高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测（五）　函数的单调性与最值 Word版含答案

课时跟踪检测(五)　函数的单调性与最值

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1．(2017·珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)

A．y＝2－x　　　　　　　 B．y＝x

C．y＝log2 x  D．y＝－

解析：选B　由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．

2．一次函数y＝kx＋b在R上是增函数，则k的取值范围为(　　)

A．(0，＋∞)  B．

解析：选A　法一：由一次函数的图象可知选A.

法二：设∀x1，x2∈R且x1<x2，

∵f(x)＝kx＋b在R上是增函数，

∴(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，即k(x1－x2)2>0，

∵(x1－x2)2>0，∴k>0，故选A.

3．(2017·北京东城期中)已知函数y＝，那么(　　)

A．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)

B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)

C．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)

D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)

解析：选A　函数y＝可看作是由y＝向右平移1个单位长度得到的，∵y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.

4．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．

解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.

答案：

5．函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为________．

解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝logu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．

答案：(－∞，－2)

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1．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，1]  B．  D．∪上单调递减，在  B.

C.  D．(0,2]

解析：选C　因为log a＝－log2 a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)＋f(log a)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)，又函数在的最大值等于(　　)

A．－1  B．1

C．6  D．12

解析：选C　由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

4．已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)   B.

C．(0,2)  D.

解析：选B　因为函数为递减函数，则

解得a≤，故选B.

5．(2017·安徽皖江名校联考)定义在上的函数f(x)满足(x1－x2)>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)

A．>0，x1≠x2，∴函数在上单调递增，∴

∴∴0≤a<1，故选C.

6．函数f(x)＝在区间上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.

解析：易知f(x)在上为减函数，

∴即∴

∴a＋b＝6.

答案：6

7．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．

解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图象可知，函数在(－∞，a]和上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪∪上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0<a<1时，函数f(x)在上的最小值为a2＝m，最大值为a－1＝4，解得a＝，m＝.所以a＝.

答案：

9．已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：任设x1<x2<－2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)任设1<x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.

综上所述知a的取值范围是(0,1]．

10．已知函数f(x)＝a－.

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，

设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，

f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，

设h(x)＝2x＋，

则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．

任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，

h(x1)－h(x2)＝(x1－x2).

因为1<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以2－>0，

所以h(x1)<h(x2)，

所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．

故a≤h(1)，即a≤3，

所以实数a的取值范围是(－∞，3]．

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1．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)

A．

C．  D．

解析：选D　因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间上单调递减，故“缓增区间”I为．

2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)证明：f(x)为单调递减函数．

(2)若f(3)＝－1，求f(x)在上的最小值．

解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，

则>1，由于当x>1时，f(x)<0，

所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，

因此f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

所以f(x)在上的最小值为f(9)．

由f＝f(x1)－f(x2)得，

f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，

所以f(9)＝－2.

所以f(x)在上的最小值为－2.