初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数复习练习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数复习练习题，共15页。
专题2.4 确定二次函数解析式的六种考法
【北师大版】

【题型1 开放型】
【方法点拨】
此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．
【例1】（2021•昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式：　 　．
【解题思路】设抛物线y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x=-b2a=4，顶点到x轴的距离为2，即可得顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．
【解答过程】解：设抛物线y＝ax2+bx+c，
对称轴x=-b2a=4，
顶点到x轴的距离为2，
即顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：
16a+4b+c＝±2，
∵-b2a=4，
即：2b+c＝±2，
满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，2b+c＝2时
则a=2b=-16c=-34
设a＝2，2b+c＝﹣2时，
则a=2b=-16c=-30，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．答案不唯一．
【变式1-1】（2020秋•常德期末）已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式　 　．
【解题思路】根据“当x＜1时y随x增大而减小； 当x＞1时y随x增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可．
【解答过程】解：∵当x＜1时y随x增大而减小； 当x＞1时y随x增大而增大，
∴对称轴为x＝1，开口向上，
∴符合条件的二次函数可以为：y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
【变式1-2】（2020秋•西城区校级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：抛物线开口向下；
已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　 　．
【解题思路】根据已知条件知，此二次函数解析式形为y＝a（x﹣h）2，且a＜0，h≠0，据此可得．
【解答过程】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣（x﹣1）2，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）．
【变式1-3】（2020•西城区校级模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　 　．
【解题思路】利用二次函数的性质可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，二次项系数为1，然后利用顶点式写出满足条件一个二次函数表达式．
【解答过程】解：∵函数图象的顶点在x轴上，当x＜1时，y随x的增大而减小；
∴可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，
∵该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同，
∴二次项系数为1，
∴满足条件二次函数表达式可为y＝（x﹣1）2．
故答案为y＝（x﹣1）2．
【题型2 一般式】
【方法点拨】
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；
【例2】（2020秋•于都县期末）一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．
【解题思路】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
【解答过程】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
根据题意，得c=0a-b+c=-1a+b+c=9，
解得a=4b=5c=0，
∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x．
【变式2-1】（2019春•大连期末）已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．
【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得
a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7，
解得a=2b=-3c=5．
则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；
由y＝2x2﹣3x+5＝2（x-34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x=34，顶点坐标为（34，318）．
【变式2-2】（2020秋•埇桥区期末）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．

【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．
【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0）
∴AO＝1，OB＝4，
AB＝AO+OB＝1+4＝5，
∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数图象过A，C，B三点，
∴a-b+c=016a+4b+c=0c=5，
解得a=-54b=154c=5，
∴二次函数的表达式为y=-54x2+154x+5．
【变式2-3】（2020秋•荔城区校级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．

【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
∴点C的坐标为（5，4）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D，
∴4a-2b+c=025a+5b+c=4c=4，
解得a=-27b=107c=4．
故抛物线的解析式为y=-27x2+107x+4．
【题型3 顶点式】
【方法点拨】
若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.
【例3】（2020秋•潮南区期末）设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．
【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．
【解答过程】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2，
把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，
解得a=-19，
所以这个函数的关系式为y=-19（x+2）2+2．
【变式3-1】（2020秋•汉阳区校级月考）已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．
【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．
【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，
把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，
解得a＝﹣2．
所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．
【变式3-2】（2020•宁晋县模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
【解题思路】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y＝a（x﹣3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式．
【解答过程】解：∵F（2，2），G（4，2），
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴H（3，1）点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1，
把E（0，10）代入得9a+1＝10，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1．
故选：C．
【变式3-3】（2020秋•顺义区期末）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　）

A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
【解题思路】根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可．
【解答过程】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
【题型4 两根式】
【方法点拨】
已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．
【例4】（2020秋•任城区校级期中）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
【解题思路】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可．
【解答过程】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得
8＝a（2﹣1）（2+2），
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），
化简得，y＝2x2+2x﹣4．
故选：D．
【变式4-1】（2020秋•西城区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．
【解题思路】设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把（0，﹣6）代入求出a即可．
【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）
把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2，
所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1），
即y＝2x2﹣4x﹣6．
【变式4-2】（2021•长安区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；

【解题思路】由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；
【解答过程】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．
∴B（2，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；
【变式4-3】（2020春•漳州月考）已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．
【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．
【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5，
∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a=34，
所以此时抛物线的解析式为y=34（x﹣1）（x﹣4）=34x2-154x+3；
当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a=-34，
所以此时抛物线的解析式为y=-34（x﹣1）（x﹣4）=-34x2+154x﹣3，
所以该二次函数的解析式为y=34x2-154x+3或y=-34x2+154x﹣3．
【题型5 平移变换型】
【方法点拨】
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．
【例5】（2020秋•湖里区校级月考）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．
【解题思路】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答过程】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．
【变式5-1】（2020秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．
【解题思路】（1）根据平移规律和待定系数法确定函数关系式；
（2）将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标是15．
【解答过程】解：（1）∵平移后，设新抛物线的表达式为y＝2（x﹣m）2﹣3，
∴新抛物线经过点（1，5），
∴将x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，
∴（1﹣m）2＝4，
∴1﹣m＝±2，
∴m1＝﹣1，m2＝3．
∵m＞0，
∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．
∴新抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣3．
（2）∵与y轴的交点坐标，
∴设交点为（0，y），
∴将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，
∴与y轴的交点坐标为（0，15）．
【变式5-2】已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．
【解题思路】先确定出抛物线经过点（1，0），再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出原抛物线的顶点坐标，然后设出抛物线顶点式形式，再把点的坐标代入求出a的值，即可得解．
【解答过程】解：∵a+b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∵向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），
∴原抛物线的顶点坐标为（3，1），
设抛物线顶点式形式y＝a（x﹣3）2+1，
则a（1﹣3）2+1＝0，
解得a=-14，
所以，原抛物线的解析式为y=-14（x﹣3）2+1．
【变式5-3】抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式．
【解题思路】先确定A点坐标为（1，0），M点坐标为（﹣2，﹣3），顶点P的坐标为（﹣1，﹣4），作MH⊥x轴于H，可得到△AMH为等腰直角三角形，则△AOD为等腰直角三角形，于是有D点坐标为（0，﹣1），AD=2，所以点A沿射线AD方向平移2个单位后与点D重合，即点A平移到点D，这样抛物线沿射线AD方向平移2个单位相当于先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，然后求出点P平移后得到的点的坐标，再根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答过程】解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A点坐标为（1，0），
把x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3得y＝4﹣4﹣3＝﹣3，则M点坐标为（﹣2，﹣3），
y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则P点坐标为（﹣1，﹣4），
作MH⊥x轴于H，
∵AH＝1﹣（﹣2）＝3，MH＝3，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴OA＝OD＝1，
∴D点坐标为（0，﹣1），AD=2，
∴点A沿射线AD方向平移2个单位后与点D重合，即点A平移到点D，
∴抛物线沿射线AD方向平移2个单位相当于先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
∵点P（﹣1，﹣4）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，﹣5），
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣5＝y＝x2+4x﹣1．







【题型6 对称变换型】
【方法点拨】
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
【例6】已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．
（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
【解题思路】（1）直接根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出答案；
（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于原点对称的特点得出答案．
【解答过程】解：（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，得﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，即y＝2x2+8x+7
所以二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．
【变式6-1】已知二次函数y=12x2﹣3x+1
（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．
（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．
（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．
【解题思路】（1）先利用配方法将二次函数整理为用顶点式表示的形式，再根据平移的规律即可得出新抛物线的解析式；
（2）根据图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，即可得出图象的函数解析式；
（3）根据图象绕x轴翻折后，其顶点与原顶点关于x轴对称，得出所求抛物线的顶点坐标，再由图象翻折后开口向下，得出二次项系数a的值，即可求出所求的解析式．
【解答过程】解：（1）∵y=12x2﹣3x+1=12（x2﹣6x）+1=12（x﹣3）2-72，
∴把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位得到的函数的解析式为：y=12（x﹣3﹣1）2-72-3，即y=12（x﹣4）2-132=12x2﹣4x+32；
（2）因为图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，
所以所得图象的函数解析式为y=-12（x﹣3）2-72=-12x2+3x﹣8；
（3）∵y=12x2﹣3x+1=12（x﹣3）2-72的图象绕x轴翻折后，
∴顶点为（3，72），
∵图象翻折后开口向下，
∴所求解析式为y=-12（x﹣3）2+72=-12x2+3x﹣1．
【变式6-2】已知抛物线C1：y=59(x+2)2-5的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．

【解题思路】先求出点P的坐标，再令y＝0，解方程求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M的坐标，然后根据对称性利用顶点式形式写出C3的解析式即可．
【解答过程】解：点P的坐标为（﹣2，﹣5），
令y＝0，则59（x+2）2﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣5，
所以，点B的坐标为（1，0），
∵点P、M关于点B对称，
∴点M的坐标为（4，5），
∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3，
∴抛物线C3的解析式为y=-59（x﹣4）2+5．
【变式6-3】将抛物线C1：y=18（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．
【解题思路】先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．
【解答过程】解：∵y=18（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6），
∴抛物线C2的解析式为y=-18（x﹣2t﹣1）2+6，
∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，
∴-18（﹣1﹣2t﹣1）2+6＝﹣2，
解得t1＝3，t2＝﹣5，
∴抛物线C2的解析式为y=-18（x﹣7）2+6或y=-18（x+9）2+6．