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北师大版九年级下册1 二次函数课时练习
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这是一份北师大版九年级下册1 二次函数课时练习，共36页。
专题2.10 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！
1．（2021•深圳模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＞0，即可求解；
②对称轴为直线x＝﹣1，则2a﹣b＝0，即可求解；
③x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c<0，即3a<﹣c，即可求解；
④根据点到对称轴的距离，即可求解．
【解答过程】解：①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＞0，故abc＞0，故错误；
②对称轴为直线x＝﹣1，b＝2a，即2a﹣b＝0故正确；
③x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c<0，即3a<﹣c，故正确；
④x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，为最大值，故a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣bm≥am2+b，故错误；
正确的结论的个数是2个．
故选：C．
2．（2021•宁波模拟）小甬从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面四条信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】观察图象易得a＞0，-b2a=13，所以b＜0，2a+3b＝0，因此abc＞0，由此可以判定①③是正确的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣2b+c＞0②是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0④是正确的．
【解答过程】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵-b2a=13，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴①是正确的；
对称轴x=-b2a=13，
∴3b＝﹣2a，
∴2a+3b＝0，
∴②是正确的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c＞0，
∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∴a﹣2b+c＞0
∴③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴c﹣4b＞0，故④正确．
故选：D．
3．（2021•河北区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b＞a；
②若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；
③3|a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断①；根据根与系数的关系即可判断②；根据对称轴和当x＝1时，函数值的符号即可判断③．
【解答过程】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵-b2a＞0，
∴b＞0，
∴b＞a，故①正确；
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2=-ba，
∴m+n＜-ba，故②正确；
∵-b2a＞1，a＜0，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，c＜0，b＞0，
∴﹣3a＝|3a|，﹣c＝|c|，2b＝|2b|，
∴3|a|+|c|＜2|b|，故③正确，
故选：D．
4．（2021•汝阳县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【解题思路】由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x=-b2a=-1，即b＝2a；①当x＝1时，y＜0；②当x＝﹣1时，y＞1；③abc＝2a2＞0；④当x＝﹣3时，y＜0；⑤c﹣a＝1﹣a＞1．
【解答过程】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
5．（2021•宣城模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①3a+2b+c＜0；
②3a+c＜b2﹣4ac；
③方程2ax2+2bx+2c﹣5＝0没有实数根；
④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】①根据当x＝1时y＜0、对称轴x=-b2a及a＜0可判断；
②结合①及抛物线与x轴交点情况可判断；
③由2ax2+2bx+2c﹣5＝0可得ax2+bx+c=52，根据抛物线与直线y=52交点情况判断；
④由m（am+b）+b＜a得a﹣b+c＞am2+bm+c，根据函数最值可判断．
【解答过程】解：由图象可知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∵对称轴x=-b2a=-1，a＜0，
∴b＝2a＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，
∴3a+2b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴3a+c＜0＜b2﹣4ac，故②正确；
∵2ax2+2bx+2c﹣5＝0，
∴ax2+bx+c=52，
结合图象可知，不能确定抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=52的交点情况，
故③不正确；
∵当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，且当x＝﹣1时，函数y取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c，
∴m（am+b）+b＜a，故④正确；
综上，正确结论有①②④共3个，
故选：B．
6．（2021•龙城区二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ）
①对称轴为直线x＝﹣1；
②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；
④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．
【解答过程】解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；
∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），
∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，
即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．
故选：A．
7．（2021•谷城县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②当m≠1时，a+b＞am2+bm；③a﹣b+c＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答过程】解：由图象可得，
该函数的对称轴是直线x＝1，则-b2a=1，得2a+b＝0，故①正确；
该函数当x＝1时取得最大值，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，故②正确；
当x＝3时，y＜0，则当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故③错误；
若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1×2＝2，故④正确；
故选：C．
8．（2021•长沙模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，其中正确的有（ ）
①2a+b＞0；
②a+b≠m（am+b）（m≠1的实数）；
③a+c＞2；
④﹣1＜x＜0在中存在一个实数x0，使得x0=-a+ba．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答过程】解：①由抛物线的对称轴可知：-b2a＜1，
由抛物线的图象可知：a＞0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故①正确；
②当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
当y＝ax2+bx+c＝0，
∴x＝1或x＝m，
∴当m≠1时，a+b＝am2+bm，故②错误；
③由图象可知：x＝﹣1，y＝2，
即a﹣b+c＝2，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣1，
∴c＝1﹣a
∴a+c＝a+1﹣a＝1＜2，故③错误；
④由于a+b＝﹣c＝a﹣1，
∵c＜0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴0＜1a＜1，
∵x0=-a-1a=-1+1a，
∴﹣1＜﹣1+1a＜0
∴﹣1＜x0＜0，故④正确；
故选：B．
9．（2021•大石桥市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【解题思路】由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x=-b2a=-1，即b＝2a；①当x＝1时，y＜0；②当x＝﹣1时，y＞1；③abc＝2a2＞0；④当x＝﹣3时，y＜0；⑤c﹣a＝1﹣a＞1．
【解答过程】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
10．（2021•西安模拟）如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b＝0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＝y2．
其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．
【解答过程】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的图象知：当x＝﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴-b2a=2，b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故④正确；
∵对称轴方程为 x＝2，
∴（﹣3，y1）可得（7，y1）
∵（6，y2）在抛物线上，
∴由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故⑤错误；
综上所述①③④正确．
故选：B．
11．（2021秋•北碚区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）的函数图象如图，则以下结论：
①abc＜0；
②4c﹣6a＞0；
③由ax12+bx1＝ax22+bx2（x1≠x2），可得x1+x2＝3；
④a（x02+2）2+b（x02+2）＜a（x02+3）2+b（x02+3）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据二次函数的图象开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点即可判断①；根据对称轴和交点即可判断②，根据二次函数的性质即可判断③④．
【解答过程】解：由函数图象，可知函数开口向下，则a＜0，顶点在y轴右侧，则b＞0，图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵对称轴为直线x=32，抛物线与x轴的一个交点为（52，0），
∴-b2a=32，另一个交点为（12，0）
∴b＝﹣3a，14a+12b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a﹣6a+4c＝0，
∴4c﹣6a＝﹣a＞0，故②正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2（x1≠x2），
∴ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c（x1≠x2），即y1＝y2，
∴抛物线的对称轴为直线x=x1+x22=32，
∴x1+x2＝3，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=32，
∴当x＞32时，y随x的增大而减小，
∵32＜x02+2＜x02+3，
∴a（x02+2）2+b（x02+2）＞a（x02+3）2+b（x02+3）．故④错误；
故正确的结论有②③2个，
故选：C．
12．（2021•滨海新区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-13，有下列结论：①abc＞0； ②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解题思路】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．
【解答过程】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
故abc＞0，因此①正确，
对称轴为x=-13，即-b2a=-13，即2a＝3b，也就是a=32b，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即32b﹣b+c＞0，因此有b+2c＞0，所以②正确，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1）
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2）
（1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0，
又2a＝3b，则4a＝6b，
∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0，
因此③正确，
故选：A．
13．（2021秋•竹溪县校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜23，其中正确结论的个数是（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤
【解题思路】令x＝1，代入抛物线判断出①正确；根据抛物线与x轴的交点判断出②正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣1列式求解即可判断③错误；令x＝﹣2，代入抛物线即可判断出④错误，根据与y轴的交点判断出c＝1，然后求出⑤正确．
【解答过程】解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，故③错误；
由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；
当x＝0时，y＝c＝1，
∵a+b+c＜0，b＝2a，
∴3a+1＜0，
∴a＜-13
∴a+c＜23，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是①②⑤．
故选：B．
14．（2021•荣昌区模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，过点（x1，0），﹣3＜x1＜﹣2，对称轴为直线x＝﹣1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④3b+2c＞0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝﹣1计算2a+b的值；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为x=-b2a=-1，得2a＝b，
∴a、b同号，即b＜0，
∴abc＞0；
故本选项正确；
②∵对称轴为x=-b2a=-1，得2a＝b，
∴2a﹣b＝0；
故本选项错误；
③从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故本选项正确；
④∵﹣3＜x1＜﹣2，
∴根据二次函数图象的对称性，知当x＝1时，y＜0；
又由①知，2a＝b，
∴a+b+c＜0；
∴12b+b+c＜0，
即3b+2c＜0；
故本选项错误．
综上所述，①③共有2个正确的．
故选：B．
15．（2021•南开区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②n＝c﹣a；③3a+b＞0；④﹣1＜a＜-23．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解题思路】由抛物线与x轴的交于点A（﹣1，0）且对称轴为x＝1，知函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），结合图象可判断①；由对称轴为x=-b2a=1得b＝﹣2a，将其代入n＝a+b+c可判断②；由开口方向知a＜0，将b＝﹣2a代入3a+b即可判断③；由图象过（﹣1，0）知a﹣b+c＝0，将b＝﹣2a代入可得c＝﹣3a，结合抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）得2＜c＜3，即2＜﹣3a＜3，从而判断④．
【解答过程】解：∵函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
则函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＞3时，y＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＝a﹣2a+c，即n＝c﹣a，故②正确；
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故③错误；
∵函数图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点），
∴2＜c＜3，即2＜﹣3a＜3，
解得：﹣1＜a＜-23，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．
16．（2021•仙桃校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；④(ba)2-4ca＜16，其中正确的序号是 ②③④ ．
【解题思路】根据函数的开口方向以及对称轴的位置、与y轴的交点即可判断①，根据对称轴得出4a+b＞0，x＝1时，a+b+c＜0，即可得出3a﹣c＞0，即可判断②；根据根与系数的关系即可判断③④．
【解答过程】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0．
∴abc＜0．故①错误；
∵对称轴x=-b2a＜2，又a＞0，则﹣b＜4a，则4a+b＞0，
当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＜0，
∴3a﹣c＞0，故②正确；
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2=-ba，
∴m+n＜-ba，故③正确．
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，
∴(ba)2-4ca=（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2，
∵|x1﹣x2|＜4，
∴(ba)2-4ca＜16，故④正确；
故答案是：②③④．
17．（2021秋•平阴县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am+b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 ③④⑤ （只填序号）．
【解题思路】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点有两个，
∴b2﹣4ac＞0，②错误；
③∵x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
由图象可知：9a﹣3b+c＜0，
∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值，
∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），
∴m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数），
∴m为任意实数，则m（am+b）+b≤a，所以④正确；
⑤∵对称轴x＝﹣1，
∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴结论⑤正确．
综合以上可得：③④⑤．
18．（2021•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y最大值=43c；⑤a+4b＝3c中正确的有 ①③④ （填写正确的序号）
【解题思路】①由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴为x＝1，利用对称性得到另一个交点的坐标，可得出ax2+bx+c＝0的两个解为﹣1，3，判断选项①；
②由抛物线开口向下得到a小于0，对称轴在y轴右侧，得到b大于0，与y轴交点在正半轴得到c大于0，进而得到abc小于0，判断选项②；
③根据对称轴x＝1和过（﹣1，0），代入可得：b＝﹣2a，c＝b﹣a，判断选项③；
④将a=-13c，b＝﹣2a代入顶点坐标的纵坐标y=4ac-b24a中，判断选项④；
⑤将a=-13c，b＝﹣2a代入a+4b中计算，判断选项⑤．
【解答过程】解：①∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1，3，
选项①正确；
②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
选项②错误；
③由对称轴是：x＝1=-b2a，得b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
选项③正确；
④由a﹣b+c＝0和b＝﹣2a得：a=-13c，
∴y最大值=4ac-b24a=c-b24a=c-4a24a=c﹣（-13c）=4c3，
选项④正确；
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×(-13c)=7c3，
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
19．（2021•东西湖区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是 ①② ．
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）判断④．
【解答过程】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
∵-b2a＜1，
∴b＜﹣2a，
∴②a＜b＜﹣2a正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：4ac-b24a＞2，
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，
由题意知，a+b+c＝2，（1）
a﹣b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，
则a＜-b-23．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜﹣1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．
20．（2021秋•江北区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=-12．下列结论中，①abc＞0；②a+b＝0；③2b+c＞0；④4a+c＜2b；⑤ac-14b2≤a，正确的是 ④ ．
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴x=-b2a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
故②错误；
∵对称轴x=-b2a=-12，
∴2b＝2a，
∴a＝b，
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故③错误；
∵-2+12=-12，
∵当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，
故④正确；
∵图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，
∴ac-14b2＜0，
又∵a＞0，
∴ac-14b2＜a，
故⑤错误．
故答案为：④．
21．（2021秋•岳麓区校级月考）已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中错误的有 ①②③ ．（填序号）①abc＜0； ②a﹣b+c＜0；③a=-1b； ④8a+c＞0．
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：∵函数的对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∵图象交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；
③∵函数的对称轴为x=-b2a=1，
∴a=-12b，故③错误；
④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正确；
故答案为①②③．
22．（2021•三水区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确有 ①②⑤ ．
【解题思路】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答过程】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x=-b2a=1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故答案为①②⑤．
23．（2021•会昌县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 3 个．
【解题思路】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解答过程】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
故答案为：3．
24．（2021•鼎城区四模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的是 ③④ （填序号）．
【解题思路】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答过程】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故答案为③④．
25．（2021•黄埔区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（12，0）．有下列结论：①abc＞0；②25a﹣10b+4c＝0；③a﹣2b+4c＝0；④a﹣b≥m（am﹣b）；⑤3b+2c＞0；其中所有正确的结论是 ①②④ （填写正确结论的序号）．
【解题思路】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
【解答过程】解：①由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（12，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-52，0），
当x=-52时，y＝0，即a（-52）2-52b+c＝0，
整理得：25a﹣10b+4c＝0，故②正确；
③直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以-b2a=-1，可得b＝2a，
a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，
即a﹣2b+4c＞0，故③错误；
④∵x＝﹣1时，函数值最大，
∴a﹣b+c≥m2a﹣mb+c，
∴a﹣b≥m（am﹣b），所以④正确；
⑤∵b＝2a，a+b+c＜0，
∴12b+b+c＝0，
即3b+2c＜0，故⑤错误；
故答案是：①②④．
26．（2021•金牛区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：
①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，
其中正确的结论有 ①⑤ ．
【解题思路】首先根据抛物线的开口方向向下可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，1＜x1＜2，x2＝﹣2，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=-b2a＞-1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断，即可得到正确的选项．
【解答过程】解：①由图知：抛物线的开口向下，则a＜0．
对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则b＜0
∵﹣2+x1=-ba，1＜x1＜2，
∴0＜ba＜1，
∴b＞a．
故①正确；
②∵抛物线交x轴与点（﹣2，0）
∴4a﹣2b+c＝0
∵c＞2
∴4a﹣2b＝﹣c＜﹣2
即2a﹣b＜﹣1．
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0
∵b＞a，
∴2b＞2a，
∴4a﹣2b＜2a，
∴4a﹣2b+c＜2a+c，即0＜2a+c，
∴2a+c＞0，
故③错误；
⑤如图，过顶点C作CD⊥AB于点D．
则k=-CDBD．
AD和BD的长度都在1.5和2之间，也就是说1.5＜BD＜2，又因为CD＞2，
所以CD除以BD＞1，所以k＜﹣1
∴k＜﹣1，
故⑤正确；
④∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＞2，
∴a+b＞﹣2．
又由⑤知，k＜﹣1，
∴k与a+b的大小无法判断，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①⑤．
故答案是：①⑤．
27．（2021秋•新罗区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（13，y1），B（32，y2）在该函数图象上，则y1＞y2．
其中正确的结论是 ②④⑤ （填入正确结论的序号）．
【解题思路】根据二次函数的图象及其性质即可求出答案．
【解答过程】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
对称轴：x=-b2a＞0，
∴b＞0
∴abc＜0，故①错误；
②由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故②正确；
③由于对称轴为x＝1，
∴（﹣1，0）与（3，0）关于x＝1对称，
令x＝2时，
∴y＝4a+2b+c＞0，故③错误；
④令x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c＜0，
∵-b2a=1，
∴a=-b2，
∴-b2-b+c＜0，
∴2c＜3b，故④正确；
⑤由于x＝1，y＝a+b+c，a＜0
∴该二次函数的最大值为a+b+c，
当m≠1时，
∴y＝am2+bm+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞am2+bm，
即a+b＞m（am+b），故⑤正确；
⑥（13，y1）与（53，y1）关于x＝1对称，
∵53＞32，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＞1上，y随着x的增大而减小，
∴y1＜y2，故⑥错误；
故答案为：②④⑤
28．（2021秋•资中县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④13＜a＜23；⑤b＞c．其中正确结论有 ①③④⑤ （填写所有正确结论的序号）．
【解题思路】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；利用4ac-b24a＜-1，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答过程】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：4ac-b24a＜-1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴23＞a＞13；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
29．（2021秋•红旗区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③-23＜a＜-13；④43＜n＜83中，
正确的是 ①③④ ．
【解题思路】①由抛物线的对称轴为直线x＝1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b＝﹣2a，将其代入3a+b，并判定其符号；
③根据两根之积ca=-3，得到a=-c3，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n＝a+b+c=43c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．
【解答过程】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=-b2a=1
∴b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴ca=-3，则a=-c3．
∵抛物线与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不包含端点），
∴1＜c＜2
∴-23＜-c3＜-13，即-23＜a＜-13．
故③正确；
④根据题意知，a=-c3，-b2a=1，
∴b＝﹣2a=2c3
n＝a+b+c=43c
∵1＜c＜2，
∴43＜4c3＜83，即43＜n＜83．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．
30．（2021•金牛区校级模拟）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC∥x轴，AB＝1，BC＝2，点B的坐标为（2，1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），且与x轴的两个交点分别是点M（x1，0）、N（x2、0），其中﹣2≤x1≤﹣1，下列说法：①abc＜0；②2a+b≤0；③当k＜1时，方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根；④a的取值范围是-29≤a≤-136；其中正确的是 ①③④ ．
【解题思路】由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号．由对称轴x=-b2a＞1，得到2a+b＞0，由抛物线与直线y＝k的交点情况得出方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根，顶点在矩形ABCD内部（包括边界），当顶点与A点重合，可以知道顶点坐标为（2，2）；当顶点与C点重合，顶点坐标为（3，1），根据与x轴的两个交点分别是点M（x1，0）、N（x2、0），其中﹣2≤x1≤﹣1，列出不等式组，解不等式组可求a的取值，然后由此可判断a的取值范围．
【解答过程】解：观察图形发现，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标在第一象限，
∴-b2a＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵点B的坐标为（2，1），BC＝2，
∴C（4，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），
∴x=-b2a＞2，
∴-b2a＞1，
∵a＜0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故②错误；
由题意可知，抛物线与直线y＝k（k＜1）有两个交点，
∴当k＜1时，方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根；故③正确；
∵顶点在矩形ABCD内部（包括边界），
当顶点与A点重合，顶点坐标为（2，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣2）2+2，
由a(-2-2)2+2≤0a(-1-2)2+2≥0，解得-29≤a≤-18；
当顶点与C点重合，顶点坐标为（4，1），则抛物线解析式y＝a（x﹣4）2+1，
由a(-2-4)2+1≤0a(-1-4)2+1≥0，解得-125≤a≤-136；
∵顶点可以在矩形内部，
∴-29≤a≤-136；故④正确；
故答案为①③④．
专题2.10 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！
1．（2021•深圳模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＞0，即可求解；
②对称轴为直线x＝﹣1，则2a﹣b＝0，即可求解；
③x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c<0，即3a<﹣c，即可求解；
④根据点到对称轴的距离，即可求解．
【解答过程】解：①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＞0，故abc＞0，故错误；
②对称轴为直线x＝﹣1，b＝2a，即2a﹣b＝0故正确；
③x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c<0，即3a<﹣c，故正确；
④x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，为最大值，故a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣bm≥am2+b，故错误；
正确的结论的个数是2个．
故选：C．
2．（2021•宁波模拟）小甬从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面四条信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】观察图象易得a＞0，-b2a=13，所以b＜0，2a+3b＝0，因此abc＞0，由此可以判定①③是正确的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣2b+c＞0②是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0④是正确的．
【解答过程】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵-b2a=13，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴①是正确的；
对称轴x=-b2a=13，
∴3b＝﹣2a，
∴2a+3b＝0，
∴②是正确的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c＞0，
∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∴a﹣2b+c＞0
∴③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴c﹣4b＞0，故④正确．
故选：D．
3．（2021•河北区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b＞a；
②若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；
③3|a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断①；根据根与系数的关系即可判断②；根据对称轴和当x＝1时，函数值的符号即可判断③．
【解答过程】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵-b2a＞0，
∴b＞0，
∴b＞a，故①正确；
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2=-ba，
∴m+n＜-ba，故②正确；
∵-b2a＞1，a＜0，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，c＜0，b＞0，
∴﹣3a＝|3a|，﹣c＝|c|，2b＝|2b|，
∴3|a|+|c|＜2|b|，故③正确，
故选：D．
4．（2021•汝阳县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【解题思路】由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x=-b2a=-1，即b＝2a；①当x＝1时，y＜0；②当x＝﹣1时，y＞1；③abc＝2a2＞0；④当x＝﹣3时，y＜0；⑤c﹣a＝1﹣a＞1．
【解答过程】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
5．（2021•宣城模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①3a+2b+c＜0；
②3a+c＜b2﹣4ac；
③方程2ax2+2bx+2c﹣5＝0没有实数根；
④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】①根据当x＝1时y＜0、对称轴x=-b2a及a＜0可判断；
②结合①及抛物线与x轴交点情况可判断；
③由2ax2+2bx+2c﹣5＝0可得ax2+bx+c=52，根据抛物线与直线y=52交点情况判断；
④由m（am+b）+b＜a得a﹣b+c＞am2+bm+c，根据函数最值可判断．
【解答过程】解：由图象可知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∵对称轴x=-b2a=-1，a＜0，
∴b＝2a＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，
∴3a+2b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴3a+c＜0＜b2﹣4ac，故②正确；
∵2ax2+2bx+2c﹣5＝0，
∴ax2+bx+c=52，
结合图象可知，不能确定抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=52的交点情况，
故③不正确；
∵当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，且当x＝﹣1时，函数y取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c，
∴m（am+b）+b＜a，故④正确；
综上，正确结论有①②④共3个，
故选：B．
6．（2021•龙城区二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ）
①对称轴为直线x＝﹣1；
②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；
④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．
【解答过程】解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；
∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），
∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，
即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．
故选：A．
7．（2021•谷城县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②当m≠1时，a+b＞am2+bm；③a﹣b+c＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答过程】解：由图象可得，
该函数的对称轴是直线x＝1，则-b2a=1，得2a+b＝0，故①正确；
该函数当x＝1时取得最大值，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，故②正确；
当x＝3时，y＜0，则当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故③错误；
若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1×2＝2，故④正确；
故选：C．
8．（2021•长沙模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，其中正确的有（ ）
①2a+b＞0；
②a+b≠m（am+b）（m≠1的实数）；
③a+c＞2；
④﹣1＜x＜0在中存在一个实数x0，使得x0=-a+ba．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答过程】解：①由抛物线的对称轴可知：-b2a＜1，
由抛物线的图象可知：a＞0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故①正确；
②当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
当y＝ax2+bx+c＝0，
∴x＝1或x＝m，
∴当m≠1时，a+b＝am2+bm，故②错误；
③由图象可知：x＝﹣1，y＝2，
即a﹣b+c＝2，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣1，
∴c＝1﹣a
∴a+c＝a+1﹣a＝1＜2，故③错误；
④由于a+b＝﹣c＝a﹣1，
∵c＜0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴0＜1a＜1，
∵x0=-a-1a=-1+1a，
∴﹣1＜﹣1+1a＜0
∴﹣1＜x0＜0，故④正确；
故选：B．
9．（2021•大石桥市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【解题思路】由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x=-b2a=-1，即b＝2a；①当x＝1时，y＜0；②当x＝﹣1时，y＞1；③abc＝2a2＞0；④当x＝﹣3时，y＜0；⑤c﹣a＝1﹣a＞1．
【解答过程】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
10．（2021•西安模拟）如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b＝0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＝y2．
其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．
【解答过程】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的图象知：当x＝﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴-b2a=2，b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故④正确；
∵对称轴方程为 x＝2，
∴（﹣3，y1）可得（7，y1）
∵（6，y2）在抛物线上，
∴由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故⑤错误；
综上所述①③④正确．
故选：B．
11．（2021秋•北碚区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）的函数图象如图，则以下结论：
①abc＜0；
②4c﹣6a＞0；
③由ax12+bx1＝ax22+bx2（x1≠x2），可得x1+x2＝3；
④a（x02+2）2+b（x02+2）＜a（x02+3）2+b（x02+3）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据二次函数的图象开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点即可判断①；根据对称轴和交点即可判断②，根据二次函数的性质即可判断③④．
【解答过程】解：由函数图象，可知函数开口向下，则a＜0，顶点在y轴右侧，则b＞0，图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵对称轴为直线x=32，抛物线与x轴的一个交点为（52，0），
∴-b2a=32，另一个交点为（12，0）
∴b＝﹣3a，14a+12b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a﹣6a+4c＝0，
∴4c﹣6a＝﹣a＞0，故②正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2（x1≠x2），
∴ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c（x1≠x2），即y1＝y2，
∴抛物线的对称轴为直线x=x1+x22=32，
∴x1+x2＝3，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=32，
∴当x＞32时，y随x的增大而减小，
∵32＜x02+2＜x02+3，
∴a（x02+2）2+b（x02+2）＞a（x02+3）2+b（x02+3）．故④错误；
故正确的结论有②③2个，
故选：C．
12．（2021•滨海新区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-13，有下列结论：①abc＞0； ②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解题思路】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．
【解答过程】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
故abc＞0，因此①正确，
对称轴为x=-13，即-b2a=-13，即2a＝3b，也就是a=32b，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即32b﹣b+c＞0，因此有b+2c＞0，所以②正确，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1）
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2）
（1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0，
又2a＝3b，则4a＝6b，
∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0，
因此③正确，
故选：A．
13．（2021秋•竹溪县校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜23，其中正确结论的个数是（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤
【解题思路】令x＝1，代入抛物线判断出①正确；根据抛物线与x轴的交点判断出②正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣1列式求解即可判断③错误；令x＝﹣2，代入抛物线即可判断出④错误，根据与y轴的交点判断出c＝1，然后求出⑤正确．
【解答过程】解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，故③错误；
由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；
当x＝0时，y＝c＝1，
∵a+b+c＜0，b＝2a，
∴3a+1＜0，
∴a＜-13
∴a+c＜23，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是①②⑤．
故选：B．
14．（2021•荣昌区模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，过点（x1，0），﹣3＜x1＜﹣2，对称轴为直线x＝﹣1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④3b+2c＞0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝﹣1计算2a+b的值；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为x=-b2a=-1，得2a＝b，
∴a、b同号，即b＜0，
∴abc＞0；
故本选项正确；
②∵对称轴为x=-b2a=-1，得2a＝b，
∴2a﹣b＝0；
故本选项错误；
③从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故本选项正确；
④∵﹣3＜x1＜﹣2，
∴根据二次函数图象的对称性，知当x＝1时，y＜0；
又由①知，2a＝b，
∴a+b+c＜0；
∴12b+b+c＜0，
即3b+2c＜0；
故本选项错误．
综上所述，①③共有2个正确的．
故选：B．
15．（2021•南开区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②n＝c﹣a；③3a+b＞0；④﹣1＜a＜-23．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解题思路】由抛物线与x轴的交于点A（﹣1，0）且对称轴为x＝1，知函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），结合图象可判断①；由对称轴为x=-b2a=1得b＝﹣2a，将其代入n＝a+b+c可判断②；由开口方向知a＜0，将b＝﹣2a代入3a+b即可判断③；由图象过（﹣1，0）知a﹣b+c＝0，将b＝﹣2a代入可得c＝﹣3a，结合抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）得2＜c＜3，即2＜﹣3a＜3，从而判断④．
【解答过程】解：∵函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
则函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＞3时，y＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＝a﹣2a+c，即n＝c﹣a，故②正确；
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故③错误；
∵函数图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点），
∴2＜c＜3，即2＜﹣3a＜3，
解得：﹣1＜a＜-23，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．
16．（2021•仙桃校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；④(ba)2-4ca＜16，其中正确的序号是 ②③④ ．
【解题思路】根据函数的开口方向以及对称轴的位置、与y轴的交点即可判断①，根据对称轴得出4a+b＞0，x＝1时，a+b+c＜0，即可得出3a﹣c＞0，即可判断②；根据根与系数的关系即可判断③④．
【解答过程】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0．
∴abc＜0．故①错误；
∵对称轴x=-b2a＜2，又a＞0，则﹣b＜4a，则4a+b＞0，
当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＜0，
∴3a﹣c＞0，故②正确；
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2=-ba，
∴m+n＜-ba，故③正确．
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，
∴(ba)2-4ca=（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2，
∵|x1﹣x2|＜4，
∴(ba)2-4ca＜16，故④正确；
故答案是：②③④．
17．（2021秋•平阴县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am+b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 ③④⑤ （只填序号）．
【解题思路】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点有两个，
∴b2﹣4ac＞0，②错误；
③∵x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
由图象可知：9a﹣3b+c＜0，
∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值，
∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），
∴m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数），
∴m为任意实数，则m（am+b）+b≤a，所以④正确；
⑤∵对称轴x＝﹣1，
∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴结论⑤正确．
综合以上可得：③④⑤．
18．（2021•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y最大值=43c；⑤a+4b＝3c中正确的有 ①③④ （填写正确的序号）
【解题思路】①由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴为x＝1，利用对称性得到另一个交点的坐标，可得出ax2+bx+c＝0的两个解为﹣1，3，判断选项①；
②由抛物线开口向下得到a小于0，对称轴在y轴右侧，得到b大于0，与y轴交点在正半轴得到c大于0，进而得到abc小于0，判断选项②；
③根据对称轴x＝1和过（﹣1，0），代入可得：b＝﹣2a，c＝b﹣a，判断选项③；
④将a=-13c，b＝﹣2a代入顶点坐标的纵坐标y=4ac-b24a中，判断选项④；
⑤将a=-13c，b＝﹣2a代入a+4b中计算，判断选项⑤．
【解答过程】解：①∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1，3，
选项①正确；
②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
选项②错误；
③由对称轴是：x＝1=-b2a，得b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
选项③正确；
④由a﹣b+c＝0和b＝﹣2a得：a=-13c，
∴y最大值=4ac-b24a=c-b24a=c-4a24a=c﹣（-13c）=4c3，
选项④正确；
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×(-13c)=7c3，
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
19．（2021•东西湖区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是 ①② ．
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）判断④．
【解答过程】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
∵-b2a＜1，
∴b＜﹣2a，
∴②a＜b＜﹣2a正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：4ac-b24a＞2，
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，
由题意知，a+b+c＝2，（1）
a﹣b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，
则a＜-b-23．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜﹣1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．
20．（2021秋•江北区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=-12．下列结论中，①abc＞0；②a+b＝0；③2b+c＞0；④4a+c＜2b；⑤ac-14b2≤a，正确的是 ④ ．
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴x=-b2a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
故②错误；
∵对称轴x=-b2a=-12，
∴2b＝2a，
∴a＝b，
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故③错误；
∵-2+12=-12，
∵当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，
故④正确；
∵图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，
∴ac-14b2＜0，
又∵a＞0，
∴ac-14b2＜a，
故⑤错误．
故答案为：④．
21．（2021秋•岳麓区校级月考）已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中错误的有 ①②③ ．（填序号）①abc＜0； ②a﹣b+c＜0；③a=-1b； ④8a+c＞0．
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：∵函数的对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∵图象交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；
③∵函数的对称轴为x=-b2a=1，
∴a=-12b，故③错误；
④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正确；
故答案为①②③．
22．（2021•三水区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确有 ①②⑤ ．
【解题思路】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答过程】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x=-b2a=1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故答案为①②⑤．
23．（2021•会昌县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 3 个．
【解题思路】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解答过程】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
故答案为：3．
24．（2021•鼎城区四模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的是 ③④ （填序号）．
【解题思路】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答过程】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故答案为③④．
25．（2021•黄埔区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（12，0）．有下列结论：①abc＞0；②25a﹣10b+4c＝0；③a﹣2b+4c＝0；④a﹣b≥m（am﹣b）；⑤3b+2c＞0；其中所有正确的结论是 ①②④ （填写正确结论的序号）．
【解题思路】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
【解答过程】解：①由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（12，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-52，0），
当x=-52时，y＝0，即a（-52）2-52b+c＝0，
整理得：25a﹣10b+4c＝0，故②正确；
③直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以-b2a=-1，可得b＝2a，
a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，
即a﹣2b+4c＞0，故③错误；
④∵x＝﹣1时，函数值最大，
∴a﹣b+c≥m2a﹣mb+c，
∴a﹣b≥m（am﹣b），所以④正确；
⑤∵b＝2a，a+b+c＜0，
∴12b+b+c＝0，
即3b+2c＜0，故⑤错误；
故答案是：①②④．
26．（2021•金牛区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：
①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，
其中正确的结论有 ①⑤ ．
【解题思路】首先根据抛物线的开口方向向下可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，1＜x1＜2，x2＝﹣2，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=-b2a＞-1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断，即可得到正确的选项．
【解答过程】解：①由图知：抛物线的开口向下，则a＜0．
对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则b＜0
∵﹣2+x1=-ba，1＜x1＜2，
∴0＜ba＜1，
∴b＞a．
故①正确；
②∵抛物线交x轴与点（﹣2，0）
∴4a﹣2b+c＝0
∵c＞2
∴4a﹣2b＝﹣c＜﹣2
即2a﹣b＜﹣1．
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0
∵b＞a，
∴2b＞2a，
∴4a﹣2b＜2a，
∴4a﹣2b+c＜2a+c，即0＜2a+c，
∴2a+c＞0，
故③错误；
⑤如图，过顶点C作CD⊥AB于点D．
则k=-CDBD．
AD和BD的长度都在1.5和2之间，也就是说1.5＜BD＜2，又因为CD＞2，
所以CD除以BD＞1，所以k＜﹣1
∴k＜﹣1，
故⑤正确；
④∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＞2，
∴a+b＞﹣2．
又由⑤知，k＜﹣1，
∴k与a+b的大小无法判断，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①⑤．
故答案是：①⑤．
27．（2021秋•新罗区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（13，y1），B（32，y2）在该函数图象上，则y1＞y2．
其中正确的结论是 ②④⑤ （填入正确结论的序号）．
【解题思路】根据二次函数的图象及其性质即可求出答案．
【解答过程】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
对称轴：x=-b2a＞0，
∴b＞0
∴abc＜0，故①错误；
②由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故②正确；
③由于对称轴为x＝1，
∴（﹣1，0）与（3，0）关于x＝1对称，
令x＝2时，
∴y＝4a+2b+c＞0，故③错误；
④令x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c＜0，
∵-b2a=1，
∴a=-b2，
∴-b2-b+c＜0，
∴2c＜3b，故④正确；
⑤由于x＝1，y＝a+b+c，a＜0
∴该二次函数的最大值为a+b+c，
当m≠1时，
∴y＝am2+bm+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞am2+bm，
即a+b＞m（am+b），故⑤正确；
⑥（13，y1）与（53，y1）关于x＝1对称，
∵53＞32，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＞1上，y随着x的增大而减小，
∴y1＜y2，故⑥错误；
故答案为：②④⑤
28．（2021秋•资中县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④13＜a＜23；⑤b＞c．其中正确结论有 ①③④⑤ （填写所有正确结论的序号）．
【解题思路】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；利用4ac-b24a＜-1，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答过程】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：4ac-b24a＜-1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴23＞a＞13；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
29．（2021秋•红旗区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③-23＜a＜-13；④43＜n＜83中，
正确的是 ①③④ ．
【解题思路】①由抛物线的对称轴为直线x＝1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b＝﹣2a，将其代入3a+b，并判定其符号；
③根据两根之积ca=-3，得到a=-c3，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n＝a+b+c=43c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．
【解答过程】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=-b2a=1
∴b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴ca=-3，则a=-c3．
∵抛物线与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不包含端点），
∴1＜c＜2
∴-23＜-c3＜-13，即-23＜a＜-13．
故③正确；
④根据题意知，a=-c3，-b2a=1，
∴b＝﹣2a=2c3
n＝a+b+c=43c
∵1＜c＜2，
∴43＜4c3＜83，即43＜n＜83．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．
30．（2021•金牛区校级模拟）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC∥x轴，AB＝1，BC＝2，点B的坐标为（2，1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），且与x轴的两个交点分别是点M（x1，0）、N（x2、0），其中﹣2≤x1≤﹣1，下列说法：①abc＜0；②2a+b≤0；③当k＜1时，方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根；④a的取值范围是-29≤a≤-136；其中正确的是 ①③④ ．
【解题思路】由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号．由对称轴x=-b2a＞1，得到2a+b＞0，由抛物线与直线y＝k的交点情况得出方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根，顶点在矩形ABCD内部（包括边界），当顶点与A点重合，可以知道顶点坐标为（2，2）；当顶点与C点重合，顶点坐标为（3，1），根据与x轴的两个交点分别是点M（x1，0）、N（x2、0），其中﹣2≤x1≤﹣1，列出不等式组，解不等式组可求a的取值，然后由此可判断a的取值范围．
【解答过程】解：观察图形发现，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标在第一象限，
∴-b2a＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵点B的坐标为（2，1），BC＝2，
∴C（4，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），
∴x=-b2a＞2，
∴-b2a＞1，
∵a＜0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故②错误；
由题意可知，抛物线与直线y＝k（k＜1）有两个交点，
∴当k＜1时，方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根；故③正确；
∵顶点在矩形ABCD内部（包括边界），
当顶点与A点重合，顶点坐标为（2，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣2）2+2，
由a(-2-2)2+2≤0a(-1-2)2+2≥0，解得-29≤a≤-18；
当顶点与C点重合，顶点坐标为（4，1），则抛物线解析式y＝a（x﹣4）2+1，
由a(-2-4)2+1≤0a(-1-4)2+1≥0，解得-125≤a≤-136；
∵顶点可以在矩形内部，
∴-29≤a≤-136；故④正确；
故答案为①③④．
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