高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（一）（全国1卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集,集合,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,,,,

.故选B.

2．在等差数列中,若,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在等数列中,,所以,

解得所以,故选C

3．设,则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】的解为,设,,

因为是的真子集,所以“”是“”的充分不必要条件.故选A

4．已知向量,,,若,则可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】,,即,各选项中,只有A中,满足题意.

故选A.

5．设,表示两条直线,,表示两个平面,则下列命题正确的是（    ）

A．若,.,则

B．若,,则

C．若,,则

D．若,,则

【答案】D

【解析】A错,∵线面平行,面中的线与此线的关系是平行或者异面,

B错,∵与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行,

C错,∵两面垂直,与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行,在面内也可能垂直；

D对,∵线与面平行,线垂直于另一面,可证得两面垂直,故选D.

6．年的“金九银十”变成“铜九铁十”,全国各地房价“跳水”严重,但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间,当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码分别对应年月年月）

根据散点图选择和两个模型进行拟合,经过数据处理得到的两个回归方程分别为和,并得到以下一些统计量的值：

注：是样本数据中的平均数,是样本数据中的平均数,则下列说法不一定成立的是（    ）

A．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系

B．根据可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米

C．曲线与的图形经过点

D．回归曲线的拟合效果好于的拟合效果

【答案】C

【解析】对于A,散点从左下到右上分布,所以当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系,故A正确；对于B,令,由,所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米,故B正确；对于C,非线性回归曲线不一定经过,故C错误；

对于D,越大,拟合效果越好,故D正确.故选C.

7．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】,函数是奇函数,故排除AB,

当时,,,所以,故排除D.故选C

8．已知函数,,若曲线在点处的切线是曲线的所有切线中斜率最小的,则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】因为,定义域为,所以,由导数的几何意义可知：当时取得最小值,因为,,所以,当且仅当即时取得最小值,又因为时取得最小值,所以,故选D

9．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成,则该几何体与其外接球的表面积分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图的几何体如图所示,

可知几何体的表面积为,设该几何体外接球的半径为,则,

所以该几何体外接球的表面积为.故选C.

10．已知双曲线：(,)的左､右焦点分别为,,且以为直径的圆与双曲线的右支交于,直线与的左支交于,若,则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图,连接.因为以为直径的圆与双曲线的右支交于,故.设,则,,,,由为直角三角形,故,解析,故,,因为为直角三角形,故,故.故选D.

11．函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【解析】因为

所以

令则

则

令,得或

当时,；时

所以当时,取得最大值,此时

所以,故选B

12．已知数列中,其前项和为,且满足,数列的前项和为,若对恒成立,则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时,,得；当时,由,得,

两式相减得,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.因为,所以.

又,所以是以1为首项,为公比的等比数列,所以,,由,得,

所以,所以.

又,所以,所以,即对恒成立,当为偶数时,,

所以,令,则数列是递增数列,

所以；当为奇数时,,

所以,所以,

所以.综上,实数的取值范围是.故选D.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 已知i是虚数单位,则______________．

【答案】

【解析】.

14．设,其中实数,满足,若的最大值为6,则的最小值为_______.

【答案】

【解析】该不等式组对应的平面区域如下图所示直线中表示该直线与轴的截距

当直线过点时,取最大值,即,解得,当直线过点时,,取最小值,即

15．已知、为椭圆：的左、右焦点,为椭圆上一点,且内切圆的周长等于,若满足条件的点恰好有两个,则_______

【答案】

【解析】由题意得内切圆的半径,设,因此的面积为,设,则,

∵满足条件的点恰好有两个,∴为椭圆短轴端点,即,

∴,而,∴,∴.

16．已知是奇函数,定义域为,当时,（）,当函数有3个零点时,则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】当时,易知函数单调递减,且时,,时,,其大致图象如下,

在的大致图象如下,

又函数是定义在上的奇函数,故函数的图象如下,

要使函数有3个零点,只需函数的图象与直线有且仅有3个交点,

由图象可知,．故答案为：．

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．

（1）求角C的大小

（2）若,且的面积为,求的周长．

解：（1）,

,

,

,

,

.(6分)

（2）由题意可得,,

,

联立可得,,

由余弦定理可得,,

此时周长为.(12分)

18.(12分) 为了推进分级诊疗,实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式,某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万,从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况,现调查了1000名年满18周岁的居民,各年龄段被访者签约率如图2所示.

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

（2）据统计,该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上,应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

解：（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；

在60-70岁的签约人数为：万；

在70-80岁的签约人数为：万；

在80岁以上的签约人数为：万；

故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；(6分)

（2）年龄在10-20岁的人数为：万；

年龄在20-30岁的人数为：万.

所以,年龄在18-30岁的人数大于180万,小于230万,签约率为30.3%；

年龄在30-50岁的人数为万,签约率为37.1%.

年龄在50岁以上的人数为：万,签约率超过55%,上升空间不大.

故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万,基数较其他年龄段是最大的,且签约率非常低,所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上,应着重提高30-50这个年龄段的签约率. (12分)

19.(12分) 如图,在三棱锥中,已知是正三角形,为的重心,,分别为,的中点,在上,且.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面,,,求三棱锥的体积.

（1）证明：连接,

∵为的中点,为的重心,

∴点一定在上,且,

∵为的中点,∴,

又,∴,即,

∴,

则,∵平面,平面,

∴平面；(6分)

（2）解：延长,交于,

由题设知,为的中点,

∵是正三角形,∴,

∵平面平面,

平面平面,平面,

∴平面,即为三棱锥的高,

∵,∴,

又,,

∴,

故.(12分)

20.(12分) 已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点,且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点,求的取值范围.

解：（1）已知到焦点的距离为10,则点到准线的距离为10.

∵抛物线的准线为,∴,

解得,∴抛物线的方程为.(4分)

（2）由已知可判断直线的斜率存在,设斜率为,因为,则：.

设,,由消去得,,

∴,.(7分)

由于抛物线也是函数的图象,且,则：.

令,解得,∴,从而.

同理可得,,(10分)

∴ .

∵,∴的取值范围为.(12分)

21.(12分) 已知函数在处取得极值,.

（1）求的值与的单调区间；

（2）设,已知函数,若对于任意、,都有,求实数的取值范围.

解：（1）由题意得的定义域为,,

∵函数在处取得极值,

∴,解得,

则由得或,

、、的关系如下表：

∴函数的单调递增区间为,,单调递减区间为；(6分)

（2）由（1）得函数,

当时,对任意、,都有,

即当,时,,

∵在上单调递减,,∴在上单调递减,

则,,

则,

即,解得或,结合,得,

故实数的取值范围为.(12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,,曲线的参数方程为(的参数).

（1）将曲线的极坐标方程､的参数方程化为普通方程.

（2）设,的交点为,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.

解：（1）,

,

,

即：

由可得 ,

消去参数,可得

即普通方程为.(5分)

（2）

由,

即,

设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中a >0.则,解得 ,

所求圆的半径,所求圆的直角坐标方程为: .

即,

所求圆的极坐标方程为 . (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设函数,.

（1）若,求不等式的解集；

（2）若函数恰有三个零点,求实数的取值范围.

解：（1）若,不等式即,

则或

或,

解得或或,

故原不等式的解集为；(10分)

（2）由,得,

设,,

在平面直角坐标系中做出的大致图像,如图所示,

结合图像分析,可知当,即时,

、的图像有三个不同的交点,

故函数恰有三个零点时,实数的取值范围是. (10分)