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高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 Word版含答案
展开这是一份高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 Word版含答案，共120页。试卷主要包含了直线的倾斜角，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
第八章解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是
1．(教材习题改编)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m＝________．
答案：－2
2．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
答案：x＋13y＋5＝0
3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________．
解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋．依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2．
答案：1或－2
1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．
1．经过点A(2，－3)，倾斜角等于直线y＝x的2倍的直线方程为________．
解析：直线y＝x的斜率k＝1，故倾斜角为，所以所求的直线的倾斜角为，则所求的直线方程为x＝2．
答案：x＝2
2．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．
解析：①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，
即4x＋3y＝0．
②若直线不过原点．
设＋＝1，即x＋y＝a．
则a＝3＋(－4)＝－1，
所以直线的方程为x＋y＋1＝0．
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
1．(2016·绥化一模)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．
1．倾斜角与α斜率k的关系
当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞．
当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
2．斜率的2种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－．又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0．
(2)当直线不过原点时，
设所求直线方程为＋＝1，
将(－5,2)代入所设方程，
解得a＝－，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，
设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，
解得k＝－，
所以直线方程为y＝－x，
即2x＋5y＝0．
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0．
求直线方程的2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；
(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
解：(1)设直线在x轴，y轴上的截距均为a．
①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)．
∴直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0．
②若a≠0，设所求直线的方程为＋＝1，
又点(3,4)在直线上，∴＋＝1，∴a＝7．
∴直线的方程为x＋y－7＝0．
综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0．
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1．
又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0．
直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的命题角度有：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数的几何意义相结合的问题；
(3)与圆相结合求直线方程的问题．
角度一：与基本不等式相结合的最值问题
1．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1．
(1)＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，
当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，
△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0．
(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0．
角度二：与导数的几何意义相结合的问题
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，
则k＝2x0＋2．
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，
即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－．
角度三：与圆相结合求直线方程的问题
3．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是____________________．
解析：直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，
∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，
代入半圆方程得B．
所以直线AB的方程为＝，
即x＋y－－1＝0．
答案：x＋y－－1＝0
处理直线方程综合应用的2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5．
答案：5
2．(2017·衡阳一模)已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0
答案：∪(0，＋∞)
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选A 设直线l的斜率为k，则k＝－＝．
2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：选D 直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0．
3．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )
A．(－6，－2) B．(－5，－3)
C．(－∞，－6) D．(－2，＋∞)
解析：选A 解方程组得
因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6
解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈ B．(－∞，－2]∪ D．(－∞，＋∞)
解析：选C 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是．
5．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( )
A．8 B．2
C． D．16
解析：选A ∵点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8．
6．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
解析：若直线过原点，则直线方程为3x＋2y＝0；
若直线不过原点，则斜率为1，方程为y＋3＝x－2，即为x－y－5＝0，故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0．
答案：3x＋2y＝0或x－y－5＝0
7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是．
答案：
8．(2016·沈阳一模)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
解析：由直线l：＋＝1(a>0，b>0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b．求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点(1,2)得＋＝1．于是a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋，因为＋≥2＝2当且仅当＝时取等号，所以a＋b≥3＋2，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2．
答案：3＋2
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为．
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－．
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1．
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
10．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x．
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知曲线y＝，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当且仅当x＝0时取等号)．
所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0．该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝．
答案：
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B(0,1＋2k)．
又－<0且1＋2k>0，∴k>0．
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
第二节两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝
1．(教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．2－
C．－1 D．＋1
解析：选C 由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1．
2．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0．若l1⊥l2，则实数a的值为________．
解析：由题意，得＝－2，解得a＝2．
答案：2
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
1．已知P：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，Q：a＝－1，则P是Q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1．
所以P是Q的充要条件．
2．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2．
答案：2
(基础送分型考点——自主练透)
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0．
2．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3．若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
解析：选A ∵l1∥l2，∴＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，∵l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．
3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1．
解：(1)由题意得
解得m＝1，n＝7．
即m＝1，n＝7时，
l1与l2相交于点P(m，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴
解得或
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2．
(3)当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2．
又－＝－1，∴n＝8．
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，
且l1在y轴上的截距为－1．
1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1．
当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．
已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2．
解：设点P的坐标为(a，b)．
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0．
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，
∴a－b－5＝0．①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，
即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立可得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或．
处理距离问题的2大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．
(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．
1．已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1,1)，若|PO|＝|PA|，则P点的坐标为________．
解析：法一：设P(a，b)，则
解得a＝3，b＝4．∴P点的坐标为(3,4)．
法二：线段OA的中垂线方程为x－y＋1＝0，
则由
解得则P点的坐标为(3,4)．
答案：(3,4)
2．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为______________________．
解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，
所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．
又因为l1与l2的距离是，
所以＝，解得b＝1或b＝－3，
即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
3．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为________．
解析：由题意得，点P到直线的距离为
＝．
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是．
答案：．
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．
常见的命题角度有：
(1)点关于点对称；
(2)点关于线对称；
(3)线关于线对称．
角度一：点关于点对称
1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．
答案：x＋4y－4＝0
角度二：点关于线对称
2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．
解析：设A′(x，y)，
由已知得解得
故A′．
答案：A′
角度三：线关于线对称
3．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0．
1．中心对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
1．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．
解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，
则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0．
答案：3x＋4y＋5＝0
2．已知点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．
解析：由题意得线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，故解得k＝－，b＝，所以直线方程为y＝－x＋．令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为．
答案：
3已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0．
答案：6x－y－6＝0
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
解析：选C 由可得3x＋2m－n＝0，由于3x＋2m－n＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－，斜率之积不等于－1，故不垂直．
2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选C 因为直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率k＝－2．所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．故选C．
3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：选D 由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，
所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0．
4．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0．
答案：12x＋8y－15＝0
5．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．
解析：解方程组可得
所以直线2x－y＝－10与y＝x＋1的交点坐标为(－9，－8)，
代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，
所以a＝．
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－m，m＋1)，若直线AB∥PQ，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C ∵AB∥PQ，
∴kAB＝kPQ，即＝，
解得m＝1，故选C．
2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A． B．4
C． D．2
解析：选C ∵l1∥l2，
∴＝≠，
解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝．
3．(2016·浙江温州第二次适应性)已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A．
4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2)．
5．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选B 因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)
为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0．
6．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－．
答案：－或－
7．以点A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
解析：因为kAB＝＝－，kDC＝＝－．
kAD＝＝，kBC＝＝．
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，
故四边形ABCD为矩形．
故S＝|AB|·|AD|＝×＝25．
答案：25
8．l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________．
解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．
答案：x＋2y－3＝0
9．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0．
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解：(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，
两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1∥l2可得解得a＝－1．
综上可知，a＝－1．
法二：由l1∥l2知
即⇒⇒a＝－1．
(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝．
法二：∵l1⊥l2，
∴A1A2＋B1B2＝0，
即a＋2(a－1)＝0，得a＝．
10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC的方程为2x＋y－11＝0，
联立得C(4,3)．
设B(x0，y0)，则AB的中点M，
代入2x－y－5＝0，
得2x0－y0－1＝0，
联立得B(－1，－3)，∴kBC＝，
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D 因为P(x0，y0)是直线l1：Ax＋By＋C＝0外一点，
所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0．
若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，
则Ax＋By＋C＋k＝0．
因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，
但在y轴上的截距不相等，
故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．
因为Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，
所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，
所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P．
2．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为
a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得
所以直线l恒过定点(－2,3)．
(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
所以直线l的斜率kl＝－5．
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，
即5x＋y＋7＝0．
第三节圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，
半径：
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．
1．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C． D．2
解析：选A 因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－．
2．(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，
则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．
半径r＝|AB|＝＝．
∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2．
答案：x2＋(y－3)2＝2
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4．
即a2＜1，故－1＜a＜1．
答案：(－1,1)
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．
(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1．当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．
答案：(－2，－4) 5
1．(2017·石家庄质检)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A 因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1．
2．圆心在y轴上且经过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：选B 设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2．
因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5．所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0．
3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
解析：选C 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．
令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，
∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，
∴|MN|＝4，故选C．
4．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，
所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．
答案：(x－2)2＋y2＝9
1．求圆的方程的2种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的3种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．
常见的命题角度有：
(1)斜率型最值问题；
(2)截距型最值问题；
(3)距离型最值问题．
角度一：斜率型最值问题
1．(2016·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，
解得k＝±．
所以的最大值为，最小值为－．
角度二：截距型最值问题
2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±．所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
角度三：距离型最值问题
3．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4．
与圆有关的最值问题的3种常见转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
1．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
解析：函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．
由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝＞2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2．
答案：－2
2．已知m＞0，n＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．
解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以＝1，即|m＋n|＝．两边平方并整理得mn＝m＋n＋1．
由基本不等式mn≤2可得m＋n＋1≤2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，
解得m＋n≥2＋2．
当且仅当m＝n时等号成立．
答案：
已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
与圆有关的轨迹问题的4种求法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求动点P的轨迹．
解：∵四边形MONP为平行四边形，
∴＝＋．
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，
则＝－＝(x，y)－(－3,4)＝(x＋3，y－4)＝(x0，y0)，
∴x0＝x＋3，y0＝y－4．
又点N在圆x2＋y2＝4上运动，
∴x＋y＝4，
即(x＋3)2＋(y－4)2＝4．
又当OM与ON共线时，O，M，N，P构不成平行四边形，
故动点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆且除去两点和．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选B 由得
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．
2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为( )
A．1 B．2
C． D．4
解析：选B 由半径r＝＝＝2得，＝2．
∴点(a，b)到原点的距离d＝＝2，故选B．
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A 设圆上任一点为Q(x0，y0)，
PQ的中点为M(x，y)，则
解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．
4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1．
答案：x2＋(y－1)2＝1
5．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2．
半径r＝|CA|＝＝．
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．
由题意知(m－2)2＋()2＜10，
解得0＜m＜4．
答案：(0,4)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．方程y＝表示的曲线是( )
A．上半圆 B．下半圆
C．圆 D．抛物线
解析：选A 由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．
2．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝8 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝16 D．(x＋1)2＋y2＝16
解析：选A 因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，
所以圆心M(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝＝2．
所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8．故选A．
3．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是( )
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
解析：选A 直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，
则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2．故选A．
4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝．又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
5．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：选D 因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1．
6．设A(－3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1∶2，则点P的轨迹图形所围成的面积是________．
解析：设P(x，y)，则由题意有＝，
整理得x2＋y2＋10x＋9＝0，即(x＋5)2＋y2＝16，
所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16π．
答案：16π
7．(2016·东城区调研)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．
解析：由题意知，圆的半径r＝ ＝ ≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝．
∵3－2
2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝，
又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由2＝r2－d2，得|AB|2＝4＝10，即|AB|＝．
答案：
3．(教材习题改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1．
答案：
1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．
2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
1．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．
解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，
由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，
得k＝，
所以切线方程为4x－3y＋1＝0，
②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，也是圆的切线，
所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2．
答案：x＝2或4x－3y＋1＝0
2．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
答案：±2或0
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝＜且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．
2．(2017·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C
因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
3．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析：法一：将直线方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－，)．
法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，
即 >1，解得k∈(－，)．
答案：k∈(－，)
判断直线与圆的位置关系一般有两种方法
(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．
与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：
(1)求圆的切线方程(切线长)；
(2)求弦长；
(3)由弦长及切线问题求参数．
角度一：求圆的切线方程(切线长)
1．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为( )
A．y＝x＋
B．y＝－x＋
C．y＝x＋或y＝－x＋
D．x＝1或y＝x＋
解析：选C 在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋．
角度二：求弦长
2．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A． B．1
C． D．
解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为．
角度三：由弦长及切线问题求参数
3．(2017·重庆适应性测试)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝( )
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：选D 记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±，选D．
1．圆的切线方程的2种求法
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k．
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k．
若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
2．弦长的2种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
1．(2017·湖南四地联考)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为．因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝＝＝＝．所以当a＝2时，d取最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，所以选C．
2．(2017·山西三地五校联考)过原点且与直线x－y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－)2＝7所截得的弦长为________．
解析：由题意可得l的方程为x－y＝0，
∵圆心(0，)到l的距离d＝＝1，
∴所求弦长l＝2＝2＝2．
答案：2
(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2．
又a>0，∴a＝2．
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，
圆心M(0,2)，半径r1＝2．
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝．
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，
∴两圆相交．
法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2．圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
解决圆与圆位置关系问题的2大通法
(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
1．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5．由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________．
解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4．
两式相减得：2ay＝2，则y＝．
由已知条件＝，即a＝1．
答案：1
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．直线kx＋y－2＝0(k∈R)与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．与k值有关
解析：选D 圆心为(－1,1)，
所以圆心到直线的距离为＝，
所以直线与圆的位置关系和k值有关，故选D．
2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a(a<2)，圆心C(－1,1)，半径r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝，所以r2＝22＋()2＝2－a⇒a＝－4．
3．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )
A． B．1
C． D．
解析：选C 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝．
4．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，
故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，
令x＝0，得y＝．
令y＝0，得x＝5，故所求三角形的面积
S＝××5＝．
答案：
5．若圆x2＋y2＋mx－＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________．
解析：圆的标准方程为2＋y2＝2，圆心到直线y＝－1的距离＝|0－(－1)|，解得m＝±，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝．
答 案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，解得k＝±1，
因为k＜0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0．
圆心D(2,0)到直线l的距离
d＝＝＜，
所以直线l与圆D相交．
2．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
A．，－4 B．－，4
C．，4 D．－，－4
解析：选A 因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，所以所以
3．(2017·大连模拟)圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝( )
A．－1或－－1 B．1或－3
C．1或－ D．
解析：选B 由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4．较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为r＝．即＝，解得k＝1或－3．
4．(2015·重庆高考)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．2
解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，
∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，
∴A(－4，－1)．
∴|AC|2＝36＋4＝40．
又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36．
∴|AB|＝6．
5．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 圆心O到已知直线的距离为d＝＝3，
因此|AB|＝2＝8，
设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)，
因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．
6．若直线y＝－x－2与圆x2＋y2－2x＝15相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线方程的斜截式为________．
解析：圆的方程可整理为(x－1)2＋y2＝16，所以圆心坐标为(1,0)，半径r＝4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而kAB＝－，所以kl＝2．
由点斜式方程可得直线l的方程为y－0＝2(x－1)，
即y＝2x－2．
答案：y＝2x－2
7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，
由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，
故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，
由点到直线的距离公式可得＝，
解得a＝0或a＝6．
答案：0或6
8．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，则切线的方程为________．
解析：联立解得所以圆心C(3,2)．设切线方程为y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝r，即＝1，解得k＝0或k＝－．则所求的切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0．
答案：y＝3或3x＋4y－12＝0
9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝．
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．
∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝．
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，
∴直线l的方程为y＝－x．
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0．
10．如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为r．
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2．
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
即kx－y＋2k＝0．
连接AQ，则AQ⊥MN．
∵|MN|＝2，
∴|AQ|＝＝1，
则由|AQ|＝＝1，
得k＝，∴直线l：3x－4y＋6＝0．
故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选A 如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，
则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20．
又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，
则|AC|·|BD|≤10，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，
当且仅当|AC|＝|BD|＝时等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为5．故选A．
2．(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a,0)，
则＝2，
解得a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C：x2＋y2＝4．
(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，
能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
命题点一 直线的方程、两条直线的位置关系
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题
1．(2013·天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1
C．2 D．
解析：选C 由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2．
2．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 ( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选D 依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0．故选D．
命题点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D 圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵A(1,0)，B(0，)，C(2，)，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为，故中心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝．
3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0
则解得
所以圆的标准方程为2＋y2＝．
答案：2＋y2＝
4．(2015·山东高考)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
解析：如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，|OP|＝＝2，又|OA|＝|OB|＝1，可以求得|AP|＝|BP|＝，∠APB＝60°，故·＝××cos 60°＝．
答案：
5．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π．
答案：4π
6．(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
解析：如图所示，圆心在直线x＝2上，所以切点A为(2,1)．
设圆心C为(2，t)，由题意，
可得|OC|＝|CA|，
故4＋t2＝(1－t)2，
所以t＝－，半径r2＝．
所以圆C的方程为
(x－2)2＋2＝．
答案：(x－2)2＋2＝
7．(2014·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．
解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2．
答案：2
8．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
解析：由题意，圆心与点P的连线的斜率kOP＝2，
∴切线的斜率k＝－．
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0．
答案：x＋2y－5＝0
9．(2016·全国丙卷)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案：4
10．(2014·北京高考)已知椭圆C：x2＋2y2＝4．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．
因此a＝2，c＝．
故椭圆C的离心率e＝＝．
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0．
因为OA⊥OB，
所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．
当x0＝t时，y0＝－，
代入椭圆C的方程，得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±．
圆心O到直线AB的距离d＝．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，
直线AB的方程为y－2＝(x－t)．
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0．
d＝ ．
又x＋2y＝4，t＝－，
故d＝＝＝．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
11．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1．
因为直线l与圆C交于两点，
所以<1，
解得
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8．
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1．
故圆心C(2,3)在直线l上，
所以|MN|＝2．
第五节椭__圆
1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
x∈，y∈
x∈，y∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选C △F1AB的周长为
|F1A|＋|F1B|＋|AB|
＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|
＝2a＋2a＝4a．
在椭圆＋＝1中，a2＝25，a＝5，
∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C．
2．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的取值是________．
解析：当k＞4 时，有e＝ ＝，解得k＝；当0＜k＜4时，有e＝ ＝，解得k＝．故实数k的值为或．
答案：或
3．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，
所以解得
故椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
1．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由椭圆方程知c＝＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±．
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0．
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，
故·的最大值为．
2．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得
解得3
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．
当焦点在y轴上时，
b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由点P(2，)在椭圆上知＋＝1．
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1．
3．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为______________．
解析：由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b＝2．因为e＝＝，所以a＝2c，又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
求椭圆标准方程的 2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)
1．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
解析：选C 如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，
最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12．
2．F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B．
C． D．
解析：选C 由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6．
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8．
∴|AF1|＝．
∴△AF1F2的面积
S＝××2×＝．
椭圆定义的应用技巧
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A．
2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2．
所以|PF1||PF2|＝2b2，
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9．
所以b＝3．
答案：3
椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有：
(1)求离心率的值或范围；
(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围．
角度一：求离心率的值或范围
1．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C．
又因为F(c,0)，所以＝，
＝．
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
答案：
角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围
2．(2017·泉州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选A ∵椭圆＋＝1的长轴在x轴上，
∴ 解得6＜m＜10．
∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8．
1．应用椭圆几何性质的2个技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
2．求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
1．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－或21 D．或－21
解析：选D 当9＞4－k＞0，即－5
∴＝，解得k＝．
当9＜4－k，即k＜－5时，a＝，c2＝－k－5，
∴＝，解得k＝－21，所以k的值为或－21．
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由题意，可设P．
因为在Rt△PF1F2中，|PF1|＝，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，所以＝．又因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－，又因为e∈(0,1)，所以e＝．
3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c．
∴a－c≤2c≤a＋c．∴e＝∈．
(2017·贵州省适应性考试)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为．
(1)求椭圆G的方程；
(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．
解：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，
于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a．
所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，
解得a＝2，b＝1．
所以椭圆G的方程为＋y2＝1．
(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)．
由于直线l与圆O相切，
则圆心O到l的距离d＝＝1，
即k2t2＝k2＋1， ①
联立化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．
设Q(x0，y0)，有解得x0＝．
由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0．
因此＝t＋，
化简得k2＝，
将其代入①式，可得t＝±．
1．直线与椭圆的位置关系的解题策略
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
2．直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)
中点弦或弦的中点
点差法(结果要检验)
(2016·郑州市第二次质量检测)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点．
(1)求曲线C的方程；
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p＝(x1，y1)，q＝(x2，y2)，且p·q＝0，若直线MN过点，求直线MN的斜率．
解：(1)由题可得：解得m＝4，n＝1．
∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1．
(2)设直线MN的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程y2＋4x2＝1，得(k2＋4)x2＋kx－＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，
∴＋＋＋＝0，
即k2－2＝0，k＝±．
故直线MN的斜率为±．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·四川遂宁模拟)椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值是( )
A．6或2 B．5
C．1或9 D．3或5
解析：选D 由题意，得c＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m－4＝1，解得m＝5；当椭圆的焦点在y轴上时，由4－m＝1，解得m＝3，所以m的值是3或5，故选D．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选C 由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2．以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3．故椭圆C的方程为＋＝1，故选C．
3．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或
C． D．6或3
解析：选C 由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝．故选C．
4．(2017·湖北优质高中联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．
解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝．
答案：或
5．(2017·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是____________________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12．
所以椭圆C的方程为＋＝1．
答案：＋＝1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两个曲线的焦距相等．
2．若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝2b×3，即a＝3b．
∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．
即＝，
∴e＝＝，故选D．
3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2．联立解得交点(0，－2)，，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B．
4．(2017·西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F1PF2＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D 因为＋＝2，O为坐标原点，|＋|＝2，所以|PO|＝，又|OF1|＝|OF2|＝，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝．
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选B 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2．由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8．由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1．
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3．又b＝4，
∴a＝＝5．
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵AB过F1且A，B在椭圆C上，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|
＝4a＝16，
∴a＝4．
又离心率e＝＝，
∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________．
解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝，
从而e＝ ＝．
答案：
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率．
(2)若AF2―→＝2F2B―→，AF1―→·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c．
所以a＝c，e＝＝．
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，设B(x，y)．
由AF2―→＝2F2B―→，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，
即B．
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2①．
又由AF1―→·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②．
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2．
所以椭圆的方程为＋＝1．
10．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，
设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点的坐标满足方程组
消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|＝，
即a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝ ＝．
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，
由(1)知x0＝＝＝－，
y0＝x0＋c＝．
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，
即＝－1，得c＝3，
从而a＝3，b＝3．
故椭圆E的方程为＋＝1．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
则有解得x1＝－3，y1＝1，
易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，
因此椭圆C的离心率e＝＝的最大值为．
2．(2017·云南统测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若＝3，求m2的取值范围．
解：(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝．
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，
∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1．
∴椭圆E的方程为x2＋＝1．
(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0．
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，
即k2－m2＋4>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝．
由＝3得x1＝－3x2．
∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0．
∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0．
当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，
∴k2＝．
∵k2－m2＋4>0，
∴－m2＋4>0，即>0．
∴1
第六节双_曲_线
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0．
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
1．双曲线－＝1的焦距为________．
解析：由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，
所以双曲线－＝1的焦距为2．
答案：2
2．(教材习题改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由椭圆＋＝1，
得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－＝1．
答案：x2－＝1
3．(2016·北京高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________，b＝________．
解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，
所以＝2．①
又双曲线的一个焦点为(，0)，
所以a2＋b2＝5．②
由①②得a＝1，b＝2．
答案：1 2
1．双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(，＋∞)．
3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±．
1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________．
解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17．
答案：17
2．离心率为，且经过(－，2)的双曲线的标准方程为________．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为－＝1．
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
当双曲线焦点在y轴上时，设方程为－＝1．
则有
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
答案：x2－＝1或－＝1
1．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选A 由焦距为2，得c＝．因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝．又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．
2．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
3．(2016·广西第一次质量检测)若以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．
解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝2，b2＝1．因此该双曲线的标准方程是－y2＝1．
答案：－y2＝1
4．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B 由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，
因此S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24．
应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C 双曲线方程可化为－＝1，
∴a＝b＝，∴c＝2．由得|PF1|＝4，|PF2|＝2，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝．
2．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8．因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10．
答案：10
双曲线的几何性质是每年高考命题的热点．
常见的命题角度有：
(1)求双曲线的离心率(或范围)；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线方程．
角度一：求双曲线的离心率(或范围)
1．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
解析：如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c．
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．
答案：2
角度二：求双曲线的渐近线方程
2．(2017·广州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为( )
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．4x±3y＝0 D．3x±4y＝0
解析：选C 双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a＋c，右焦点到渐近线y＝±x的距离为＝b，即a＋c＝2b，c＝2b－a，a2＋b2＝c2＝(2b－a)2，所以3b＝4a，＝，所以所求渐近线方程为4x±3y＝0．
角度三：求双曲线方程
3．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立
解得
或
即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为．
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12．
故双曲线的方程为－＝1．故选D．
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
1．点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2,1＋)
解析：选B 如图，由题意知A点的纵坐标为，若△ABE是锐角三角形，则必有∠AEF<45°，
∴tan∠AEF＝<1，则c2－ac－2a2<0，
∴e2－e－2<0，∴－1
解析：因为e＝＝，所以c＝a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8．
答案：8
3．(2017·广州测试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0，b)，且·＝0，则双曲线C的离心率为________．
解析：依题意，B(0，b)，A(－a,0)，F(c,0)，
∵·＝0，
∴(－a，－b)·(c，－b)＝0，
∴b2＝ac＝c2－a2，∴e2－e－1＝0，
又e>1，∴e＝．
答案：
4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)．
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，
·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．
因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，
所以当x＝1时，·取得最小值－2．
答案：－2
设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝tOD―→，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
∵一条渐近线为y ＝x，即bx－ay＝0．
∴由焦点到渐近线的距离为，得＝．
又∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝3，
∴双曲线的方程为－＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得
x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12．
∴解得
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧
(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．
(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(－7,5)，B(－1，－1)两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求实数m，n的值．
解：(1)设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1，
依题意有
解得
所以所求双曲线的方程是2y2－x2＝1．
(2)将l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，
得x2＋4mx＋(2m2－1)＝0，①
Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4＞0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1，
所以x0＝＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，
所以P(－2m，－m)．
又圆心E(6,0)，依题意kPE＝－1，
故＝－1，即m＝－2．
将m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0，
解得x1＝1，x2＝7，
所以|MN|＝|x1－x2|＝6．
故直线l截圆E所得弦长为|MN|＝2．
又E(6,0)到直线l的距离d＝2，
所以圆E的半径R＝ ＝，
所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0．
所以m＝－2，n＝26．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( )
A．4 B．
C．－ D．－4
解析：选C 依题意得m＜0，双曲线方程是x2－＝1，于是有 ＝2×1，m＝－．
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B 由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选B．
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．5
解析：选D 依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝＝5，因此该双曲线的离心率e＝＝5．
4．(2017·西安质检)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝4．
答案：4
5．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1．
答案：x2－＝1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
2．(2017·合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B．
3．(2016·石家庄教学质量检测)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析：选C 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB中点坐标为，∴2－2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2，故选C．
4．(2017·河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．4
C． D．
解析：选C 由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，∵|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝＝．
5．(2017·长春质检)过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13
C．16 D．19
解析：选B 由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．
6．已知双曲线的一个焦点F(0，)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得⇒⇒
所以双曲线的标准方程为－x2＝1．
答案：－x2＝1
7．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|．因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2， ①
又|PA|2＋|PB|2＝36， ②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2．
答案：2
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，
即求cos∠F1PF2的最小值，
∵cos∠F1PF2≥－1，∴cos∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值为．
答案：
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ．
∵双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6．
∴双曲线方程为x2－y2＝6．
(2)证明：设＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0．
(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4．
由(2)知m＝±．
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．
解：(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，∴解得c＝3，b＝，∴双曲线的方程为－＝1．
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－．
所以|AB|＝× ＝．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·三明质检)已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是( )
A．－ B．
C．－ D．不能确定
解析：选A 令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos 2∠AOx＝－cos＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·＝×＝－．
2．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1．
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0．
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2＜1且k2≠．①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝．
又∵·＞2，
即x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，
即＞0，
解得＜k2＜3．②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪．
第七节抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
1．(2016·全国甲卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A． B．1
C． D．2
解析：选D ∵y2＝4x，∴F(1,0)．
又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．
将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2．故选D．
2．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝－4x或x2＝－8y
3．(教材习题改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．
解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，
又准线方程为y＝－，
设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝．
答案：
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
1．平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．一条直线
答案：D
2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y．
∴2p＝，p＝，
∴焦点为．
答案：
1．(2016·合肥市第二次质量检测)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为( )
A．± B．±1
C．± D．±
解析：选A 设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入抛物线方程可得yM＝±p，则直线MF的斜率为＝＝±，选项A正确．
2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，
结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5，故选B．
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋．
1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为( )
A． B．1
C． D．
解析：选C 因为抛物线y2＝x的准线方程为x＝－．
如图所示，过点A，B，D分别作直线x＝－的垂线，垂足分别为G，E，M，因为|AF|＋|BF|＝3，根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为－＝．
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A． B．2
C． D．3
解析：选B 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2．
抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现．
常见的命题角度有：
(1)求抛物线方程；
(2)抛物线的对称性．
角度一：求抛物线方程
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D (待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y．
角度二：抛物线的对称性
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1 B．
C．2 D．3
解析：选B 双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为双曲线的离心率为2，
所以 ＝2，＝．
由
解得或
由曲线的对称性及△AOB的面积得，2×××＝，
解得p2＝，即p＝．
求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
1．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D 因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x．
2．(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2．
∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D．
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4．
(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围．
解：(1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为，
由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，
即p＝4．所以抛物线C的方程为y2＝8x．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．
因为点P和Q关于直线l对称，
所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为－1，
则可设其方程为y＝－x＋b．
①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0．(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，
所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)＞0，
化简得p＋2b＞0．
方程(*)的两根为y1,2＝－p±，
从而y0＝＝－p．
因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p．
因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．
②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p．
由①知p＋2b＞0，于是p＋2(2－2p)＞0，所以p＜．
因此p的取值范围是．
解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式．
如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．
因为线段AB的中点在直线y＝2上，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由
得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以2y0k＝4．
又y0＝2，所以k＝1，
故直线l的方程是y＝x－1．
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消去x，得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0．
|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝·
＝4(m2＋1)．
所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，
所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选D 由准线x＝1知，抛物线方程为：
y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D．
2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2 B．
C． D．
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝．
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析：选C 由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－．
4．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，
解得xP＝1，
所以y＝4，所以|yP|＝2．
答案：2
5．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．
解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°．
直线OA的方程y＝x，
代入y2＝2x，
得x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝6．
即得A的坐标为(6,2)．
∴|AB|＝4，正三角形OAB的面积为×4×6＝12．
答案：12
二保高考，全练题型做到高考达标
1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A．(0，a) B．(a,0)
C． D．
解析：选C 将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，所以选C．
2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是( )
A．x2＝2y B．x2＝y
C．x2＝y D．x2＝y
解析：选A 由题意得，
F，不妨设A，B，
∴S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，
即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A．
3．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知AB所在的直线方程为y＝，
联立
得：x2－x＋＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
所以x1＝，x2＝，
所以＝＝3．
4．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A．8 B．
C．10 D．
解析：选B 依题意可知焦点F，准线方程为y＝－，延长PM交准线于点H(图略)．
则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，
|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，
即求|PF|＋|PA|的最小值．
因为|PF|＋|PA|≥|FA|，
又|FA|＝ ＝10．
所以|PM|＋|PA|≥10－＝，故选B．
5．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝3x
C．y2＝x D．y2＝9x
解析：选B 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
所以2|AE|＝|AC|，
所以3＋3a＝6，从而得a＝1，
因为BD∥FG，所以＝，求得p＝，
因此抛物线方程为y2＝3x．
6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，
所以B．
又因为点B在双曲线上，
故－＝1，解得p＝6．
答案：6
7．(2017·广西质检)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，∵|PA|＝|AB|，∴又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝．
答案：
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．
解析：由题意，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵点(2，－2)在抛物线上，
∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y．
当y＝－3时，x＝±．
∴水位下降1米后，水面宽为2米．
答案：2
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，∴p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)∵点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－．
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
∴N的坐标为．
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，
与y2＝2px联立，
消去y有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝．
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x．
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，
则x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设C(x3，y3)，
则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，所以2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2．
故λ的值为0或2．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值等于( )
A．－4 B．－16
C．4 D．－8
解析：选B 依题意可得，·＝－(||·||)．
又因为||＝yA＋1，||＝yB＋1，
所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．
设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，
所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4．
所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2．
所以·＝－(4k2＋4)．
同理·＝－．
所以·＋·＝－≤－16．
当且仅当k＝±1时等号成立．
2．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，
解得p＝2．
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB．
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB．
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得
所以＝－，
所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4．
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
所以kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
第八节圆锥曲线的综合问题
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0．
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝ ·|y1－y2|
＝·．
1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．则椭圆C的方程为________．
解析：由题意得
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1．
答案：＋＝1
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
解：(1)如图，由已知得M(0，t)，P．
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝．
因此H．
所以N为OH的中点，即＝2．
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．
理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，
即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．
1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
解析：选D 由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，则y＝2，符合题意．
若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，
所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1．
2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选C 因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则由题意得>2，所以e＝＝ >＝．
(2016·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率e＝＝，
由得a＝2，c＝，b＝，
故椭圆M的方程为＋＝1．
(2)联立方程得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·．
又P到直线AB的距离为d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d
＝··
＝
＝
≤·＝．
当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，
所以(S△PAB)max＝．
弦长的3种常用计算方法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题．
(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的．
直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况．
设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝．
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝．
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0．
则x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|．
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，因为0
(2016·四川高考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．
解：(1)由已知，a＝2b，
又椭圆＋＝1过点P，
故＋＝1，解得b2＝1．
所以椭圆E的方程是＋y2＝1．
(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，
由Δ＝4(2－m2)＞0，解得－＜m＜．
由根与系数的关系得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以M点坐标为，直线OM的方程为y＝－x．
由方程组得C，D．
所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．
又|MA|·|MB|＝|AB|2＝
＝
＝
＝(2－m2)，
所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．
1．圆锥曲线中的最值问题解决方法
(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值．
(2)几何法：从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．
2．求定点及定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(可参阅副本压轴题命题区间六)
(2016·兰州市实战考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P，过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形ABCD的面积S的取值范围．
解：(1)由＝，得a＝2c，∴a2＝4c2，b2＝3c2，
将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，
故所求椭圆方程为＋＝1．
(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为S＝6．
若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－．
不妨设直线l1的方程为y＝k(x＋1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144k2＋144>0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|x1－x2|＝＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝，
同理可得|CD|＝，
∴S＝|AB|·|CD|＝，
令k2＝t∈(0，＋∞)，
∴S＝
＝
＝6－
≥6－＝，
∴S∈．
综上可知，四边形ACBD面积的取值范围是．
一保高考，全练题型做到高考达标
1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
解析：选B 设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2．所以符合条件的直线有且只有两条．
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选D 由得(1－k2)x2－4kx－10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
解得－＜k＜－1．即k的取值范围是．
3．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于( )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析：选B 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－．
4．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则点A的横坐标为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选D 16x2＋25y2＝400可化为＋＝1，
则椭圆的左焦点为F(－3,0)，
又抛物线y2＝2px的焦点为，准线为x＝－，
所以＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，K(3,0)．
设A(x，y)，则由|AK|＝|AF|得
(x－3)2＋y2＝2，即x2＋18x＋9＋y2＝0，
又y2＝－12x，所以x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为( )
A． B．
C．2 D．3
解析：选A 由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，
所以抛物线的方程为y＝2x2．
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，
所以y1＝2x，y2＝2x，
两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，
不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，
所以＝－1，
故x1＋x2＝－，
而x1x2＝－，
解得x1＝－1，x2＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝－，
y0＝＝＝，
因为中点M在直线y＝x＋m上，
所以＝－＋m，解得m＝．
6．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是__________________．
解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则＋＝1，且＋＝1，
两式相减并化简得＝－．
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0．
答案：x＋2y－8＝0
7．如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________．
解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以＝(1,0)，＝(－1,0)，所以·＝－1．
答案：－1
8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．
解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a2－b2＝4，所以可设椭圆方程为＋＝1，
联立
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由一元二次方程根与系数的关系得：
y1＋y2＝＝2．
解得：b2＝8．所以a2＝12．
则椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB＝4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
解：(1)由题意知e＝＝，2a＝4．
又a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1．
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理，
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·＝．
同理，|CD|＝＝．
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．
10．(2016·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|·|BM|为定值．
解：(1)由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4．
当x0≠0时，
直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝|1－yM|＝．
直线PB的方程为y＝x＋1．
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝|2－xN|＝．
所以|AN|·|BM|＝·
＝
＝
＝4．
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4．
综上，|AN|·|BM|为定值．
二上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·海口调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．
解：(1)由题意可知
解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程是＋＝1．
(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，
把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以2＋x1＝⇒x1＝，则D，
所以BD中点的坐标为，
则直线BD的垂直平分线方程为y－＝－，
得P．
又·＝0，
即·＝0，
化简得＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，
解得k＝±．
故P或．
2．如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4．
(1)求椭圆C的方程．
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由P在椭圆上得，＋＝1，①
依题设知a＝2c，则a2＝4c2，b2＝3c2，②
将②代入①得c2＝1，a2＝4，b2＝3．
故椭圆C的方程为＋＝1．
(2)存在．理由如下：
由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③
代入椭圆方程并整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中令x＝4，得M(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－．
因为A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，
即＝＝k．
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－·，⑤
将④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1．
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3．
故存在常数λ＝2符合题意．
命题点一 椭圆
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·广东高考)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：选B 由左焦点为F1(－4,0)知c＝4．又a＝5，
∴25－m2＝16，解得m＝3或－3．又m＞0，故m＝3．
2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝．①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝．②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝．
故选A．
3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．
4．(2015·浙江高考)椭圆＋＝1(a＞b＞0 )的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ．
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|．
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝．
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，
∴a＝＝c，故e＝＝．
答案：
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意得＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4．
所以C的方程为＋＝1．
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝．
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－．
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
命题点二 双曲线
命题指数：☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题
1．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：选A 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2
A． B．2
C． D．
解析：选D 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴点M的坐标为．
∵点M在双曲线上，
∴－＝1，解得a＝b，
∴c＝a，e＝＝．故选D．
3．(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．2
解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝．
∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b．
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2．
答案：2
命题点三 抛物线
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B 由题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆的方程为＋＝1．
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由椭圆的对称性可知|AB|＝2|yA|＝6．
2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1．在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝．
3．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝ ＝ ＝．
答案：
4．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，
或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，
故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0．
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0．
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0．
(2)存在符合题意的点．理由如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0．
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a．
从而k1＋k2＝＋
＝＝．
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
命题点四 圆锥曲线中的综合问题
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高
题型：解答题
1．(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．
解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2．
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0．
解得y＝0或y＝，
所以y1＝．
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．
(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0．
由x1·(－2)＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝．
由题意，设直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝．
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0．
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．
f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，
所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增．
又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，
因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，
所以＜k＜2．
2．(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|．
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，
从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4．
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|MN|＝|x1－x2|＝．
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到直线m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4 ．
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12．
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，
故四边形MPNQ的面积为12．
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．
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