高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第六章 不等式、推理与证明 课时跟踪检测 （三十六）　合情推理与演绎推理 Word版含答案

课时跟踪检测  (三十六)　合情推理与演绎推理

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1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确　　　　　　　 B．大前提不正确

C．小前提不正确  D．全不正确

解析：选C　因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．

2．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)

A．an＝3n－1  B．an＝4n－3

C．an＝n2  D．an＝3n－1

解析：选C　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2．

3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；

②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；

③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；

④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；

⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；

⑥“＝”类比得到“＝”．

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　①②正确，③④⑤⑥错误．

4．(2017·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______________________．

解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2．

答案：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2

5．(2017·黑龙江哈三中检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则____________________成等比数列．

解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．

答案：T4，，，

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1．(2017·洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)

A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

解析：选B　A项中小前提不正确，选项C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以选项A、C、D都不正确，只有B项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．

2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)

A．设数列{an}的前n项和为Sn．由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2

B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数

C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab

D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n

解析：选A　选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．

3．(2017·济宁模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是(　　)

A．25  B．250

C．55  D．133

解析：选B　由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，…．因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2  016＝672×3，故第2 016次操作后得到的数是250．

4．给出以下数对序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

……

记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)

A．(m，n－m＋1)  B．(m－1，n－m)

C．(m－1，n－m＋1)  D．(m，n－m)

解析：选A　由前4行的特点，归纳可得：若an m＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴an m＝(m，n－m＋1)．

5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)

A．289  B．1 024

C．1 225  D．1 378

解析：选C　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n．

∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，

观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2．把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有 1 225．

6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________________．

解析：∵f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>，∴归纳得f(2n)≥．

答案：f(2n)≥

7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为________．

解析：由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2．

答案：6n＋2

8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f．若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．

解析：由题意知，凸函数满足

≤f，

又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，

则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝．

答案：

9．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．

证明：∵△ABC为锐角三角形，

∴A＋B＞，

∴A＞－B，

∵y＝sin x在上是增函数，

∴sin A＞sin＝cos B，

同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，

∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．

10．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：

＋＋＝＋＋＝＝1．

请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．

解：在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．

则＋＋＋＝1．

证明：在四面体OBCD与ABCD中，

＝＝＝．

同理有＝；＝；＝．

∴＋＋＋

＝＝＝1．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2017·河北“五校联盟”质检)古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　　　N(n,3)＝n2＋n

四边形数　　　N(n,4)＝n2

五边形数　　　N(n,5)＝n2－n

六边形数　　　N(n,6)＝2n2－n

……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________．

解析：原已知式子可化为N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n；

N(n,4)＝n2＝n2＋n；

N(n,5)＝n2－n＝n2＋n；

N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n．

故N(n，k)＝n2＋n，

N(20,15)＝×202＋×20＝2 490．

答案：2 490

2．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°．

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

解：(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°

＝1－＝．

(2)法一：三角恒等式为

sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝．

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)

＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝．

法二：三角恒等式为

sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝．

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α

＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)

＝1－cos 2α－＋cos 2α＝．