九年级下册1 二次函数复习练习题

这是一份九年级下册1 二次函数复习练习题，共60页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训2.3 二次函数平移+待定系数法
一、单选题
1．如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可．
【详解】
设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．

由题意可知，AM=OB，
∵
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵，，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．
2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为，
故选B
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
3．函数的图像可以由函数的图像通过如下平移得到（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向下平多1个单位
【答案】C
【分析】
根据顶点的平移规律：左加右减，上加下减确定．
【详解】
函数的图像可以由函数的图像通过右平移2个单位，再向上平移1个单位．
故选C
【点睛】
此题考查的是二次函数的平移，掌握二次函数平移的性质是解题的关键．
4．若坐标平面上二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】
利用平移抛物线形状不变，即a值不变，先确定a，再确定b,c的值即可．
【详解】
解：二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，
．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．
5．将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”解答即可．
【详解】
∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟练掌握抛物线“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，函数的图象经变换后得到函数的图象，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
【答案】A
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】
解：，
顶点坐标为(1，-8)，
，
顶点坐标为，
所以将向左平移2个单位长度
得到，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题关键．
7．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y=x2先向右平移5个单位长度，得：y=（x-5）2；
再向上平移3个单位长度，得：y=（x-5）2+3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8．已知抛物线，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线、关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．将抛物线向右平移2.5个单位
B．将抛物线向右平移3个单位
C．将抛物线向右平移4个单位
D．将抛物线向右平移5个单位
【答案】D
【分析】
找一个点，经过平移后这个点与直线对称．抛物线与轴的交点为，与点以对称轴对称的点是．若将抛物线平移到，就是要将点平移后以对称轴与点对称．则点平移后坐标应为．因此将抛物线向右平移5个单位．
【详解】
解：抛物线，
抛物线对称轴为．
抛物线与轴的交点为．
则与点以对称轴对称的点是．
若将抛物线平移到，并且，关于直线对称，就是要将点平移后以对称轴与点对称．
则点平移后坐标应为．
因此将抛物线向右平移5个单位．
故选：D．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9．平面直角坐标系中，抛物线经变换得到抛物线，则这个变换是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
【答案】B
【分析】
将变换前后的解析式分别变形为顶点式，根据顶点坐标分析即可．
【详解】
变换前抛物线为：，顶点坐标为：；
变换后抛物线为：，顶点坐标为：；
显然，由平移至，是向右平移2个单位，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的平移问题，熟练利用顶点坐标判断平移问题是解题关键．
10．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
【详解】
解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得

解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得

解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得

解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得

解得；

最大为，
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（ ）

A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2
【答案】C
【分析】
先根据抛物线的解析式可得点的坐标，从而可得长，再利用三角形的面积公式可得的长，从而可得点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式和一次函数的解析式，然后根据二次函数图象的平移规律、增减性求解即可得．
【详解】
解：对于抛物线，
当时，，解得或，
则，
的面积为3，
，即，解得，
，
将点代入抛物线解析式得：，解得，
则抛物线的解析式为，
将抛物线向左平移个单位所得抛物线为，
当时，随的增大而增大，
设直线的函数解析式，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式，
当直线与没有公共点时，则只需时，直线的函数值大于抛物线的函数值，
即，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
12．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，则下列结论正确的是（ ）

…




…

…

0
1
0
…
A．对称轴为直线
B．
C．
D．关于的一元二次方程有两个不相等的实数解
【答案】A
【分析】
利用待定系数法求得二次函数解析式，然后利用二次函数的性质逐个进行判断．
【详解】
解：由题意可得，将（-3，0）（-2，1）（-1，0）代入中
，解得
∴二次函数解析式为
对称轴为直线，故选项A符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
关于的一元二次方程为，即
，
∴方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质正确计算是解题关键．


二、填空题
13．将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为____．
【答案】y＝x2+2x＋3
【分析】
把y＝x2﹣2x＋3配方得，把顶点向左平移2个单位长度即可得所求抛物线的解析式．
【详解】
把y＝x2﹣2x＋3配方得，其顶点坐标为(1,2)，抛物线的顶点向左平移2个单位长度后为(-1,2)，所以所得抛物线的解析式为，即y＝x2+2x＋3
故答案为：y＝x2+2x＋3．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平移．
14．将y=-2(x-1)2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ___．
【答案】y=-2(x+1)2+3
【分析】
根据平移规律，可得答案．
【详解】
解：二次函数y=-2(x-1)2+8图象向左平移2个单位，再向下平移5个单位后，
所得图象的函数表达式是：y=-2(x-1+2)2+8-5，即y=-2(x+1)2+3，
故答案为：y=-2(x+1)2+3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
15．二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后图象的函数表达式为___________．
【答案】y=（x-3）2+4
【分析】
根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式即可．
【详解】
解：二次函数y=（x-1）2+1的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为：y=（x-1-2）2+1+3，即y=（x-3）2+4．
故答案是：y=（x-3）2+4．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了平移的规律，平移的规律是：左加右减，上加下减．
16．设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
【答案】0 2
【分析】
（1）直接将点代入计算即可
（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
【详解】
解：（1）将代入得：

故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：




∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点睛】
本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过两点．

（1）求b，c的值．
（2）连结，，若P是第一象限内抛物线上一点，直线把的面积分成相等的两部分．
①求直线的解析式．
②将该抛物线沿着射线的方向平移m个单位，使其顶点落在的内部（不包括边界），求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）将代入中，列方程组求解即可．
（2）直线把的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB中点，求出中点坐标求解即可．
（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与 平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.
【详解】
（1）将代入，得

解得：．
（2）①取的中点C，
∵
∴
又∵P是第一象限内抛物线上一点，且直线把的面积分成相等的两部分．
∴直线OP必过AB的中点C
∴直线OP的表达式为：
②由（1）可得抛物线的一般式为：，将一般式转化为顶点式如下：

∴顶点坐标为
设过抛物线的顶点，且与直线平行的直线解析式为：
将顶点代入，得，解得
∴
设，将，代入，得

， 解得
∴
联立： ，得：，
设直线与直线AB的交点坐标为点M，与x轴的交点坐标为N，则 , 抛物线顶点落在的内部，即顶点在点M，点N之间，如图：

∴,
∴
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．
18．如图，已知抛物线与轴交于点B和点C，与y轴交于点，且．点是对称轴左侧的抛物线上一点，过点作轴，交抛物线于点Q．
（1）若，求抛物线的解析式以及点Q的坐标；
（2）若点沿抛物线问上移动，使得对应的，求移动过程中点的纵坐标，的取值范围．

【答案】（1）抛物线的解析式为；点Q（）；（2）的取值范围是．
【分析】
（1）由，可得OA=3，由，可求，可求点C（-1，0），利用待定系数法求抛物线解析式，求出抛物线对称轴，点P与点Q关于x=1对称，可求，先求xQ=,再求函数值即可；
（2）由，可求，求出点P的横坐标x满足，求出当x=-4时的函数值与当x=时函数值即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴OA=3，
∵，
∴，
∵点C在x轴负半轴上，
∴点C（-1，0），
∵抛物线过点A与C，代入坐标得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为，
∵PQ=5，点P与点Q关于x=1对称，
，
∴xQ=1+,，
点Q（）；
（2）点沿抛物线问上移动，使得对应的，
点P与点Q关于x=1对称，
，
∴，
∴点P的横坐标x满足，
当x=-4时，
当x=时，
∴的取值范围是．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线对称轴，利用对称性求点Q坐标，利用图形平移确定函数值，中位待定系数法求抛物线解析式，抛物线对称轴，利用对称性求点Q坐标，利用图形平移确定函数值．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式的解集；
（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）坐标有或或
【分析】
(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；
(2)将不等式变形为,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；
(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．
【详解】
解：(1)当时，，解得，
当时，，
则点，点，
把，，，分别代入得
解得：，，，
∴该抛物线的解析式为．
(2)由不等式，
得，
由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，
则不等式的解集为；
(3)如图，作轴于点，交于点，

在中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设点，则点，
当点在直线上方时，
，
即，解得，
则，
∴点的坐标为：．
当点在直线下方时，
，
即解得，
∴，
∴或，
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．
20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．

【答案】（1）；；（2）m=1；
【分析】
（1）利用交点式写出抛物线解析式，再求出C点坐标，然后写出在y轴左侧的二次函数值的范围即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出O′（m，n），B′（4+m，n），把它们代入抛物线解析式得到，然后解方程组即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=（x-2）（x-4），
即y=x2-6x+8，
当x=0时，y=x2-6x+8=8，即C（0，8），
所以当x＜0时，y＞8；
（2）∵线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′，
∴O′（m，n），B′（4+m，n），

∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴，
解得，
即m的值为1，n的值为3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（，﹣），它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）．
（1）若AB＝5，交y轴于点C，点C在y轴负半轴上．
①求二次函数的解析式；
②若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．
（2）当-1≤x≤1时，函数值y有最小值为﹣a2，求a的值（其中a为二次函数的二次项系数）．
【答案】（1）①；②自变量x的取值范围为；（2）a的值为或．
【分析】
（1）①二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（，﹣），可确定二次函数的对称轴为，利用对称轴求出抛物线与x轴的交点A（-1，0），B（4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；
②设自变量x的值增加4时,的函数为y1，求出新增函数，利用两函数作差解不等式即可；
（2）设二次函数的解析式为，由-1≤x≤1，或分两种情况利用函数的增减性构造关于的一元二次方程，求出的值即可．
【详解】
解：（1）①二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（，﹣），
∴二次函数的对称轴为，
∵与x轴交于点A，B，AB＝5，
∴A、B两点关于对称轴为对称，，，
∴A（-1，0），B（4，0），
设解析式为，
∵过顶点（，﹣），
∴，
解得，
∴二次函数解析式为：，
②设自变量x的值增加4时,的函数为y1，
∴，
∵，
∴，
解得；
（2）设二次函数的解析式为，
当-1≤x≤1，
当，二次函数开口向上，
在二次函数对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=1时函数取最小值﹣a2，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
当，二次函数开口向下，
在二次函数对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时函数取最小值﹣a2，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用自变量增大函数值增大构造不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a的一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会列不等式与解不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a的一元二次方程和解方程是解题关键．
22．已知：二次函数的图象经过，两点．

（1）求二次函数的表达式．
（2）将原点向上平移个单位得到点，过点作轴交抛物线于点，（在的右侧），且，求的值．
【答案】（1）；（2）5
【分析】
（1）待定系数法求而出函数解析式即可
（2）利用A、B两点坐标求出抛物线对称轴为，和线段，由，求出线段，利用对称轴求出点C的横坐标，再求纵坐标即可．
【详解】
解：（1）把点，代入解析式：
，
∴，，
∴．
（2）∵对称轴为，，
∴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴点C（-2，m）
∵点C在抛物线上
∴．
∴的值为5．

【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线平移问题，利用抛物线的轴对称性，求平移后的C点坐标是解题关键．
23．如图，点P是直线位于第一象限上的一个动点，以P为顶点的抛物线经过原点，与x轴的另一个交点为点A，将该抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线恰好过点A，新抛物线与x轴的另一个交点为点B，顶点为．设原抛物线的顶点P的横坐标为m．

（1）当时，原抛物线解析式为________，新抛物线解析武为________；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）原抛物线的解析式为，新抛物线的解析式为；（2）．
【分析】
（1）先根据直线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法可求出原抛物线的解析式，由此可得出点的坐标，然后根据二次函数图象平移的性质、待定系数法即可得；
（2）设原抛物线的解析式为，将原点代入可得，从而可得点的坐标为，再根据可得点的坐标为，由此可得出新抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求解即可得．
【详解】
解：（1）对于直线，
当时，，即，
设原抛物线的解析式为，
将原点代入得：，解得，
则原抛物线的解析式为，即；
当时，，解得或，
则，
原抛物线沿射线方向平移，
原抛物线向右和向上移动的单位长度相同，
设原抛物线向右和向上各移动了个单位长度，则，
则可设新抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得或（舍去），
则新抛物线的解析式为，即；
（2）由题意得：顶点的坐标为，且，
设原抛物线的解析式为，
将原点代入得：，解得，
则原抛物线的解析式为，
原抛物线的对称轴为直线，
由二次函数的对称性可知，点的坐标为，
，
，
新抛物线的对称轴为直线，
新抛物线的顶点坐标为，
原抛物线沿射线方向平移，
新抛物线与原抛物线的开口方向和大小相同，
则设新抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得或（与矛盾，舍去），
故的值为．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法是解题关键．
24．已知二次函数的对称轴是直线，且经过点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）若点在该二次函数图象上，且点P到y轴的距离小于1，求n的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据对称轴和A点坐标，利用待定系数法求解；
（2）将点P坐标代入，得到，根据题意可得，利用二次函数的性质得到n的取值范围即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
，解得：，
∴．
（2）由题意得：，
∵P点到y轴距离小于1，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
25．已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
3
0
﹣1
0
m
……
（1）请写出关于该二次函数图象的相关信息：
抛物线解析式为　 　；抛物线开口向　 　（填“上”或“下”）；顶点坐标为　 　；m的值为　 　．
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
【答案】（1），上，，3；（2）3
【分析】
（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B，点A，点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到△ABC的面积．
【详解】
解：（1）由表格可知，x=1和x=3时的函数值相同，都是0，
∴对称轴为直线x==2，
∴当x=4和x=0时的函数值相等，则m=3，顶点为(2,-1)，
设抛物线解析式为，
把(0,3)代入得，3=4a-1，
则a=1，
∴抛物线解析式为，
即该二次函数图象的开口方向向上，
故答案为，上，(2,-1)，3；
（2）由题意可得，
点B的坐标为(1,0)，点A的坐标为(2,-1)，点C的坐标为(4,3)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
∴
解得，
∴直线AC的函数解析式为y=2x-5，
当y=0时，0=2x-5，
解得x=2.5，
则直线AC与x轴的交点为(2.5,0)，
故S△ABC==3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求一次函数解析式．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26．平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点．
（1）直接写出点坐标．
（2）当此函数图象经过点时，求此函数表达式，并写出函数随增大而增大时的取值范围．
（3）当时，若函数（为常数）图象最低点到直线的距离为3，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）或．
【分析】
（1）当时，求得对应的函数值就是点的纵坐标，由此即可得；
（2）将点代入函数的解析式可确定值，再求出函数的对称轴，结合抛物线的开口方向求解即可得；
（3）先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分、和三种情况，分别画出相应函数图象，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）当时，，
所以；
（2）将点代入，得，
解得，
所以，
抛物线的开口向上，其对称轴为，
当时，随的增大而增大；
（3）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，则对称轴在轴右侧，

当时，此函数图象的最低点就是顶点，
最低点到直线的距离为3，
，
解得或（不符题设，舍去）；
②如图，当时，则对称轴在轴左侧，

当时，此函数图象的最低点就是点，
最低点到直线的距离为3，
，
解得或（不符题设，舍去）；
③如图，当时，则对称轴为轴，直线为直线，

当时，此函数图象的最低点就是点，
则最低点到直线的距离为1（不符题意，舍去）；
综上，的值为或．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式，与坐标轴的交点，对称轴，函数的增减性，分类确定最值，熟练掌握待定系数法，灵活运用分类思想，准确求解一元二次方程是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点B．

（1）求m的值和抛物线的对称轴；
（2）过点C作轴交抛物线于点D，的延长线与抛物线交于点E，求点E的横坐标．
【答案】（1）m=2，直线x=2；（2）
【分析】
（1）先把点坐标代入中可得，然后利用对称轴方程求抛物线的对称轴；
（2）先确定，再利用抛物线的对称性确定，则可利用待定系数法求出直线的解析式为，然后解方程组得到点的横坐标．
【详解】
解：（1）把代入得，解得，
抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为直线；
（2）当时，，则，
轴，
点与点关于直线对称，
，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
直线的解析式为，
解方程组得或，
点的横坐标为．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
28．如图,已知点B（1,3）,C（1,0）,直线y＝x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空:A点坐标为（　 　,　 　）,D点坐标为（　 　,　 　）;
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C,D两点,求抛物线的解析式;
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在,此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在,请说明理由．
（提示:抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣,顶点坐标是（﹣,）

【答案】（1）A（﹣2,0），D（﹣2,3）；（2）；（3）存在,个
【分析】
（1）根据点B（1,3），可求出直线y＝x+k的解析式，进而可求出A点坐标，再根据将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,求出D点坐标；
（2）抛物线 经过C（1,0）,D（﹣2,3），两点代入解析式，解得b、c，即可求解；
（3）当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M,E重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM不会与x轴平行，设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2, +h）时，直线EM∥x轴，将点M代入直线y＝x+2，解得h．
【详解】
解:（1）∵直线y＝x+k经过点B, 点B的坐标为B（1,3），
代入,得:，解得:，
∴该函数解析式为:，
∵直线y＝x+k与x轴交于点A，
当时，解得:，
∴A点坐标为A（﹣2,0），
∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，
所以D点坐标为D（﹣2,3）；
（2）∵抛物线经过C（1,0），D（﹣2,3）代入，得：
，
解得: ，
∴所求抛物线解析式为: ；
（3）答：存在．
∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等．
∴EM不会与x轴平行，
当点M在抛物线对称轴的右侧时，
设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的抛物线的解析式为
∵y＝（x﹣1）2+h，
∴抛物线与y轴交点E（0, +h），
∵抛物线的对称轴为：x＝1，
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2, +h）时，直线EM∥x轴，
将（2, +h）代入y＝x+2得+h＝2+2，
解得：h＝．
∴抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴．

【点睛】
本题考查了二次函数综合题，平移等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数解析式的求解方法，此题步骤较为复杂，需谨慎细心．
29．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为．
①点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为秒，求运动时间为多少时，的面积最大，并求出最大面积；
②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①时，；②存在，点的坐标为或
【分析】
（1）将点A、B代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求出结果；
（2）①首先求出点C的坐标，然后求出BC的解析式，求出∠GCO=45°，然后用t表示HM和NC，表示出△NMC的面积即可求出结果；
②分两种情况讨论：第一种点P在直线BC下方，第二种点P在直线BC上方，然后求出BC中点坐标，进而求出BC的垂直平分线解析式，垂直平分线解析式与抛物线的交点即为点P．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴
解得
∴抛物线的表达式为：①；
（2）①过点M作MH⊥OA于点H，BC与y轴交于点G，
抛物线的表达式为：,
令，则

∴C(-1,0)，
∴OC=1，
设直线BC的解析式为y=kx+n，将点B(-4，-3)，C(-1，0)代入得

解得，
的解析式为：
∴G(0，1)，
∴OG=OC=1，
∴∠HCM=∠GCO=45°，
∵CM=2t，
∴HM=CMsin45°==t，
∵NC=AC-AN=4-t，
∴S△NMC=NCHM=(4-t)t=,
∵a=