高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 最值、范围、存在性问题 Word版含答案

升级增分训练     最值、范围、存在性问题

1．(2016·贵阳监测考试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．

解：(1)设椭圆的半焦距长为c，

则由题设有

解得a＝，c＝，

∴b2＝1，

故椭圆C的方程为＋x2＝1．

(2)由已知可得，直线l的方程为y＝kx＋2，以AB为直径的圆与x轴有公共点．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，

将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，

得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，

则Δ＝12k2－12＞0，

x1＋x2＝，x1x2＝．

∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，

|AB|＝·

＝·＝，

∴

解得k4≥13，

即k≥或k≤－．

故所求斜率的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．

2．(2016·西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，

∴－b＝－2，解得b＝2．

又＝，a2＝b2＋c2，

∴a＝4，c＝2．

可得椭圆C的标准方程为＋＝1．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，

可设直线PA的斜率为k，

则PB的斜率为－k，

直线PA的方程为：y－＝k(x－2)，

联立消去y，

得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，

∴x1＋2＝．

同理可得：x2＋2＝＝，

∴x1＋x2＝，x1－x2＝，

kAB＝＝＝．

∴直线AB的斜率为定值．

3．(2016·贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0，－)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．

(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；

(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线E于点A，B，l2交抛物线E于点G，H，求·的最小值．

解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则由题意得c＝，

2a＝＋＝4，

∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，

∴椭圆C的标准方程为＋x2＝1．

∴右顶点F的坐标为(1,0)．

设抛物线E的标准方程为y2＝2px(p＞0)，

∴＝1,2p＝4，

∴抛物线E的标准方程为y2＝4x．

(2)设l1的方程：y＝k(x－1)，l2的方程：y＝－(x－1)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)．

由

消去y得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

∴Δ＝4k4＋16k2＋16－4k4＞0，

x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．

同理x3＋x4＝4k2＋2，x3x4＝1，

∴·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝·＋||·

＝|x1＋1|·|x2＋1|＋|x3＋1|·|x4＋1|

＝(x1x2＋x1＋x2＋1)＋(x3x4＋x3＋x4＋1)

＝8＋＋4k2

≥8＋2＝16，

当且仅当＝4k2，即k＝±1时，·有最小值16．

4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由e＝，得＝，

即c＝a，①

又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，

且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，

所以a＝＝，代入①得c＝2，

所以b2＝a2－c2＝2，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1．

(2)由

得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1＋x2＝，x1x2＝．

根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，

使得2＋·＝(＋)·＝·EB―→为定值，

则·EB―→＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)

＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2

＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)

＝，

要使上式为定值，即与k无关，

只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，

解得m＝，

此时，2＋·＝m2－6＝－，

所以在x轴上存在定点E使得2＋·为定值，且定值为－．