高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 选修4-5 不等式选讲 课时跟踪检测 （六十）　绝对值不等式 Word版含答案

课时跟踪检测  (六十)　绝对值不等式

1．已知|2x－3|≤1的解集为．

(1)求m＋n的值；

(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1．

解：(1)不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，

解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3．

(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1．即|x|＜|a|＋1．

2．(2017·合肥质检)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a．

(1)求实数a的值；

(2)解不等式f(x)≤5．

解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，

从而解得a＝2．

(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝

故当x≤2时，令－2x＋6≤5，

得≤x≤2，

当2<x≤4时，显然不等式成立，

当x>4时，令2x－6≤5，得4<x≤，

故不等式f(x)≤5的解集为．

3．(2016·广西质检)已知函数f(x)＝＋ax(a＞0)在(1，＋∞)上的最小值为15，函数g(x)＝|x＋a|＋|x＋1|．

(1)求实数a的值；

(2)求函数g(x)的最小值．

解：(1)∵f(x)＝＋ax＝＋a(x－1)＋a，x＞1，a＞0，

∴f(x)≥3a，即有3a＝15，解得a＝5．

(2)由于g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|≥|(x＋5)－(x＋1)|＝4，当且仅当－5≤x≤－1时等号成立，

∴g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|的最小值为4．

4．已知函数f(x)＝|x－a|．

(1)若f(x)≤m的解集为，求实数a，m的值；

(2)当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．

解：(1)∵|x－a|≤m，

∴－m＋a≤x≤m＋a．

∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，

∴a＝2，m＝3．

(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|．

①当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，

∵0≤t＜2，∴x∈(－∞，0)；

②当x∈．

7．(2016·兰州诊断)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|．

(1)解不等式f(x)＞0；

(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，求实数m的取值范围．

解：(1)不等式f(x)＞0，即|2x－1|＞|x＋2|，

即4x2－4x＋1＞x2＋4x＋4，

3x2－8x－3＞0，解得x＜－或x＞3，

所以不等式f(x)＞0的解集为．

(2)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝

故f(x)的最小值为f＝－．

因为∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，

所以4m－2m2＞－，

解得－＜m＜．

故实数m的取值范围为．

8．已知函数f(x)＝|3x＋2|．

(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；

(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4．

当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，

解得－<x<－；

当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，

解得－≤x<；

当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．

综上所述，x∈．

(2)由题意，＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，

当且仅当m＝n＝时等号成立．

令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝

∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，

只需g(x)max＝＋a≤4，即0<a≤．

所以实数a的取值范围是．