高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）

（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，.故选A.

2．若,则在复平面内,复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】,则复数对应的点的坐标为,位于第四象限．

故选D．

3．已知是第二象限角,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

因为是第二象限角,所以,又,所以,因此,即,所以.故选B.

4．已知直线a与平面,能使的充分条件是（    ）

①      ②      ③      ④

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】对①,若,垂直于同一个平面的两个平面可以相交,故①错误；

对②,若,则,平面的平行具有传递性,故②正确；

对③,若,平行于同一直线的两平面可以相交,故③错误；

对④,,垂直于同一直线的两平面平行,故④正确.综上,②④正确,故选D.

5．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为（    ）（注：一丈=十尺,一尺=十寸）

A．一丈七尺五寸 B．一丈八尺五寸

C．二丈一尺五寸 D．二丈二尺五寸

【答案】D

【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为,是其前项和,则（尺）,所以（尺）,由题知（尺）,

所以（尺）,所以公差,则（尺）．

故选D．

6．已知抛物线的焦点为,是抛物线的准线上的一点,且的纵坐标为正数,是直线与抛物线的一个交点,若,则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】过点作于,因为,由抛物线的定义得,

所以在中,,所以,所以直线的斜率为,

所以直线的方程为,即,故选B.

7.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图象可知：,且时,,时,,排除AB;

由,排除D.又在上递减,所以在上递减,

故选C.

8.已知数列且满足：,且,则为数列的前项和,则（    ）

A．2019 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】D

【解析】由,,所以,,,

所以数列是以为周期的数列,,所以.

故选D.

9.已知是定义在上的增函数,若对于任意,均有,,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】根据,,可得,

由,,可得,则,

又是定义在上的增函数,所以,解得,所以不等式的解集为.故选A.

10．已知,分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于,两点,连接,,在中,,,则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B． C． D．2

【答案】D

【解析】设,则由双曲线定义可得,

,则,

则,解得,从而.

在中,,

即,解得.故选D.

11．已知点在半径为2的球面上,满足,,若S是球面上任意一点,则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设外接圆圆心为,三棱锥外接球的球心为,,

设为中点,连,如图,

则,且在上,,

设外接圆半径为,

,解得,

要使体积的最大,需到平面距离最大,

 即为的延长线与球面的交点,最大值为,

所以三棱锥体积的最大值为．

故选A

12．若关于的方程有三个不相等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【解析】化简,可得,令,原式可化为,,由韦达定理可得,,, 两式相乘可得,即的值为,故选A.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13．若满足,则的最小值为____________.

【答案】

【详解】如图

令,可得目标函数的一条等值线,则将移至点处,目标函数取最小值,所以最优解为点,则.

14.x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.

①x，y是负相关关系；

②在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为，则>；

③x，y之间不能建立线性回归方程.

【答案】①②

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此是负相关关系，故①正确；

由散点图知用拟合比用拟合效果要好，则，故②正确；

之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误.故答案为①②.

15．已知向量与的夹角为60°．且,若,且,则实数的值是___________．

【答案】

【解析】,即,所以,解得．

16．已知函数,若存在实数使得的解集恰为,则的取值范围是_____.

【答案】

【解析】由题意得方程有两个不等的非零根,方程变形得,

设,所以,当时,,当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减,

又因为,,且当时,,当时,,

所以若要方程有两个不等的非零根,则.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 如图,在四边形中,,,,．

（1）求的值；

（2）若,求的长．

解：（1）因为,

所以可设,,．又,,

所以由余弦定理,得,解得,

所以,,．(6分)

（2）因为,

所以,

所以,

因为,

所以．(12分)

18．(12分)产品质量是企业的生命线,企业非常重视产品生产线的质量,为提高产品质量,某企业引进了生产同一种产品的,两条生产线,为比较两条生产线生产的产品的质量,从,生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品进行检测,将产品等级结果和频数制成了如下的统计图：

（1）填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为产品是否为一级品生产线有关．

（2）以样本估计总体,若生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品亏损20元．

①分别估计,生产线生产一件产品的平均利润；

②你认为哪条生产线的利润较为稳定？说明理由．

附：,其中．

解：（1）根据已知数据可得列联表如下：

,

参照临界值表可知,有95%的把握认为产品是否为一级品与生产线有关. (5分)

（2）①生产线生产一件产品的平均利润为（元）,

生产线生产一件产品的平均利润为（元）. (8分)

②生产线生产的产品利润的方差

,

生产线生产的产品利润的方差

,

因为,所以生产线的利润更为稳定. (12分)

19．(12分) 如图,在三棱锥中,,,,分别为,的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若,是面积为的等边三角形,求四棱锥的体积.

解:（1）,为的中点,,.

,,

又,,.

,平面,平面,

平面,平面平面.(6分)

（2）,,

又平面平面,平面平面,平面.

是面积为的等边三角形,,可得：.

.(12分)

20．(12分)已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．

解：（1）由题知，的定义域为，．

①当时，则，在上单调递增；

②当时，则当时，当，当时．

在单调递增，在单调递减．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减．(6分)

（2）由（1）知，当时再无最大值；

当时，在取得最大值．

此时，其最大值为．

．

令，，则在是增函数．

注意到，所以要使成立，则需.

的取值范围是．(12分)

21．(12分)如图,点为椭圆：的左焦点,点,分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在椭圆上,且满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）过定点且与轴不重合的直线交椭圆于,两点,直线分别交直线,于点,,求证：以为直径的圆经过轴上的两定点（用表示）.

解：（1）由在椭圆：上得①,

如图,由为的右顶点,为的上顶点可知,,

因,所以,则②.

联立①②得方程组解得

故所求椭圆的方程为.(4分)

（2）设,,又,

所以直线的方程为,令,得,

所以.同理.

设是以为直径的圆上的任意一点,则,所以

,

令,得.

设直线的方程为,与椭圆的方程联立,消去得

,

所以,,

所以

.

所以,

因为,所以.

所以以为直径的圆经过轴上两定点,其坐标分别为和.(12分)

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数,）,以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线的交点为,.

（1）若,求；

（2）设点,求的最小值.

解：（1）由曲线的极坐标方程得,

化为直角坐标方程为,即.

将直线的参数方程代入其中,得

.

当时,上述方程即,解得,,

所以.(5分)

（2）由根与系数的关系可知：

,,

所以,

其中,当时取等号,

所以的最小值为.(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设正实数,,满足．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

解：（1）∵,∴．

∴,

当且仅当,

即,,时,取到最大值为．(5分)

（2）∵,∴,

∴

,

当且仅当,即时,

取得最小值为5．(10分)