高中数学高考2021年高考数学（文）1月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）1月模拟评估卷（一）（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数,则的值（    ）

A．0 B． C．2 D．1

【答案】C

【解析】,,则．故选C．

2．已知集合,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】,.故选A.

3．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意,函数,当时,；当时,,

即,结合一次函数的图象与性质,可得选项B符合.故选B.

4．我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作,书中共列算题81问,分为9类.全书采用问题集的形式,并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学,还涉及自然现象和社会生活,成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题：粮仓开仓收粮,粮农送来米1634石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷25粒,则这批米内夹谷约为（    ）

A．158石 B．159石 C．160石 D．161石

【答案】D

【解析】由题意可知这批米内夹谷约为(石).故选D.

5．已知点,,则与向量的方向相反的单位向量是（    ）

A．（－..,） B．（－,） C．（,－） D．（,－）

【答案】A

【解析】由,,所以,所以向量的方向相反的单位向量为.故选A.

6．设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点,则两圆心的距离（    ）

A．4 B． C．8 D．

【答案】B

【解析】依题意设两圆方程分别为,,

分别将代入得,所以,,

圆心距.故选B.

7．等差数列的前项和为,其中,,则当取得最大值时的值为（    ）

A．4或5 B．3或4 C．4 D．3

【答案】C

【解析】设公差为,由题意知,解得,由等差数列前项和公式,知,对称轴为,所以当时,最大．故选C.

8．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位,它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图,若执行该程序框图,则输出的结果为（    ）

A．29 B．30 C．31 D．32

【答案】D

【解析】为整数,则除以的余数均为,,.故选D.

9.已知双曲线的离心率为,则点到的渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,,所以双曲线的渐近线方程为

所以点（4,0）到渐近线的距离,故选D.

10.已知定义在上的函数满足,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令,有,得函数在上单调递增,又由不等式可化为,有,

,.故选B.

11．若实数a,b,c满足,其中,则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知a(0,1),b(2,4),c(3,9),且,对于A选项,,可得到,故选项A错误；对于B选项,,,所以,故B选项错误；对于C选项,,故C选项错误；对于D选项,,,而c>b,所以,故选D.

12．已知直三棱柱的底面是正三角形,,是侧面的中心,球与该三棱柱的所有面均相切,则直线被球截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为球与直三棱柱的所有面均相切,且直三棱柱的底面是正三角形,所以球心为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点,如图所示,设底面三角形的重心为,连接,则底面,连接,易知点在上,

连接、,因为是侧面的中心,所以四边形为正方形,

设球的半径为,则由,可得,易得,

连接,可得,∴,

故所求弦长为,故选D.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.已知角终边上一点,则______.

【答案】

【解析】由已知可得,,则.

14．某社团计划招入女生人,男生人,若满足约束条件,则该社团今年计划招入的学生人数最多为______．

【答案】9

【解析】设,则,作出约束条件表示的平面区域,如图：

的最大值,即直线的纵截距的最大值,由图可知,当直线经过点时,纵截距最大.

,解得,所以的最大值为,此时均为正整数,符合要求.

所以该社团今年计划招入的学生人数最多为9.

15．等比数列的前项和为,,,则公比为______.

【答案】

【解析】因为,即所以,

所以,解得.

16．如图正方体中,为中点,为中点,为线段上一动点(不含),过与正方体的截面为,则下列说法正确的是___________.

①当时,为五边形

②截面为四边形时,为等腰梯形

③截面过时,

④为六边形时在底面投影面积为五边形时在底面投影面积,则

【答案】②③

【解析】作的中点,则平面平面,设与交点为,

连接,由面面平行性质可知,,作,

由三角形的中位线定理可得,则共面,又面面 ,

所以,即是平行四边形,,所以,,

当的延长线过时,则,所以,③正确；

当时,即此时重合,截面如图所示,此时截面为六边形,在底面投影如图,

当截面为五边形时,在底面投影如图,则,故①、④不正确;

当与重合时,为平面,因为,不妨设正方体棱长为,

则,所以为等腰梯形,则②正确.故答案为:②③.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 在△ABC中,acosB＝bsinA．

（1）求∠B；

（2）若b＝2,c＝2a,求△ABC的面积．

解：（1）在△ABC中,由正弦定理,因为,

所以,因为sinA≠0,所以,

所以tanB,因为0＜B＜π,所以.(6分)

（2）因为b＝2,c＝2a,由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB,

可得,

所以a,c,

所以.(12分)

18．(12分) 某湿地公园经过近十年的规划和治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的300个地块,并设计两种抽样方案,方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区,调查得到样本数据（,2,…,30）,其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量,并计算得,,,,.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求方案二抽取的样本（,2,…,30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.

附：相关系数,；相关系数,则相关性很强,的值越大,相关性越强.

解：（1）由题意可得,样区野生动物平均数为,

又地块数为300,所以该地区这种野生动物的估计值为；(4分)

（2）由题中数据可得,

样本（,2,…,30）的相关系数为

.

因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为,

所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计. (12分)

19．(12分) 如图,在三棱柱中,侧面底面,,,．

（1）求证：；

（2）求三棱柱的侧面积．

解：（1）如图所示：

连接,

∵,

∴侧面是菱形,

∴,

∵侧面底面,且平面平面,

,

∴平面,(3分)

又∵平面,

∴,

又,

∴平面,

又平面,

∴；(6分)

（2）如上图：设棱的中点为,连,,

则,

∴底面．从而,

由,,

得：,,(8分)

∴,

在中,由余弦定理得:,

即,

∴,(10分)

由（1）知平面,

∴,,

又,

∴三棱柱的侧面积为．(12分)

20．(12分) 已知函数.

（1）求证：；

（2）若,求的取值范围.

解：（1）设,则.

由知在上递增,∴.

从而是增函数,∴,故原不等式成立. (5分)

（2）对恒成立.

设,

一方面,由.(8分)

另一方面,当时,.

利用（1）中的结论有：.

构造函数,则.∴递减.

从而,∴,∴恒成立.

综上得.(12分)

21．(12分) 已知圆：（,）过点,,椭圆与轴交于、两点,与轴交于,两点．

（1）求四边形的面积；

（2）若四边形的内切圆的半径为,点,在椭圆上,直线斜率存在,且与圆相切,切点为,求证：．

解：（1）依题意得,解得：,

故四边形的面积；(4分)

（2）如图所示,

要证：,只需证,易知直线的方程为：,利用点到线的距离公式可得：,(6分)

设：,,,则原点到的距离为：,所以；①(8分)

由得：

则,,,(10分)

,

由①得,所以．(12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

如图所示,已知曲线的极坐标方程为,点,以极点为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线的参数方程为,（为参数）,若直线与曲线交于、两点,求的值．

解：因为,故,

故,即；(10分)

（2）设直线的参数方程为（为参数）,

若直线与双曲线交于,,则只能交于轴右侧部分,

将直线的参数方程代入,可得．(77分)

设,对应的参数分别为,,

故,,

故．(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知a,b,c为正实数,且满足.证明：

（1）；

（2）.

解：（1）因为a,b,c为正实数,且满足,

所以,

由绝对值三角不等式可得,,

当且仅当,即时,等号成立；(10分)

（2）因为a,b,c为正实数,且满足,

由三元基本不等式可得

,

当且仅当时,等号成立. (10分)