：选A　f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，即f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，又∵f(x)在R上是连续函数，∴两零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．

3．在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D　∵f(0)＝1，f(1)＝2，

∴f(0)f(1)＞0；

∵f(2)＝5，f(1)＝2，∴f(2)f(1)＞0；

∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，

∴f(－2)f(－1)＞0；

∵f(0)＝1，f(－1)＝－，∴f(0)f(－1)＜0．

易知符合条件，故选D．

4．(2017·皖江名校联考)已知函数f(x)＝ex－2ax，函数g(x)＝－x3－ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－2,3)  B．(－6,0)

C．  D．

解析：选D　易得f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤，由题意可知≤－2a，解得－6≤a≤0．

5．函数y＝ln x＋x－－2的零点所在的区间为(　　)

A．  B．(1,2)

C．(2，e)  D．(e,3)

解析：选C　由题意，求函数y＝ln x＋x－－2(x＞0)的零点，即为求曲线y＝ln x与y＝－x＋＋2的交点，可知y＝ln x在(0，＋∞)上为单调递增函数，而y＝－x＋＋2在(0，＋∞)上为单调递减函数，故交点只有一个，当x＝2时，ln x＜－x＋＋2，当x＝e时，ln x＞－x＋＋2，因此函数y＝ln x＋x－－2的零点在(2，e)内．故选C．

6．已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；②当x∈时，f(x)＝．若函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)在区间(－4,5)上的零点个数是(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

解析：选C　函数f(x)与g(x)在区间上的图象如图所示，由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间(－4,5)上的交点个数为9，即函数y＝f(x)－g(x)在区间(－4,5)上零点的个数是9．

7．(2017·昆明两区七校调研)若f(x)＋1＝，当x∈时，f(x)＝x，在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－有两个零点，则实数m的取值范围是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B　依题意，

f(x)＝－1，

当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，

f(x)＝－1＝－1，

由g(x)＝0得f(x)＝m．

在同一坐标系上画出函数y＝f(x)与y＝m在区间(－1,1]内的图象，

结合图象可知，要使g(x)有两个零点，只需函数y＝f(x)与y＝m在区间(－1，1]内的图象有两个不同的交点，

故实数m的取值范围是，选B．

8．(2017·海口调研)若关于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A　依题意，注意到x＝0是方程|x4－x3|＝ax的一个根．

当x＞0时，a＝|x3－x2|，

记f(x)＝x3－x2，

则有f′(x)＝3x2－2x，

易知f(x)＝x3－x2在区间上单调递减，

在区间(－∞，0)，上单调递增．

又f(1)＝0，

因此g(x)＝＝的图象如图所示，由题意得直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有3个不同的交点时，a∈，选A．

9．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D　函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，

设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b，

若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，

则|1－b|≤1，∴0≤b≤2．

由于g(x)＝x2－ax－a＋3必经过点(－1,4)，

∴要使其零点在区间上，

则即

解得2≤a≤3．

10．已知在区间上g(x)＝－x2－x＋2，f(x)＝

给出下列四个命题：

①函数y＝f有三个零点；

②函数y＝g有三个零点；

③函数y＝f有六个零点；

④函数y＝g有且只有一个零点．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选D　画出函数f(x)，g(x)的草图，如图，

①设t＝g(x)，则由f＝0，得f(t)＝0，

则t＝g(x)有三个不同值，由于y＝g(x)是减函数，所以f＝0有3个解，

所以①正确；

②设m＝f(x)，若g＝0，即g(m)＝0，

则m＝x0∈(1,2)，所以f(x)＝x0∈(1,2)，

由图象知对应f(x)＝x0∈(1,2)的解有3个，

所以②正确；

③设n＝f(x)，若f＝0，

即f(n)＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，

而f(x)＝x1∈(－3，－2)有1个解，f(x)＝0对应有3个解，f(x)＝x2＝2对应有2个解，所以f＝0共有6个解，所以③正确；

④设s＝g(x)，若g＝0，即g(s)＝0，

所以s＝x3∈(1,2)，则g(x)＝x3，

因为y＝g(x)是减函数，所以方程g(x)＝x3只有1个解，所以④正确，故四个命题都正确．

11．已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为________．

解析：当x∈时，f′(x)＝6x2＋6x≥0，

则f(x)＝2x3＋3x2＋m在上单调递增，

因为函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，

所以在区间和(1，＋∞)内分别有一个交点，

则m＜0，且f(1)＝m＋5＞0，解得－5＜m＜0．

答案：(－5,0)

12．设函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．

解析：①当x≤0时，

y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，

令x－1＝0，则x＝1，

显然与x≤0矛盾，

所以此情况无零点．

②当x＞0时，分两种情况：

当x＞1时，log2x＞0，

y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，

令log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，

解得x＝4；

当0＜x≤1时，log2x≤0，

y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝2log2x－1＝x－1，

令x－1＝0，解得x＝1．

综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2．

答案：2

13．(2017·湖北优质高中联考)函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．

解析：原问题可转化为求y＝|x－1|与y＝－2cos πx在内的交点的横坐标的和，

因为上述两个函数图象均关于x＝1对称，

所以x＝1两侧的交点关于x＝1对称，

那么两对应交点的横坐标的和为2，

分别画出两个函数在上的图象(如图)，

可知在x＝1两侧分别有5个交点，

所以所求和为5×2＝10．

答案：10

14．已知函数f(x)＝与g(x)＝a(x＋1)的图象在(－1,1]上有2个交点，若方程x－＝5a的解为正整数，则满足条件的实数a的个数为________．

解析：在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象，如图，结合图象可知，实数a的取值范围是．

由x－＝5a，可得x2－5ax－1＝0，

设h(x)＝x2－5ax－1，

当x＝1时，由h(1)＝1－5a－1＝0，

可得a＝0，不满足题意；

当x＝2时，由h(2)＝4－10a－1＝0，

可得a＝≤，满足题意；

当x＝3时，由h(3)＝9－15a－1＝0

可得a＝＞，

不满足题意．

又函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，

故满足条件的实数a的个数为1．

答案：1