高中数学高考2019版高考数学一轮复习鸭部分坐标系与参数方程学案文

这是一份高中数学高考2019版高考数学一轮复习鸭部分坐标系与参数方程学案文，共23页。

坐标系与参数方程
第1课坐标系

[过双基]
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

4．常见曲线的极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为，半径为r的圆的极坐标方程
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线的极坐标方程
ρsin θ＝a(0<θ<π)
　
1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．
解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.
答案：
2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．
解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x－1)2＋y2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
答案：θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．
解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r＝1.因为点P(1,0)到圆心的距离d＝＝2>1，所以点P在圆外，所以|AP|的最小值为d－r＝2－1＝1.
答案：1
4．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sin θ 的公共点的个数为________．
解析：依题意，得4ρ＋1＝0，
即2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，
所以直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0.
由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
即x2＋(y－1)2＝1，
其圆心(0,1)到直线2x＋2y＋1＝0的距离
d＝＝<1，则直线与圆相交，
故直线与圆的公共点的个数是2.
答案：2
5．在极坐标系中，过点A引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________．
解析：点A的极坐标化为直角坐标为A(0，－1)，
圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，
圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝16，
点A与圆心C(0,4)的距离为|AC|＝5，
所以切线长为＝3.
答案：3
[清易错]
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．
2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．
注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．
1．若圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是________．
解析：因为ρ2－4ρcos－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0，即x2＋y2－2x－2y－1＝0，因此圆心坐标为(1，)．
答案：(1，)
2．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________．
解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ得：
ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，
化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.
圆心的坐标为，
化成极坐标为.
答案：(答案不唯一)


平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[典例]　(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A′的坐标．
(2)求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．
[解]　(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得到由于点A的坐标为，
于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，
∴A′(1，－1)为所求．
(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将代入y＝6x得
2y′＝6×，∴y′＝x′，即y＝x为所求．
[方法技巧]
伸缩变换的解题方法
平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下得到的方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．　　
[即时演练]
1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．
解：由得①
将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．
解：由题意，把变换公式代入曲线
y′＝3sin得3y＝3sin，
整理得y＝sin，故f(x)＝sin.
所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.

极坐标与直角坐标的互化
[典例]　在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin＝，直线与曲线C：ρsin2θ＝8cos θ相交于不同的两点A，B，求|AB|的值．
[解]　l：ρsin＝⇒ρcos θ－ρsin θ＝⇒x－y－1＝0，C的直角坐标方程是y2＝8x.
由
可得x2－10x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝10，x1x2＝1，
所以AB的长为·＝8.
　[方法技巧]
1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点．
(2)以x轴的非负半轴为极轴．
(3)两种坐标系规定相同的长度单位．
2．直角坐标化为极坐标的注意点
(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．
当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．　
[即时演练]
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1(0≤θ<2π)，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)M点的直角坐标为(2,0)．
N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为，
则P点的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

极坐标方程的应用
[典例]　已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．
[解]　(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.
(2)∵M(，0)，N(0,1)，
∴P，
∴OP的极坐标方程为θ＝，
把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.
把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.
∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.
[方法技巧]
曲线的极坐标方程的求解策略
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．　　
[即时演练]
在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)因为圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，
则有解得
设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有解得
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，即线段PQ的长为2.

1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
2．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
3．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，求|AB|.
解：∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴直线的直角坐标方程为x－y－1＝0.
∵ρ＝2cos θ，
∴ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos θ，
∴x2＋y2＝2x.
∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
∵圆心(1,0)在直线x－y－1＝0上，
∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.
4．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．
解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，
化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，
直线 θ＝即tan θ＝，
化为直角坐标方程为x－y＝0，
圆心(0,4)到直线的距离为＝2，
所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.
5．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离．
解：点的直角坐标为，
直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0.
所以点(1，)到直线的距离d＝＝＝1.

1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A，B两点，若|AB|＝2，求实数a的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，
所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，
所以圆心C到直线的距离为
＝ ＝，
解得a＝－5或a＝－1.
故实数a的值为－5或－1.
2．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，
即y＝x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8x＋12＝0，
即x2－2x＋3＝0，
所以x＝，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(，1)，
化为极坐标为.
3．(2018·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
4．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点 A，B ，求△AOB的面积．
解：(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，
∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，
将代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，
即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.
(2)在极坐标系中，C：ρ＝4cos θ＋2sin θ，
∴由得|OA|＝2＋1，
同理：|OB|＝2＋.
又∵∠AOB＝，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝，
即△AOB的面积为.
5．在坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，直线l：ρcosθ－＝，C与l有且只有一个公共点．
(1)求a的值；
(2)若原点O为极点，A，B为曲线C上两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．
解：(1)由已知在直角坐标系中，
C：x2＋y2－2ax＝0⇒(x－a)2＋y2＝a2(a>0)；
l：x＋y－3＝0.
因为C与l只有一个公共点，所以l与C相切，
即＝a，则a＝1.
(2)设A(ρ1，θ)，则B，
∴|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2cos θ＋2cos＝3cos θ－sin θ＝2cos.
所以，当θ＝－时，(|OA|＋|OB|)max＝2.
6．在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y－4＝0，曲线C2：x2＋(y－1)2＝1，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若曲线C3的极坐标方程为θ＝α，且曲线C3分别交C1，C2于点A，B，求的最大值．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴C1：ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，C2：ρ＝2sin θ.
(2)曲线C3为θ＝α，
设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，ρ1＝，ρ2＝2sin α，
则＝＝×2sin α(cos α＋sin α)
＝2sin2α－＋1，
∴当α＝时，max＝.
7．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin，射线OM的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．
(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若射线OM平分曲线C2，且与曲线C1交于点A，曲线C1上的点满足∠AOB＝，求|AB|.
解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，
曲线C2的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4.
(2)曲线C2是圆心为(，1)，半径为2的圆，
∴射线OM的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
代入ρ2＝，可得ρ＝2.
又∠AOB＝，∴ρ＝，
∴|AB|＝＝＝.
8．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
解：(1)作出图形如图所示，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.
由余弦定理得，
4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，
设M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，
得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，
∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.
第2课参数方程

[过双基]
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．
　
1．参数方程(t为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________．
解析：将参数方程消去参数t，得2x－y－5＝0，对应图形为直线．
由ρ＝sin θ，得ρ2＝ρsin θ，即x2＋y2＝y，
即x2＋2＝，对应图形为圆．
答案：直线、圆
2．曲线(θ为参数)与直线y＝x＋2的交点坐标为________．
解析：曲线的直角坐标方程为y＝x2.将其与直线方程联立得∴x2－x－2＝0，∴x＝－1或x＝2.由x＝sin θ知，x＝2不合题意．∴x＝－1，y＝1，∴交点坐标为(－1,1)．
答案：(－1,1)
3．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为________．
解析：∵曲线C的参数方程为(θ为参数)，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
∴圆心(2，－1)到直线l的距离
d＝＝＝.
又∵<3，>3，∴有2个点．
答案：2
4．参数方程(t为参数)化为普通方程为________．
解析：∵x＝，
y＝＝＝4－3×＝4－3x.
又x＝＝＝2－∈[0,2)，
∴x∈[0,2)，
∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．
答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))
[清易错]
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．
2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
1．直线y＝x－1上的点到曲线上的点的最近距离是________．
解析：由得
∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)，
故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝2，
∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d－r＝2－1.
答案：2－1
2．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．
解析：直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有 ＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切线的倾斜角或.
答案：或


参数方程与普通方程的互化
[典例]　已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．
[解]　(1)椭圆C：(θ为参数)，直线l：x－y＋9＝0.
(2)设P(2cos θ，sin θ)，
则|AP|＝ ＝2－cos θ，
点P到直线l的距离
d＝＝.
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，
又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.
故P.
[方法技巧]
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　　
[即时演练]
将下列参数方程化为普通方程．
(1)(k为参数)；
(2)(θ为参数)．
解：(1)两式相除，得k＝，
将其代入x＝，得x＝，
化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，
得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
故所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．

参数方程
[典例]　在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
[解]　曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，
将直线l的参数方程化为(t′为参数)，
代入曲线C的方程得：
t′2－(4＋a)t′＋16＋4a＝0，
则Δ>0，即a>0或a<－4.
设交点M，N对应的参数分别为t1′，t2′，
则t1′＋t2′＝2(4＋a)，t1′t2′＝2(16＋4a)，
若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
则|t1′－t2′|2＝|t1′t2′|，
解得a＝1或a＝－4(舍去)，
所以满足条件的a＝1.
[方法技巧]
(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
(2)对于形如(t为参数)．
当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．　　
[即时演练]
已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．
解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，
所以它的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
把它代入抛物线的方程，得t2＋t－2＝0，
由根与系数的关系得t1＋t2＝－，t1·t2＝－2，
由参数t的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝，
|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.

极坐标、参数方程的综合应用
[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．
联立
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为.
[方法技巧]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　
[即时演练]
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝，直线的参数方程是(α为参数，0≤α<π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M(2，2)，求α.
解：(1)曲线C：ρ＝，即ρsin2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin2θ＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为y2＝4x.
(2)法一： 把x＝2＋tcos α，y＝2＋tsin α代入y2＝4x，
得(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)，
即t2sin2α＋(4sin α－4cos α)t－4＝0.
由AB的中点为M(2,2)得t1＋t2＝0，有4sin α－4cos α＝0，所以k＝tan α＝1.
由0≤α<π，得α＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则⇒(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵y1＋y2＝4，∴k1＝tan α＝＝1，
由0≤α<π，得α＝.

1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，
故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为
d＝.
当a≥－4时，d的最大值为 .
由题设得＝，解得a＝8；
当a＜－4时，d的最大值为.
由题设得＝，解得a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
2．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为
ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以直线l的斜率为或－.
法二：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，
圆心坐标为(－6,0)，半径为5.
又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得
＝ ，即＝，
整理得k2＝，解得k＝±，
即直线l的斜率为±.
3．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．
由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为G在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.

1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，
从而点P到直线l的距离
d＝＝.
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.
2．已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．
解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，
曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M－2＋4cos θ，2＋sin θ.
曲线C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.
3．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.
(1)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为普通方程；
(2)C1与C2有两个公共点A，B，点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．
解：(1)C2是圆，C2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，
化为普通方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4.
(2)点P的直角坐标为(1,1)，且在直线C1上，
将C1的参数方程(t为参数)代入x2＋y2－2x－3＝0，得2＋2－2－3＝0，化简得t2＋t－3＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1·t2＝－3，
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝，
定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，定点P(1,1)．
(1)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)已知直线l与圆C相交于A，B两点，求||PA|－|PB||的值．
解：(1)依题意得圆C的一般方程为(x－1)2＋y2＝4，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2－2ρcos θ－3＝0，
所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0.
(2)因为定点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程可表示为(t为参数)．
代入(x－1)2＋y2＝4，得t2－t－3＝0.
设点A，B分别对应的参数为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝－3.
所以t1，t2异号，不妨设t1>0，t2<0，
所以|PA|＝t1，|PB|＝－t2，
所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝.
5．已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．
解：(1)由已知得l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，
联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.
(2)由题意，得C2的参数方程为(θ为参数)，
故点P的坐标为，
从而点P到直线l的距离是
d＝＝sin＋2，
当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，
曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.
(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，
即x2＋＝1，
∴曲线C上的点的坐标可表示为(cos α，sin α)，
∴d＝
＝＝.
∴d的最小值为＝，d的最大值为＝.
∴≤d≤，即d的取值范围为.
7．平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，
得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，
所以t1t2＝m2－2m，
由题意得|m2－2m|＝1，
解得m＝1或m＝1＋或m＝1－.
8．已知直线的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
(1)求圆心C的直角坐标；
(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
解：(1)∵ρ＝4cos＝2cos θ－2sin θ，
∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－)2＋(y＋)2＝4，
∴圆心的直角坐标为(，－)．
(2)直线l上的点向圆C引切线，则切线长为

＝＝≥4，
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为4.