高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测 （十三）　变化率与导数、导数的运算 Word版含答案

课时跟踪检测  (十三)　变化率与导数、导数的运算

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)

A．2(x2－a2)　　　　　　　 B．2(x2＋a2)

C．3(x2－a2)  D．3(x2＋a2)

解析：选C　∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，

∴f′(x)＝3(x2－a2)．

2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为(　　)

A．x－y＋1＝0  B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0  D．x＋y－1＝0

解析：选C　曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．

且f′(x)＝2－ex，

∴f′(0)＝1.

所以所求切线方程为y＋1＝x，

即x－y－1＝0.

3．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于(　　)

A．e2  B．1

C．ln 2  D．e

解析：选B　f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.

4．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝________.

解析：∵f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，∴f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.

答案：－

5．(2016·湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a＞0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．

解析：因为f(x)＝axln x，所以f′(x)＝ln a·axln x＋，又f′(1)＝3，所以a＝3.

答案：3

二保高考，全练题型做到高考达标

1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)

A．(1－e)x－y＋1＝0  B．(1－e)x－y－1＝0

C．(e－1)x－y＋1＝0  D．(e－1)x－y－1＝0

解析：选C　由于y′＝e－，所以y′＝e－1，故曲线y＝ex—ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.

2．(2017·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝(　　)

A．－1  B．1

C．3  D．4

解析：选C　对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.

3．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 017)＝6，则f′(－2 017)为(　　)

A．－6  B．－8

C．6  D．8

解析：选D　∵f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.

∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7

＝－4ax3＋bsin x＋7.

∴f′(x)＋f′(－x)＝14.

又f′(2 017)＝6，

∴f′(－2 017)＝14－6＝8，故选D.

4．(2017·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝2x＋1  B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3  D．y＝－2x－2

解析：选A　∵y＝1－＝，

∴y′＝＝，y′＝2，

∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，

∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)

A．－1  B．－3

C．－4  D．－2

解析：选D　∵f′(x)＝，

∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，

又f(1)＝0，

∴切线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，

解得m＝－2.

6．(2017·武汉调研)曲线f(x)＝xln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________．

解析：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.

答案：x－y－1＝0

7．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．

解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.

设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．

则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.

解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1,0)．

答案：－　(－1,0)

8.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.

答案：0

9．求下列函数的导数．

(1)y＝x·tan x；

(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).

解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′

＝tan x＋x·′＝tan x＋x·

＝tan x＋.

(2)y′＝(x＋1)′＋(x＋1)′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.

10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，

即x－y－4＝0.

(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，

又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，

∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，

整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，

∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．

解析：由f(x)＝x3＋ax＋得，

f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，

∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.

设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，

g′(x)＝－，

∴

将②代入①得ln x0＝，

∴x0＝e，

∴a＝－＝－e.

答案：－e

2．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，

则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．