高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）

（全国1卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．若,则在复平面内,复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】,则复数对应的点的坐标为,位于第四象限．

故选D．

2．已知集合,集合,则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】集合,集合

,故选C.

3．已知直线a与平面,能使的充分条件是（    ）

①      ②      ③      ④

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】对①,若,垂直于同一个平面的两个平面可以相交,故①错误；

对②,若,则,平面的平行具有传递性,故②正确；

对③,若,平行于同一直线的两平面可以相交,故③错误；

对④,,垂直于同一直线的两平面平行,故④正确.综上,②④正确,故选D.

4．已知抛物线的焦点为,是抛物线的准线上的一点,且的纵坐标为正数,是直线与抛物线的一个交点,若,则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】过点作于,因为,由抛物线的定义得,

所以在中,,所以,所以直线的斜率为,

所以直线的方程为,即,故选B.

5．如图所示是某年第一季度五省情况图,则下列说法中不正确的是（    ）

A．该年第一季度增速由高到低排位第3的是山东省

B．该年第一季度浙江省的总量最低

C．该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位次的省份有2个

D．与去年同期相比,该年第一季度的总量实现了增长

【答案】B

【解析】由折线图可知A、D项均正确,该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四,共2个,故C项正确：今年浙江省的增长率最低.故B项不正确.故选B.

6.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图象可知：,且时,,时,,排除AB;

由,排除D.又在上递减,所以在上递减,

故选C.

7．直线与函数的图象相切于点,则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知,且.因为,所以,即,所以,所以,即,

两边同时取自然对数得,整理的,故选B.

8．某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,则该港口该天水最深的时刻不可能为（    ）

A．16时 B．17时 C．18时 D．19时

【答案】D

【解析】由题意可知,时,,

由五点法作图可知：如果当时,函数取得最小值可得：,可得,

此时函数,函数的周期,

该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,满足,

如果当时,函数取得最小值可得：,可得,

此时函数,函数的周期为：,

时,,如图：

该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,不满足,故选D．

9．二十世纪第三次科技革命的重要标志之一是计算机发明与应用,其核心是使用二进制,即用最基本的字符“0”和“1”可以进行无穷尽的各种复杂计算,而且用电子方式实现,即二进制是一个微小的开关用“开”来表示1,“关”来表示0．某编程员将一个二进制数字串进制数字串,,,,,进行编码,其中称为第位码元,但在实际编程中偶尔会发生码元出错（即码元由0变成1,或者由1变为0）,如果出现错误后还可以将码元,,,,进行校验修正,其校验修正规则为：,其中运算定义为：,,,,即满足运算规则为正确,否则错．现程序员给出1101101一组码元,然后输入计算机中,结果仅发现第位码元错误,则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】∵,

显然这几个码元中,显然这几个码元中必有一个错误,

于是确定,,这3位码元都是正确的；

又,

进而,,,,均正确；

再由,

∵,,码元都正确,故只有错误,于是,故选C．

10．在中,内角的对边分别为,已知,,则的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为,所以由正弦定理得,,因为,所以,所以,

化简得,因为,所以,解得,因为,所以,因为,所以由余弦定理得,所以,

所以,当且仅当时取等号,所以,的最大值为,故选B．

11. 已知平面直角坐标系中,点,,其中点在第一象限.若,且,则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得：,

即.点在第一象限,,,

,,即.如图,设,则,

.故选C.

12．已知定义在上的函数满足,且当时,,函数,实数,满足.若,,使得成立,则的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】当时,,令可得.

∵,∴的周期为2,所以在[－1,5]的图象所示：

结合题意,当,时,取得最大值.最大值为1.故选B.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13．若满足,则的最小值为____________.

【答案】

【详解】如图

令,可得目标函数的一条等值线,则将移至点处,目标函数取最小值,所以最优解为点,则.

14．若等边的边长为1,平面内一点M满足,则______________.

【答案】

【解析】由已知,,

,

∴

,故答案为．

15. 设F1,F2分别为双曲线C： (a＞0,b＞0)的左、右焦点,过F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|＝3,|BF2|＝5,|AB|＝4,则△BF1F2的面积为________．

【答案】

如图：

因为|AF2|＝3,|BF2|＝5,|AF2|－|AF1|＝2a,|BF2|－|BF1|＝2a,

所以|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4,所以a＝1,所以|BF1|＝3,又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2,

所以∠F2AB＝90°,所以sin B＝,所以.

16．在平行四边形中,,,且,以为折痕,将折起,使点到达点处,且满足,则三棱锥的外接球的表面积为__________.

【答案】

【解析】在中,,,且,

由余弦定理,得,

即：,解得：,

在四面体中,,,,

三组对棱长相等,可将四面体放在长方体中,

设长方体的相邻三棱长分别为,,,设外接球半径为,

则,,,

则,即,所以.

所以,四面体外接球的表面积为：.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分)已知数列是首项为的等差数列,数列是公比为的等比数列,且数列的前项和为.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若,当时,,求数列的通项．

解：（1）设数列的公差为,则,,

则,求得,．

而,即,解得．

,

所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为(6分)

（2）当时,,

故,

可得,,故．(12分)

18．(12分) 如图,在三棱锥中,,,,分别为,的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若,是面积为的等边三角形,求四棱锥的体积.

解:（1）,为的中点,,.

,,

又,,.

,平面,平面,

平面,平面平面.(6分)

（2）,,

又平面平面,平面平面,平面.

是面积为的等边三角形,,可得：.

.(12分)

19．(12分) 为了加快恢复疫情过后的经济,各地旅游景点相继推出各种优惠政策,刺激旅游消费．8月份,某景区一纪念品超市随机调查了180名游客到该超市购买纪念品的情况,整理数据,得到下表：

（1）估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率；

（2）估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值（结果精确到,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）完成下面的列联表,并判断能否有％的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关．

附：,．

解：（1）估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率为

．(3分)

（2）估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为

．(7分)

（3）填写列联表,如下：

则,

因此,有％的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关．(12分)

20．(12分)如图,点为椭圆：的左焦点,点,分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在椭圆上,且满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）过定点且与轴不重合的直线交椭圆于,两点,直线分别交直线,于点,,求证：以为直径的圆经过轴上的两定点（用表示）.

解：（1）由在椭圆：上得①,

如图,由为的右顶点,为的上顶点可知,,

因,所以,则②.

联立①②得方程组解得

故所求椭圆的方程为.(4分)

（2）设,,又,

所以直线的方程为,令,得,

所以.同理.

设是以为直径的圆上的任意一点,则,所以

,

令,得.

设直线的方程为,与椭圆的方程联立,消去得

,

所以,,

所以

.

所以,

因为,所以.

所以以为直径的圆经过轴上两定点,其坐标分别为和.(12分)

21．(12分) 已知函数.

（1）若函数在点处的切线方程为,求,的值；

（2）当,时,记在区间上的最大值为,最小值为,求的取值范围.

解：（1）由题知,,,．

即,解得

 （2）当,时,,

令,即,解得

因为,所以

所以函数在上单调递减,在上单调递增．

所以,即

因为,．

所以,即

所以

令

则

即函数在上单调递减

所以,即,所以的取值范围是

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数,）,以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线的交点为,.

（1）若,求；

（2）设点,求的最小值.

解：（1）由曲线的极坐标方程得,

化为直角坐标方程为,即.

将直线的参数方程代入其中,得

.

当时,上述方程即,解得,,

所以.(5分)

（2）由根与系数的关系可知：

,,

所以,

其中,当时取等号,

所以的最小值为.(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数.

（1）在坐标系中画出函数的图像,并写出的值域；

（2）若恒成立,求a的取值范围.

解：（1）,其图像如图所示：

由图像可得的值域为.(5分)

（2）在同一坐标系中画出满足题意的,的图像,

当过点时,或,

由图像可知：,,即实数的取值范围为.(5分)