高中数学高考2021年高考数学（文）1月模拟评估卷（一）（全国3卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）1月模拟评估卷（一）（全国3卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合,,则的子集个数为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】因为,,,子集为,,,共个,

故选B.

2.已知复数,则的值（    ）

A．0 B． C．2 D．1

【答案】C

【解析】,,则．故选C．

3.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作,书中共列算题81问,分为9类.全书采用问题集的形式,并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学,还涉及自然现象和社会生活,成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题：粮仓开仓收粮,粮农送来米1634石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷25粒,则这批米内夹谷约为（    ）

A．158石 B．159石 C．160石 D．161石

【答案】D

【解析】由题意可知这批米内夹谷约为(石).故选D.

4.我们知道,人们对声音有不同的感觉,这与声音的强度有关系.声音的强度常用(单位：瓦/米2,即)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用(单位：分贝)表示,它们满足换算公式：(,其中是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝,则声音的强度应变为原来的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设该小区内公共场所声音的强度水平为,,相应声音的强度为,,

由题意,得,即,解得.故选C.

5．已知点,,则与向量的方向相反的单位向量是（    ）

A．（－..,） B．（－,） C．（,－） D．（,－）

【答案】A

【解析】由,,所以,所以向量的方向相反的单位向量为.故选A.

6.已知,则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】因为,利用诱导公式可得,即,

所以,故选C.

7．已知F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点,过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为（    ）

A．3 B．1 C．2 D．

【答案】B

【解析】由于R(2,1)为AB中点,设A(xA,yA),B(xB,yB).根据抛物线的定义|FA|+|FB|=xA+xB+p=2×2+p=5,解得p=1,抛物线方程为y2=2x.,两式相减并化简得,即直线l的斜率为1.故选B.

8．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位,它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图,若执行该程序框图,则输出的结果为（    ）

A．29 B．30 C．31 D．32

【答案】D

【解析】为整数,则除以的余数均为,,.故选D.

9．如图,在各小正方形边长为 的网格上依次为某几何体的正视图,侧视图与俯视图,其中正视图为等边三角形,则此几何体的体积为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意,几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体,体积,故选D.

10．奇函数满足,且在上单调递减,则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】奇函数满足,且在上单调递减,∴,且,

作出的大致图像,如下：

则,或,解可得或,即或,

所以不等式的解集为,故选B.

11．在中,角､､所对的边分别为､､,且,,,则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理得：,

,,,,

,由正弦定理得：,.

由余弦定理得：,解得：,

,.故选A.

12．已知,现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若两函数与图象的对称中心完全相同,则满足题意的的个数为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】化简得,根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质,欲使得两函数图象对称中心一致,须为奇函数,且只能为,有如图的两类情况．

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 已知函数,则在处的导数________.

【答案】

【解析】,,.

14．某社团计划招入女生人,男生人,若满足约束条件,则该社团今年计划招入的学生人数最多为______．

【答案】9

【解析】设,则,作出约束条件表示的平面区域,如图：

的最大值,即直线的纵截距的最大值,由图可知,当直线经过点时,纵截距最大.

,解得,所以的最大值为,此时均为正整数,符合要求.

所以该社团今年计划招入的学生人数最多为9.

15．双曲线的左､右焦点为、,若点在双曲线上,,则______.

【答案】10

【解析】连接,因为为的中点,故,所以,

而,故是以为直角顶点的直角三角形,故.

16．四面体中,,,,且异面直线和所成的角为,若四面体的外接球半径为,则四面体的体积的最大值为_________.

【答案】

【解析】四面体中,,,异面直线和所成的角为,可得如下示意图：过B点作且,连接,

则有且面,如下图,若为外接圆圆心,则可找到外接球圆心,为BC的中点,即,外接球半径为,

∴四边形为矩形,,

∴在平面中有,可得,

令,则四面体的体积,

而由余弦定理知：,即当且仅当时等号成立,所以.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 设是等比数列,其前项的和为,且,.

（1）求的通项公式；

（2）若,求的最小值.

解：（1）设的公比为q,因为,所以,所以,(3分)

又,所以,所以.(6分)

（2）因为,所以,(9分)

由,得,即,解得,所以n的最小值为6.(12分)

18．(12分) 某湿地公园经过近十年的规划和治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的300个地块,并设计两种抽样方案,方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区,调查得到样本数据（,2,…,30）,其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量,并计算得,,,,.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求方案二抽取的样本（,2,…,30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.

附：相关系数,；相关系数,则相关性很强,的值越大,相关性越强.

解：（1）由题意可得,样区野生动物平均数为,

又地块数为300,所以该地区这种野生动物的估计值为；(4分)

（2）由题中数据可得,

样本（,2,…,30）的相关系数为

.

因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为,

所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计. (12分)

19．(12分) 如图,在三棱柱中,侧面底面,,,．

（1）求证：；

（2）求三棱柱的侧面积．

解：（1）如图所示：

连接,

∵,

∴侧面是菱形,

∴,

∵侧面底面,且平面平面,

,

∴平面,(3分)

又∵平面,

∴,

又,

∴平面,

又平面,

∴；(6分)

（2）如上图：设棱的中点为,连,,

则,

∴底面．从而,

由,,

得：,,(8分)

∴,

在中,由余弦定理得:,

即,

∴,(10分)

由（1）知平面,

∴,,

又,

∴三棱柱的侧面积为．(12分)

20．(12分) 已知函数.

（1）当时,求的单调区间；

（2）若在区间的最小值为,求.

解：（1）当时,,,

所以,(1分)

由可得；由可得,(3分)

所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为；(5分)

（2）因为,,

所以,由得；(6分)

若时,在上恒成立,所以在上单调递增,

最小值为不满足题意； (7分)

若,即时,当时,,则函数单调递减；

当时,,则函数单调递增；

所以,则,

即,所以,满足；(10分)

若,即时,在上恒成立,所以函数在上单调递减,

因此,解得,不满足；

综上,.(12分)

21．(12分) 已知圆：（,）过点,,椭圆与轴交于、两点,与轴交于,两点．

（1）求四边形的面积；

（2）若四边形的内切圆的半径为,点,在椭圆上,直线斜率存在,且与圆相切,切点为,求证：．

解：（1）依题意得,解得：,

故四边形的面积；(4分)

（2）如图所示,

要证：,只需证,易知直线的方程为：,利用点到线的距离公式可得：,(6分)

设：,,,则原点到的距离为：,所以；①(8分)

由得：

则,,,(10分)

,

由①得,所以．(12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

如图所示,已知曲线的极坐标方程为,点,以极点为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线的参数方程为,（为参数）,若直线与曲线交于、两点,求的值．

解：因为,故,

故,即；(10分)

（2）设直线的参数方程为（为参数）,

若直线与双曲线交于,,则只能交于轴右侧部分,

将直线的参数方程代入,可得．(77分)

设,对应的参数分别为,,

故,,

故．(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知a,b,c为正实数,且满足.证明：

（1）；

（2）.

解：（1）因为a,b,c为正实数,且满足,

所以,

由绝对值三角不等式可得,,

当且仅当,即时,等号成立；(10分)

（2）因为a,b,c为正实数,且满足,

由三元基本不等式可得

,

当且仅当时,等号成立. (10分)