高中数学高考2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（北京卷，含答案）(1)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(?||?|<2)},B={−2,0,1,2},则

（A）{0,1}       （B）{−1,0,1}

（C）{−2,0,1,2}      （D）{−1,0,1,2}

（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于

（A）第一象限        （B）第二象限

（C）第三象限        （D）第四象限

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）        （B）

（C）        （D）

（4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的

（A）充分而不必要条件      （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件      （D）既不充分也不必要条件

（5）“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为

（A）        （B）

（C）        （D）

（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

（A）1        （B）2

（C）3        （D）4

（7）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是

    （A）          （B）

（C）       （D）

（8）设集合则

（A）对任意实数a，

（B）对任意实数a，（2,1）

（C）当且仅当a<0时,（2,1）

（D）当且仅当 时,（2,1）

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.

（10）已知直线l过点（1,0）且垂直于?轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.

（11）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.

（12）若双曲线的离心率为，则a=_________.

（13）若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.

（14）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

设是等差数列，且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求.

（16）（本小题13分）

已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.

（17）（本小题13分）

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.

（Ⅰ）求证：PE⊥BC；

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.

（19）（本小题13分）

设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.

（20）（本小题14分）

已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）若，求 的最大值；

（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.

参考答案

1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D

9．       10．

11．（答案不唯一）     12．4

13．3       14．

15．（共13分）

解：（I）设等差数列的公差为，

∵，

∴，

又，∴.

∴.

（II）由（I）知，

∵，

∴是以2为首项，2为公比的等比数列.

∴

.

∴.

16.（共13分）

【解析】（Ⅰ），

所以的最小正周期为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

因为，所以.

要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.

所以，即.

所以的最小值为.

17.（共13分）

（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，

故所求概率为.

（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

故所求概率估计为.

方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.

没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.

由古典概型概率公式得.

（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.

18.（共14分）

【解析】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.

∵底面为矩形，∴，

∴.

（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.

∵平面平面，∴平面.

∴.又,

∵平面，∴平面平面.

（Ⅲ）如图，取中点，连接.

∵分别为和的中点，∴，且.

∵四边形为矩形，且为的中点，

∴，

∴，且，∴四边形为平行四边形，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

19. （13分）

解：（Ⅰ）因为，

所以.

，

由题设知，即，解得.

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.

若a>1，则当时，；

当时，.

所以在x=1处取得极小值.

若，则当时，，

所以.

所以1不是的极小值点.

综上可知，a的取值范围是.

方法二：.

（1）当a=0时，令得x=1.

随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

（2）当a>0时，令得.

①当，即a=1时，，

∴在上单调递增，

∴无极值，不合题意.

②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.

（3）当a<0时，令得.

随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

综上所述，a的取值范围为.

20．（共14分）

【解析】（Ⅰ）由题意得，所以，

又，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

设，，则，，

则，

易得当时，，故的最大值为．

（Ⅲ）设，，，，

则  ①，  ②，

又，所以可设，直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

又，代入①式可得，所以，

所以，同理可得．

故，，

因为三点共线，所以，

将点的坐标代入化简可得，即．