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初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数达标测试
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这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数达标测试，共36页。
专题2.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！
1．（2021•雅安）定义：min{a，b}=a(a≤b)b(a＞b)，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
【解答过程】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y=x+1(-1≤x≤2)-x2+2x+3(x＜-1或x＞2)，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解题思路】设x为不动点，使y＝x，可得关系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知Δ＞0，即得a的取值范围．
【解答过程】由题意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有两个不相等的实数解，
则△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，对任意实数b恒成立，
把b2﹣4ab+8a看作关于b的二次函数，
则有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，
解得a＝0或a＝2，
①当a≥2时，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，
②当a≤0时，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，
③0＜a＜2时，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，
即16a（a﹣2）＜0的解集，
解得0＜a＜2，
故选：A．
3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．5-172，﹣1 C．4，0 D．5+172，﹣1
【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2，或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m=5-172或m=5+172．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是5+172，﹣1．
故选：D．
4．（2020•宁乡市一模）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当m＝2时，函数图象的顶点坐标为（-32，-254）
B．当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3
C．当m＜0时，函数在x＜12时，y随x的增大而增大
D．不论m取何值，函数图象经过两个定点
【解题思路】A、把m＝2代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
C、当x大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y随x增大而减小正确；
B、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；
A、当m＝2时，y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2-254，顶点坐标是（-32，-254）；此结论正确；
B、当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，
解得，x1＝1，x2=-2mm-1，
|x2﹣x1|=3m-1m-1＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
C、当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=-m+12(m-1)，在对称轴的左边y随x的增大而增大，
因为当m＜0时，-m+12(m-1)=-m-1+22(m-1)=-12-1m-1＞-12，即对称轴在x=-12右边，可能大于12，所以在x＞12时，y随x的增大而减小，此结论错误；
D、因为y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，
当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2，
∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确，
故选：C．
5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（ ）
A．m≤13 B．m＜13 C．13＜m≤12 D．m≤12
【解题思路】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．
【解答过程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，
∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，
解得m≤12，
∵m＜n，
∴m＜﹣2m+1．
解得m＜13，综上，m＜13
故选：B．
6．（2020秋•思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．c＞-14 C．﹣3＜c＜﹣2 D．﹣2＜c＜14
【解题思路】设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a2+a+c＝0，根据二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1﹣4c＞0，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即可解得﹣2＜c＜14．
【解答过程】解：设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a＝a2+2a+c，即a2+a+c＝0，
∵二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2＝﹣1，a1•a2＝c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴1﹣4c＞0①，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0②，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0③，
由①得c＜14，
∵a1+a2＝﹣1，
∴②总成立，
由③得：a1•a2﹣（a1+a2）+1＞0，即c﹣（﹣1）+1＞0，
∴c＞﹣2，
综上所述，c的范围是﹣2＜c＜14，
故选：D．
7．（2020秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18
【解题思路】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可．
【解答过程】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，
∴n＝m2+k，
∴k＝n﹣m2，
∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，
∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，
∴|m|＝4，|n|＝4，
当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；
当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；
故选：C．
8．（2021•河南模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．14 C．﹣2或2 D．2
【解题思路】根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根据判别式的意义得到△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，从而解m的方程即可．
【解答过程】解：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
根据题意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝2，
故选：C．
9．（2021春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜-12 D．﹣2≤a＜0
【解题思路】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得m的取值范围．
【解答过程】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即：0≤a+2＜14a+2＜0，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选：B．
10．（2021•深圳模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答过程】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．
11．（2021•东安县模拟）“爱心是人间真情所在”！现用“❤”定义一种运算，对任意实数m、n和抛物线y＝ax2，当y＝ax2❤（m，n）后都可得到y＝a（x﹣m）2+n．当y＝x2❤（m，n）后得到了新函数的图象（如图所示），则nm＝ 2 ．
【解题思路】此题是阅读分析题，解题时首先要理解题意，再根据图象回答即可．
【解答过程】解：根据题意得y＝x2♥（m，n）是函数y＝（x﹣m）2+n；
由图象得此函数的顶点坐标为（1，2），
所以此函数的解析式为y＝（x﹣1）2+2．
∴m＝1，n＝2．
∴nm＝21＝2．
故答案是：2．
12．（2021•天宁区校级模拟）若定义一种新运算：a⊗b=ab(a≥3b)2a-b-2(a＜3b)，例如：4⊗1＝4×1＝4；5⊗4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是 3 ．
【解题思路】根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
【解答过程】解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是3．
13．（2020春•江岸区校级月考）定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{1，3}＝1，min{﹣2，1}＝﹣2．若关于x的函数y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值为3，则k＝ 1或﹣1 ．
【解题思路】画出函数y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的图象，当y＝3时，x＝1或3，得到（1，3）、（3，3），将两个点坐标代入一次函数表达式即可求解．
【解答过程】解：画出函数y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的图象如下：
令y＝﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，
即过点（1，3）、（3，3），
∵函数y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值为3，
将（1，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝k﹣2k+2，解得k＝﹣1，
将（3，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝3k﹣2k+2，解得k＝1，
故k＝﹣1或1，
故答案为﹣1或1．
14．（2021•武汉模拟）定义x轴上横坐标为整数的点叫“整点”，例如（1，0）、（﹣3，0）都是“整点”．已知抛物线y＝2x2﹣3ax+a2与x轴交于A、B两点，且抛物线对称轴位于y轴左侧，若线段AB上有2个“整点”（不包含A、B两点），则a的取值或取值范围是 a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3 ．
【解题思路】由抛物线解析式求得xA＝a，xB=12a．根据“整点”的定义可以得到：n-1≤a＜n⋯(1)n+1＜12a≤n+2⋯(2)，解不等式组即可．
【解答过程】解：∵抛物线对称轴位于y轴左侧，
∴a＜0，假设A在B左侧，可求得xA＝a，xB=12a．
设线段AB之间的2个“整点”为n、n+1，则n-1≤a＜n⋯(1)n+1＜12a≤n+2⋯(2)，
将（2）化简得2（n+1）＜a≤2（n+2）……（3），对照（1）、（3）得n﹣1≤2（n+2）且2（n+1）＜n，
∴﹣5≤n＜﹣2，
∴n＝﹣5或﹣4或﹣3，
①当n＝﹣5时，a＝﹣6；
②当n＝﹣4时，﹣5≤a＜﹣4；
③当n＝﹣3时，﹣4＜a＜﹣3．
综上所述，a的取值或取值范围是a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．
故答案是：a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．
15．（2021秋•康巴什期中）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为 ﹣3或6 ．
【解题思路】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．
【解答过程】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），
∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），
则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），
根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，
得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，
整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，
解得：n＝﹣3或n＝6，
故答案为：﹣3或6．
16．（2021•邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣y，x）．
抛物线y＝（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P'在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 ﹣13 ．
【解题思路】利用菱形的性质，可知E，P′关于x轴对称，分两种情形分别构建方程即可解决问题．
【解答过程】解：∵四边形ECP'D是菱形，
∴点E与点P'关于x轴对称．
∵点E的坐标为（2，n），
∴点P'的坐标为（2，﹣n）．
当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣n＝（﹣2﹣2）2+n．
n＝﹣8．
当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣2＝（﹣n﹣2）2+n．n1＝﹣2，n2＝﹣3．
综上所述，n的值是n＝﹣8，n＝﹣2，n＝﹣3．
﹣8﹣2﹣3＝﹣13
故答案为：﹣13．
17．（2021•吴兴区校级三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数y＝2x2﹣5x﹣7和y＝﹣x2+3x+4的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”y＝x2﹣mx+1﹣2k与坐标轴只有两个公共点，则k的值 0或12 ．
【解题思路】抛物线与y轴一定有一个公共点，根据新定义得到抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k经过点（﹣1，0），则分类讨论：若抛物线过原点，则1﹣2k＝0，可解得k=12；若点（﹣1，0）为顶点时，利用抛物线对称轴方程易得m＝﹣2，再根据二次函数图象上点的坐标特征得到1+m+1﹣2k＝0，然后把m＝﹣2代入可计算出对应k的值．
【解答过程】解：因为抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k经过点（﹣1，0），
所以当抛物线过原点时，抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k与坐标轴只有两个公共点，此时1﹣2k＝0，解得k=12；
当点（﹣1，0）为顶点时，抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k与坐标轴只有两个公共点，则--m2=-1，解得m＝﹣2，
把（﹣1，0）代入y＝x2﹣mx+1﹣2k得1+m+1﹣2k＝0，
所以2﹣2﹣2k＝0，解得k＝0，
综上所述，k的值为0或12．
故答案为0或12．
18．（2021•庆云县二模）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=y(x≥0)-y(x＜0)，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的值是 42 ．
【解题思路】根据新定义，分析函数y＝﹣x2+16在新定义下点P的“可控变点”横坐标与纵坐标的对应关系，在分析a的取值范围．
【解答过程】解：由定义可知：
①当0≤x≤a时，y′＝﹣x2+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a时，y′随x的增大而减小（如图）
即：﹣a2+16≤y′≤16，
②当﹣5≤x＜0时，y′＝x2﹣16，抛物线y′的开口向上，故当﹣5≤x＜0时，y′随x的增大而减小（如图），
即：﹣16＜y′≤9，
∵点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，
∴﹣a2+16≥﹣16
∴a2≤32，
∴﹣42≤a≤42，
又∵﹣5≤x≤a，
∴a＝42，
在函数y＝﹣x2+16图象上的点P，当a＝42时，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，
故答案为42
19．（2021秋•武汉月考）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2绕点（1，0）旋转180°后，得到抛物线C2，定义抛物线C1和C2上位于﹣2≤x≤2范围内的部分为图象C3．若一次函数y＝kx+k﹣1（k＞0）的图象与图象C3有两个交点，则k的范围是： ﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15 ．
【解题思路】如图，由题意图象C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2，图象C3是图中两根红线之间的C1、C2上的部分图象，分五种情形讨论即可．
【解答过程】解：如图，由题意图象C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2，图象C3是图中两根红线之间的C1、C2上的部分图象．
由﹣2≤x≤2，则A（2，4），B（﹣2，﹣16），D（2，0）．
因为一次函数y＝kx+k﹣1（k＞0）的图象与图象C3有两个交点
①当直线经过点A时，满足条件，4＝2k+k﹣1，解得k=53，
②当直线与抛物线C1切时，由y=x2y=kx+k-1消去y得到x2﹣kx﹣k+1＝0，∵Δ＝0，
∴k2+4k﹣4＝0，解得k=-2+22或﹣2﹣22（舍弃），
观察图象可知当﹣2+22＜k≤53时，直线与图象C3有两个交点．
③当直线与抛物线C2相切时，由y=-(x-2)2y=kx+k-1，消去y，得到x2﹣（4﹣k）x+3+k＝0，∵Δ＝0，
∴（4﹣k）2﹣4（3+k）＝0，解得k＝6﹣42或6+42（舍弃），
④当直线经过点D（2，0）时，0＝2k+k﹣1，解得k=13，
观察图象可知，13≤k＜﹣42+6时，直线与图象C3有两个交点．
⑤当直线经过点B（﹣2，﹣16）时，﹣16＝﹣2k+k﹣1，解得k＝15，
观察图象可知，k≥15时，直线与图象C3有两个交点．
综上所述，当﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15时，直线与图象C3有两个交点．
故答案为﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15
20．（2021•九江二模）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y=15x+b经过点M（0，14），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1（x1，0）和A2（x2，0），第二个抛物线与x轴交点A2（x2，0）和A3（x3，0），以此类推，若x1＝d（0＜d＜1），当d为 1120或1320或320 时，这组抛物线中存在直角抛物线．
【解题思路】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1．
【解答过程】解：直线l：y=15x+b经过点M（0，14），则b=14；
∴直线l：y=15x+14．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
当x＝1时，y1=15×1+14=920＜1，
当x＝2时，y2=15×2+14=1320＜1，
当x＝3时，y3=15×3+14=1720＜1，
当x＝4时，y4=15×4+14＞1，
∴直角抛物线的顶点只有B1、B2、B3．
①若B1为顶点，由B1(1，920)，则d=1-920=1120；
②若B2为顶点，由B2(2，1320)，则d=1-[(2-1320)-1]=1320；
③若B3为顶点，由B3(3，1720)，则d=1-{1-[(3-1720)-2]}=320；
综上所述，d的值为1120或1320或320时．这组抛物线中存在直角抛物线．
故答案为：1120、1320、320．
21．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数y1＝2kx+k与函数y2＝x2﹣2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1．
（1）若k＝2，则新函数y＝ x2﹣6x+1 ；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝ 5 ，b＝ ﹣12 ；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式．
【解题思路】（1）将k＝2代入函数y1＝2kx+k中得出函数y1＝4x+2，即可得出结论；
（2）新函数y的解析式为y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，即可得出结论；
（3）①先得出新函数y＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，进而得出m=k+1n=-k2-3k+2，即可得出结论；
②在m=k+1n=-k2-3k+2中消去k即可得出结论．
【解答过程】解：（1）当k＝2时，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函数y2=x2-2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，
故答案为：x2﹣6x+1；
（2）函数y1＝2kx+k与函数y2=x2-2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴新函数y的解析式为y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，
∵新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，
∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣12，
故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，
∵新函数y顶点为（m，n），
∴m=k+1n=-k2-3k+2，
∴n=-k2-3k+2=-(k+32)2+174，
当k=-32时，n最大值=174；
②由①知，m=k+1n=-k2-3k+2，
将k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：
∴n＝﹣m2﹣m+4．
22．（2021•雨花区一模）定义：对于给定函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2-bx-c，(x＜0)为函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G．
（1）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1．
①写出这个函数的“相依函数” y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0) ；
②当﹣1≤x≤1时，此相依函数的最大值为 2 ；
（2）若直线y＝m与函数y＝﹣x2+2x﹣1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；
（3）设函数y=-12x2+nx+1（n＞0）的相依函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当32≤y0≤9时，求出n的取值范围．
【解题思路】（1）①根据“相依函数”直接可以得到结果；
②当﹣1≤x＜0时，求出y＝﹣x2﹣2x+1的最大值为2，当0≤x≤1时，求出y＝﹣x2+2x﹣1的最大值为0，即可得函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2；
（2）画出图象，数形结合即可得到答案；
（3）分（1）当n≥4时，（2）当2＜n＜4时，（3）当0＜n≤2时，三种情况，分别比较两个函数在﹣4≤x≤2上函数值的大小，根据32≤y0≤9列不等式，即可得到答案．
【解答过程】解：（1）①∵函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2-bx-c，(x＜0)为函数y＝ax2+bx+c的“相依函数”，
∴y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”是y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0)；
故答案为：y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0)；
②当﹣1≤x＜0时，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故当x＝﹣1时，y有最大值为2，
当0≤x≤1时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，故x＝1时，y有最大值为0，
综上所述，当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2，
故答案为：2；
（2）函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”的图象如图：
由y＝﹣x2﹣2x+1可得顶点B（﹣1，2），与y轴交点C（0，1）（函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”图象不包含C），
由y＝﹣x2+2x﹣1可得顶点D（1，0），与y轴交点A（0，﹣1），
当直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，由图象知：m＜﹣1或m＝0或1≤m＜2；
（3）由题意知，函数y=-12x2+nx+1（n＞0）的“相依函数”为y=-12x2+nx+1=-12(x-n)2+12n2+1，(x≥0)-12x2-nx-1=-12(x+n)2+12n2-1，(x＜0)，且12n2+1＞12n2﹣1，
（1）当n≥4时，y=-12（x+n）2+12n2﹣1图象的对称轴在直线x＝﹣4左侧，y=-12（x﹣n）2+12n2+1图象的对称轴在x＝4右侧，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
当x＝﹣4时，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，
∵n≥4，
∴2n﹣1≤4n﹣9，
又32≤y0≤9，
∴32≤4n﹣9≤9，
∴218≤n≤92，
∴4≤n≤92，
（2）当2＜n＜4时，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
∵2＜n＜4，
∴2n﹣1＞12n2﹣1，
此时由32≤y0≤9，可得32≤2n﹣1≤9，有54≤n≤5，
∴2＜n＜4，
（3）当0＜n≤2时，
而12n2+1＞12n2﹣1，
∴32≤12n2+1≤9，
∴1≤n≤4，
∴1≤n≤2，
综上所述，n的取值范围是1≤n≤92．
23．（2021春•东湖区校级月考）在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），则它的特征点坐标是 （12，2） ；
（2）若抛物线L1：y＝ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y＝ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 y＝﹣ax2+bx ；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．
【解题思路】（1）结合点A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论；
（2）①由抛物线L1：y＝ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，可将y换成﹣y，将x换成﹣x，整理后即可得出结论；
②根据抛物线L2的解析式可找出它的对称轴为：x=b2a，由抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上可得出a=b2a，变形后即可得出结论；
③结合②的结论，表示出点C、M、N三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程，解方程再结合a的范围即可得出a的值．
【解答过程】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，得-2=4a-2b0=16a-4b，解得：a=12b=2．
∴抛物线L的解析式为y=12x2+2x，
∴它的特征点为（12，2）．
故答案为：（12，2）；
（2）①∵抛物线L1：y＝ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，
∴抛物线L2的解析式为﹣y＝a（﹣x）2+b（﹣x），即y＝﹣ax2+bx．
故答案为：y＝﹣ax2+bx．
②∵抛物线L2的对称轴为直线：x=-b2(-a)=b2a．
∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a=b2a，
∴a与b的关系式为b＝2a2．
③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，
∴在抛物线L1：y＝ax2+bx中，令y＝0，即ax2+bx＝0，
解得：x1=-ba，x2＝0（舍去），
即点M（-ba，0）；
在抛物线L2：y＝﹣ax2+bx中，令y＝0，即﹣ax2+bx＝0，
解得：x1=ba，x2＝0（舍去），
即点N（ba，0）．
∵b＝2a2，
∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）．
∴MN＝2a﹣（﹣2a）＝4a，MC=(a+2a)2+4a4，NC=(a-2a)2+4a4．
因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：
（i）MC＝MN，此时有：(a+2a)2+4a2=4a，即9a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±72，
∵a＜0，
∴a=-72；
（ii）NC＝MN，此时有：NC=(a-2a)2+4a4=4a，即a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±152，
∵a＜0，
∴a=-152；
（iii）MC＝NC，此时有：(a+2a)2+4a2=(a-2a)2+4a4，即9a2＝a2，
解得：a＝0，
又∵a＜0，
∴此情况不存在．
综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为-72或-152．
24．（2021•苏州二模）定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．
【解题思路】（1）利用“N”函数的定义，求出a，b，c的值，即可求出表达式；
（2）将y＝kx与二次函数联立，得出关于x的一元二次方程，根据交点个数确定△的取值即可求出k的值；
（3）先由“N”函数的中心对称性确定点B的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出C的坐标．
【解答过程】解：（1）设y＝﹣x2+x﹣1“N”函数的表达式为y＝ax2+bx+c．
则a﹣1＝0，b＝1，c﹣1＝0．
∴a＝1，b＝1，c＝1．
∴y＝x2+x+1．
（2）根据题意得：
y=-x2+x-1y=kx，即x2+（k﹣1）x+1＝0．
判别式△1=(k-1)2-4．
y=x2+x+1y=kx，即x2+（1﹣k）x+1＝0．
判别式△2=(1-k)2-4．
∴△1＝△2．
设△＝△1＝△2．
若Δ＞0，则“N”函数与y＝kx有四个交点；
若Δ＝0，则“N”函数与y＝kx有两个交点；
若Δ＜0，则“N”函数与y＝kx有没有交点；
∴Δ＝0，即（k﹣1）2﹣4＝0，解得k1＝﹣1；k2＝3．
故k＝﹣1或3．
（3）由题意得“N“函数关于原点成中心对称；
∴点B的坐标为（2，﹣1）．
∵△ABC是直角三角形，下面分情况讨论：
若∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
即（c﹣1）2+22+（c+1）2+22＝42+22，
解得c=±5．
∵c＞0，
∴c=5．
∴C的坐标为（0，5）．
若∠CAB＝90°，
则AC2+AB2＝BC2．
即（c﹣1）2+22+20＝（c+1）2+22，
解得：c＝5．
∴C的坐标为（0，5）．
若∠ABC＝90°，
则C在y的负半轴，故舍去．
∴C（0，5）或C（0，5）．
25．（2021•长沙模拟）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴的交点C的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为“M函数”．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为﹣3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，则称y＝x2+2x﹣3为“M函数”．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为“M函数”，并说明理由；
（2）请探究“M函数”y＝x2+bx+c（c≠0）表达式中的b与c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是“M函数”，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．
【解题思路】（1）求出函数y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点，可直接根据“M函数”的定义进行判断；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，将（c，0）代入y＝x2+bx+c，即可求出b与c之间的关系；
（3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，所以只需满足∠BCO＜45°，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足∠ACB为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意．
【解答过程】解：（1）y＝x2﹣4x+3是“M函数”，理由如下：
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，
∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，
∴y＝x2﹣4x+3是“M函数”；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，
∵y＝x2+bx+c是“M函数”，
∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，
代入得：0＝c2+bc+c，
∴0＝c（c+b+1），
而c≠0，
∴b+c＝﹣1；
（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，
由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，
显然当x＝1时，y＝0，
即与x轴的一个交点为（1，0），
则∠ACO＝45°，
∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO，
∴c＜﹣1；
②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，
∴显然都满足∠ACB为锐角，
∴c＞0，且c≠1；
③当C与原点重合时，不符合题意，
综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．
26．（2020秋•任城区期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解题思路】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答过程】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：m-1=-nn-3=0，解得m=-2n=3，
∴（m+n）2021＝（3﹣2）2021＝1；
（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
27．（2021•北仑区一模）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．
（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；
（2）求M，N两点的坐标；
（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据定义，只要两个抛物线与x轴有着相同的交点，且a的值为负即可；
（2）在解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，令y＝0即可求出M，N的横坐标，可进一步写出其坐标；
（3）先求出抛物线C1的解析式，再用含t的代数式表示出点P的坐标，进一步用含t的代数式表示出△PAM的面积，即可根据二次函数的图象及性质求出其最大值．
【解答过程】解：（1）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y=-13x2+23x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；
（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，
当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，
∵m≠0，
∴x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝﹣6，x2＝2，
∵点M在点N的左边，
∴M（﹣6，0），N（2，0）；
（3）存在，理由如下：
如图2，连接AM，PO，PM，PA，
∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，
∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），
∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），
∴﹣12n＝﹣3，
∴n=14，
∴抛物线C1的解析式为y=14x2+x﹣3，
∴可设点P的坐标为（t，14t2+t﹣3），
∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM
=12×6×（-14t2﹣t+3）+12×3×（﹣t）-12×6×3
=-34t2-92t，
=-34（t+3）2+274，
∵-34＜0，﹣6＜t＜0，
∴根据二次函数的图象和性质知，当t＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，-154）时，△PAM的面积有最大值，最大值为274．
28．（2021•开福区模拟）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y=-x+1(x＜0)x-1(x≥0)．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x-12．
①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数的最大值和最小值．
【解题思路】（1）写出y＝ax﹣3的相关函数，代入计算；
（2）①写出二次函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数，代入计算；
②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．
【解答过程】解：（1）y＝ax﹣3的相关函数y=-ax+3(x＜0)ax-3(x≥0)，
将A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，
解得a＝1；
（2）二次函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数为y=x2-4x+12(x＜0)-x2+4x-12(x≥0)，
①当m＜0时，将B（m，32）代入y＝x2﹣4x+12
得m2﹣4m+12=32，
解得：m＝2+5（舍去），或m＝2-5，
当m≥0时，将B（m，32）代入y＝﹣x2+4x-12得：
﹣m2+4m-12=32，
解得：m＝2+2或m＝2-2．
综上所述：m＝2-5或m＝2+2或m＝2-2；
②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+12，抛物线的对称轴为x＝2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为432，
当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x-12，抛物线的对称轴为x＝2，
当x＝0有最小值，最小值为-12，当x＝2时，有最大值，最大值y=72，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数的最大值为432，最小值为-12．
29．（2021春•海曙区校级期末）定义：若二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴的两个不同交点A、B的横坐标为xA、xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA、xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为和谐函数．例如，函数y＝x2+2x﹣3就是一个和谐函数．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为和谐函数，答： 是 （填“是”或“不是”）；
（2）请探究和谐函数y＝ax2+bx+c表达式中的a、b、c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是和谐函数，当∠ACB＝90°时，求出c的值；
（4）若和谐函数y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B两点，点P（0，m）是y轴正半轴上一点，当∠APB＝45°时，直接写出m的值 2+7 ．
【解题思路】（1）算出y＝x2﹣4x+3的xA、xB、yC即可；
（2）根据求根公式写出根与c的关系式，即可写出a、b、c之间的关系；
（3）根据题意得出AC＝BC，及C为顶点，确定b的值为0，再由AB＝AC得OA＝OB，即c是抛物线的根，代入抛物线的解析式求出c即可；
（4）先作辅助线构造一线三等角全等，再利用全等三角形的性质列出关于m的式子，求出m即可．
【解答过程】解：（1）取x＝0，则yC＝3，
取y＝0，则xA＝1，xB＝3（或xA＝3，xB＝1），
∴y＝x2﹣4x+3是和谐函数，
故答案为：是；
（2）取y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴x=-b±b2-4ac2a，
∴-b±b2-4ac2a=c，
解得：b+ac＝﹣1；
（3）∵∠ACB＝90°，
又∵OA＝OC或OB＝OC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，C为抛物线的顶点，
∴b＝0，
∴OA＝OB＝OC，
∴c是0＝x2+bx+c的根，
即：c2+c＝0，
解得c＝0或c＝﹣1，
∵ac≠0，
∴c≠0，
∴c＝﹣1；
（4）如图，过点B作BM⊥AP，作NP平行x轴，作NH平行y轴，
∵∠APB＝45°，
∴BM＝PM，
∵∠NMP+∠BMH＝90°，∠NMP+∠NPM＝90°，
∴∠BMH＝∠NPM，
在△NMP和△HBM中，
∠N=∠MHB∠BMH=∠NPMPM=BM，
∴△NMP≌△HBM（AAS），
∴NP＝MH，NM＝HB，
由题意知A（﹣3，0），P（0，m），
∴直线AP的解析式为：y=m3x+m，
设M（x，m3x+m），
则有：m3x+m=-xm-(m3x+m)=-x+1，
解得：m＝2-7（舍）或m＝2+7，
故答案为2+7．
30．（2021春•渝北区校级月考）如图①，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫作直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线l叫做P的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．
（1）若l：y＝﹣2x+2，则纠缠抛物线P的函数解析式是 y＝﹣x2﹣x+2 ．
（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y=-1kx2﹣x+2k是否“互为纠缠线”．
（3）如图②，若纠缠直线l：y＝﹣2x+4，纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上，当以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．
【解题思路】（1）根据纠缠线的定义，若l：y＝﹣2x+2，则点A，B，C，D坐标分别为（1，0），（0，2），（0，1），（﹣2，0），则可以设抛物线为y＝a（x+2）（x﹣1），代入点B坐标即可求解；
（2）由题意可得点A，B，C，D坐标分别为（k，0），（0，2k），（0，k），（﹣2k，0），则抛物线的函数解析式为y＝a（x+2k）（x﹣k），代入点B坐标即可求解；
（3）根据题意得到点A，B，C，D坐标分别为（2，0），（0，4），（0，2），（﹣4，0），同理可得抛物线的函数解析式，以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，由题意得：|xQ﹣xF|＝1，即：m+1＝±1，即可求解．
【解答过程】解：（1）若l：y＝﹣2x+2，
当y＝0时，x＝1；当x＝0时，y＝2，
∴点A、B、C、D的坐标分别为：（1，0）、（0，2）、（0，1）、（﹣2，0），
设纠缠抛物线P的函数解析式为：y＝a（x+2）（x﹣1），
将点B的坐标代入上式得：2＝a（0+2）（0﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴纠缠抛物线P的函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+2，
故答案为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）同（1）得：点A、B、C、D的坐标分别为：（k，0）、（0，2k）、（0，k）、（﹣2k，0），
设纠缠抛物线的函数解析式为：y＝a（x+2k）（x﹣k），
将点B的坐标代入上式得：2k＝﹣2ak2，
解得：a=-1k，
∴纠缠抛物线的函数解析式为：y=-1k（x+2k）（x﹣k）=-1kx2-x+2k，
∴y＝﹣2x+2k与y=-1kx2-x+2k是“互为纠缠线”；
（3）同（1）得：点A、B、C、D的坐标分别为：（2，0）、（0，4）、（0，2）、（﹣4，0），
同理可得：纠缠抛物线的函数解析式为：y=-12x2﹣x+4，
则抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
设点F（m，﹣2m+4），点Q（﹣1，n），
将点C、D的坐标代入一次函数表达式并求得：
直线CD的表达式为：y=12x+2，
∵点E的横坐标为﹣1，
∴点E的纵坐标为32，
∴点C、E横坐标差为1，纵坐标差为12，
以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，
由题意得：|xQ﹣xF|＝1，即：m+1＝±1，
解得：m＝0或m＝﹣2，
当m＝0时，点F（0，4），则点Q（﹣1，72）；
同理当m＝﹣2时，点Q（﹣1，172）；
综上，点Q坐标为：Q（﹣1，72）或Q（﹣1，172）．
专题2.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！
1．（2021•雅安）定义：min{a，b}=a(a≤b)b(a＞b)，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
【解答过程】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y=x+1(-1≤x≤2)-x2+2x+3(x＜-1或x＞2)，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解题思路】设x为不动点，使y＝x，可得关系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知Δ＞0，即得a的取值范围．
【解答过程】由题意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有两个不相等的实数解，
则△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，对任意实数b恒成立，
把b2﹣4ab+8a看作关于b的二次函数，
则有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，
解得a＝0或a＝2，
①当a≥2时，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，
②当a≤0时，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，
③0＜a＜2时，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，
即16a（a﹣2）＜0的解集，
解得0＜a＜2，
故选：A．
3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．5-172，﹣1 C．4，0 D．5+172，﹣1
【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2，或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m=5-172或m=5+172．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是5+172，﹣1．
故选：D．
4．（2020•宁乡市一模）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当m＝2时，函数图象的顶点坐标为（-32，-254）
B．当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3
C．当m＜0时，函数在x＜12时，y随x的增大而增大
D．不论m取何值，函数图象经过两个定点
【解题思路】A、把m＝2代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
C、当x大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y随x增大而减小正确；
B、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；
A、当m＝2时，y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2-254，顶点坐标是（-32，-254）；此结论正确；
B、当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，
解得，x1＝1，x2=-2mm-1，
|x2﹣x1|=3m-1m-1＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
C、当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=-m+12(m-1)，在对称轴的左边y随x的增大而增大，
因为当m＜0时，-m+12(m-1)=-m-1+22(m-1)=-12-1m-1＞-12，即对称轴在x=-12右边，可能大于12，所以在x＞12时，y随x的增大而减小，此结论错误；
D、因为y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，
当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2，
∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确，
故选：C．
5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（ ）
A．m≤13 B．m＜13 C．13＜m≤12 D．m≤12
【解题思路】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．
【解答过程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，
∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，
解得m≤12，
∵m＜n，
∴m＜﹣2m+1．
解得m＜13，综上，m＜13
故选：B．
6．（2020秋•思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．c＞-14 C．﹣3＜c＜﹣2 D．﹣2＜c＜14
【解题思路】设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a2+a+c＝0，根据二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1﹣4c＞0，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即可解得﹣2＜c＜14．
【解答过程】解：设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a＝a2+2a+c，即a2+a+c＝0，
∵二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2＝﹣1，a1•a2＝c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴1﹣4c＞0①，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0②，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0③，
由①得c＜14，
∵a1+a2＝﹣1，
∴②总成立，
由③得：a1•a2﹣（a1+a2）+1＞0，即c﹣（﹣1）+1＞0，
∴c＞﹣2，
综上所述，c的范围是﹣2＜c＜14，
故选：D．
7．（2020秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18
【解题思路】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可．
【解答过程】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，
∴n＝m2+k，
∴k＝n﹣m2，
∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，
∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，
∴|m|＝4，|n|＝4，
当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；
当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；
故选：C．
8．（2021•河南模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．14 C．﹣2或2 D．2
【解题思路】根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根据判别式的意义得到△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，从而解m的方程即可．
【解答过程】解：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
根据题意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝2，
故选：C．
9．（2021春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜-12 D．﹣2≤a＜0
【解题思路】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得m的取值范围．
【解答过程】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即：0≤a+2＜14a+2＜0，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选：B．
10．（2021•深圳模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答过程】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．
11．（2021•东安县模拟）“爱心是人间真情所在”！现用“❤”定义一种运算，对任意实数m、n和抛物线y＝ax2，当y＝ax2❤（m，n）后都可得到y＝a（x﹣m）2+n．当y＝x2❤（m，n）后得到了新函数的图象（如图所示），则nm＝ 2 ．
【解题思路】此题是阅读分析题，解题时首先要理解题意，再根据图象回答即可．
【解答过程】解：根据题意得y＝x2♥（m，n）是函数y＝（x﹣m）2+n；
由图象得此函数的顶点坐标为（1，2），
所以此函数的解析式为y＝（x﹣1）2+2．
∴m＝1，n＝2．
∴nm＝21＝2．
故答案是：2．
12．（2021•天宁区校级模拟）若定义一种新运算：a⊗b=ab(a≥3b)2a-b-2(a＜3b)，例如：4⊗1＝4×1＝4；5⊗4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是 3 ．
【解题思路】根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
【解答过程】解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是3．
13．（2020春•江岸区校级月考）定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{1，3}＝1，min{﹣2，1}＝﹣2．若关于x的函数y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值为3，则k＝ 1或﹣1 ．
【解题思路】画出函数y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的图象，当y＝3时，x＝1或3，得到（1，3）、（3，3），将两个点坐标代入一次函数表达式即可求解．
【解答过程】解：画出函数y＝﹣x2+4x和y＝kx﹣2k+2的图象如下：
令y＝﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，
即过点（1，3）、（3，3），
∵函数y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值为3，
将（1，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝k﹣2k+2，解得k＝﹣1，
将（3，3）代入y＝kx﹣2k+2得：3＝3k﹣2k+2，解得k＝1，
故k＝﹣1或1，
故答案为﹣1或1．
14．（2021•武汉模拟）定义x轴上横坐标为整数的点叫“整点”，例如（1，0）、（﹣3，0）都是“整点”．已知抛物线y＝2x2﹣3ax+a2与x轴交于A、B两点，且抛物线对称轴位于y轴左侧，若线段AB上有2个“整点”（不包含A、B两点），则a的取值或取值范围是 a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3 ．
【解题思路】由抛物线解析式求得xA＝a，xB=12a．根据“整点”的定义可以得到：n-1≤a＜n⋯(1)n+1＜12a≤n+2⋯(2)，解不等式组即可．
【解答过程】解：∵抛物线对称轴位于y轴左侧，
∴a＜0，假设A在B左侧，可求得xA＝a，xB=12a．
设线段AB之间的2个“整点”为n、n+1，则n-1≤a＜n⋯(1)n+1＜12a≤n+2⋯(2)，
将（2）化简得2（n+1）＜a≤2（n+2）……（3），对照（1）、（3）得n﹣1≤2（n+2）且2（n+1）＜n，
∴﹣5≤n＜﹣2，
∴n＝﹣5或﹣4或﹣3，
①当n＝﹣5时，a＝﹣6；
②当n＝﹣4时，﹣5≤a＜﹣4；
③当n＝﹣3时，﹣4＜a＜﹣3．
综上所述，a的取值或取值范围是a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．
故答案是：a＝﹣6或﹣5≤a＜﹣4或﹣4＜a＜﹣3．
15．（2021秋•康巴什期中）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为 ﹣3或6 ．
【解题思路】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．
【解答过程】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），
∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），
则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），
根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，
得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，
整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，
解得：n＝﹣3或n＝6，
故答案为：﹣3或6．
16．（2021•邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣y，x）．
抛物线y＝（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P'在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 ﹣13 ．
【解题思路】利用菱形的性质，可知E，P′关于x轴对称，分两种情形分别构建方程即可解决问题．
【解答过程】解：∵四边形ECP'D是菱形，
∴点E与点P'关于x轴对称．
∵点E的坐标为（2，n），
∴点P'的坐标为（2，﹣n）．
当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣n＝（﹣2﹣2）2+n．
n＝﹣8．
当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣2＝（﹣n﹣2）2+n．n1＝﹣2，n2＝﹣3．
综上所述，n的值是n＝﹣8，n＝﹣2，n＝﹣3．
﹣8﹣2﹣3＝﹣13
故答案为：﹣13．
17．（2021•吴兴区校级三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数y＝2x2﹣5x﹣7和y＝﹣x2+3x+4的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”y＝x2﹣mx+1﹣2k与坐标轴只有两个公共点，则k的值 0或12 ．
【解题思路】抛物线与y轴一定有一个公共点，根据新定义得到抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k经过点（﹣1，0），则分类讨论：若抛物线过原点，则1﹣2k＝0，可解得k=12；若点（﹣1，0）为顶点时，利用抛物线对称轴方程易得m＝﹣2，再根据二次函数图象上点的坐标特征得到1+m+1﹣2k＝0，然后把m＝﹣2代入可计算出对应k的值．
【解答过程】解：因为抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k经过点（﹣1，0），
所以当抛物线过原点时，抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k与坐标轴只有两个公共点，此时1﹣2k＝0，解得k=12；
当点（﹣1，0）为顶点时，抛物线y＝x2﹣mx+1﹣2k与坐标轴只有两个公共点，则--m2=-1，解得m＝﹣2，
把（﹣1，0）代入y＝x2﹣mx+1﹣2k得1+m+1﹣2k＝0，
所以2﹣2﹣2k＝0，解得k＝0，
综上所述，k的值为0或12．
故答案为0或12．
18．（2021•庆云县二模）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=y(x≥0)-y(x＜0)，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的值是 42 ．
【解题思路】根据新定义，分析函数y＝﹣x2+16在新定义下点P的“可控变点”横坐标与纵坐标的对应关系，在分析a的取值范围．
【解答过程】解：由定义可知：
①当0≤x≤a时，y′＝﹣x2+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a时，y′随x的增大而减小（如图）
即：﹣a2+16≤y′≤16，
②当﹣5≤x＜0时，y′＝x2﹣16，抛物线y′的开口向上，故当﹣5≤x＜0时，y′随x的增大而减小（如图），
即：﹣16＜y′≤9，
∵点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，
∴﹣a2+16≥﹣16
∴a2≤32，
∴﹣42≤a≤42，
又∵﹣5≤x≤a，
∴a＝42，
在函数y＝﹣x2+16图象上的点P，当a＝42时，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，
故答案为42
19．（2021秋•武汉月考）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2绕点（1，0）旋转180°后，得到抛物线C2，定义抛物线C1和C2上位于﹣2≤x≤2范围内的部分为图象C3．若一次函数y＝kx+k﹣1（k＞0）的图象与图象C3有两个交点，则k的范围是： ﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15 ．
【解题思路】如图，由题意图象C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2，图象C3是图中两根红线之间的C1、C2上的部分图象，分五种情形讨论即可．
【解答过程】解：如图，由题意图象C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2，图象C3是图中两根红线之间的C1、C2上的部分图象．
由﹣2≤x≤2，则A（2，4），B（﹣2，﹣16），D（2，0）．
因为一次函数y＝kx+k﹣1（k＞0）的图象与图象C3有两个交点
①当直线经过点A时，满足条件，4＝2k+k﹣1，解得k=53，
②当直线与抛物线C1切时，由y=x2y=kx+k-1消去y得到x2﹣kx﹣k+1＝0，∵Δ＝0，
∴k2+4k﹣4＝0，解得k=-2+22或﹣2﹣22（舍弃），
观察图象可知当﹣2+22＜k≤53时，直线与图象C3有两个交点．
③当直线与抛物线C2相切时，由y=-(x-2)2y=kx+k-1，消去y，得到x2﹣（4﹣k）x+3+k＝0，∵Δ＝0，
∴（4﹣k）2﹣4（3+k）＝0，解得k＝6﹣42或6+42（舍弃），
④当直线经过点D（2，0）时，0＝2k+k﹣1，解得k=13，
观察图象可知，13≤k＜﹣42+6时，直线与图象C3有两个交点．
⑤当直线经过点B（﹣2，﹣16）时，﹣16＝﹣2k+k﹣1，解得k＝15，
观察图象可知，k≥15时，直线与图象C3有两个交点．
综上所述，当﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15时，直线与图象C3有两个交点．
故答案为﹣2+22＜k≤53或13≤k＜﹣42+6或k≥15
20．（2021•九江二模）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y=15x+b经过点M（0，14），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1（x1，0）和A2（x2，0），第二个抛物线与x轴交点A2（x2，0）和A3（x3，0），以此类推，若x1＝d（0＜d＜1），当d为 1120或1320或320 时，这组抛物线中存在直角抛物线．
【解题思路】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1．
【解答过程】解：直线l：y=15x+b经过点M（0，14），则b=14；
∴直线l：y=15x+14．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
当x＝1时，y1=15×1+14=920＜1，
当x＝2时，y2=15×2+14=1320＜1，
当x＝3时，y3=15×3+14=1720＜1，
当x＝4时，y4=15×4+14＞1，
∴直角抛物线的顶点只有B1、B2、B3．
①若B1为顶点，由B1(1，920)，则d=1-920=1120；
②若B2为顶点，由B2(2，1320)，则d=1-[(2-1320)-1]=1320；
③若B3为顶点，由B3(3，1720)，则d=1-{1-[(3-1720)-2]}=320；
综上所述，d的值为1120或1320或320时．这组抛物线中存在直角抛物线．
故答案为：1120、1320、320．
21．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数y1＝2kx+k与函数y2＝x2﹣2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1．
（1）若k＝2，则新函数y＝ x2﹣6x+1 ；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝ 5 ，b＝ ﹣12 ；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式．
【解题思路】（1）将k＝2代入函数y1＝2kx+k中得出函数y1＝4x+2，即可得出结论；
（2）新函数y的解析式为y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，即可得出结论；
（3）①先得出新函数y＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，进而得出m=k+1n=-k2-3k+2，即可得出结论；
②在m=k+1n=-k2-3k+2中消去k即可得出结论．
【解答过程】解：（1）当k＝2时，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函数y2=x2-2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，
故答案为：x2﹣6x+1；
（2）函数y1＝2kx+k与函数y2=x2-2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴新函数y的解析式为y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，
∵新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，
∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣12，
故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，
∵新函数y顶点为（m，n），
∴m=k+1n=-k2-3k+2，
∴n=-k2-3k+2=-(k+32)2+174，
当k=-32时，n最大值=174；
②由①知，m=k+1n=-k2-3k+2，
将k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：
∴n＝﹣m2﹣m+4．
22．（2021•雨花区一模）定义：对于给定函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2-bx-c，(x＜0)为函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G．
（1）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1．
①写出这个函数的“相依函数” y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0) ；
②当﹣1≤x≤1时，此相依函数的最大值为 2 ；
（2）若直线y＝m与函数y＝﹣x2+2x﹣1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；
（3）设函数y=-12x2+nx+1（n＞0）的相依函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当32≤y0≤9时，求出n的取值范围．
【解题思路】（1）①根据“相依函数”直接可以得到结果；
②当﹣1≤x＜0时，求出y＝﹣x2﹣2x+1的最大值为2，当0≤x≤1时，求出y＝﹣x2+2x﹣1的最大值为0，即可得函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2；
（2）画出图象，数形结合即可得到答案；
（3）分（1）当n≥4时，（2）当2＜n＜4时，（3）当0＜n≤2时，三种情况，分别比较两个函数在﹣4≤x≤2上函数值的大小，根据32≤y0≤9列不等式，即可得到答案．
【解答过程】解：（1）①∵函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2-bx-c，(x＜0)为函数y＝ax2+bx+c的“相依函数”，
∴y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”是y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0)；
故答案为：y=-x2+2x-1，(x≥0)-x2-2x+1，(x＜0)；
②当﹣1≤x＜0时，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故当x＝﹣1时，y有最大值为2，
当0≤x≤1时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，故x＝1时，y有最大值为0，
综上所述，当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2，
故答案为：2；
（2）函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”的图象如图：
由y＝﹣x2﹣2x+1可得顶点B（﹣1，2），与y轴交点C（0，1）（函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”图象不包含C），
由y＝﹣x2+2x﹣1可得顶点D（1，0），与y轴交点A（0，﹣1），
当直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，由图象知：m＜﹣1或m＝0或1≤m＜2；
（3）由题意知，函数y=-12x2+nx+1（n＞0）的“相依函数”为y=-12x2+nx+1=-12(x-n)2+12n2+1，(x≥0)-12x2-nx-1=-12(x+n)2+12n2-1，(x＜0)，且12n2+1＞12n2﹣1，
（1）当n≥4时，y=-12（x+n）2+12n2﹣1图象的对称轴在直线x＝﹣4左侧，y=-12（x﹣n）2+12n2+1图象的对称轴在x＝4右侧，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
当x＝﹣4时，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，
∵n≥4，
∴2n﹣1≤4n﹣9，
又32≤y0≤9，
∴32≤4n﹣9≤9，
∴218≤n≤92，
∴4≤n≤92，
（2）当2＜n＜4时，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
∵2＜n＜4，
∴2n﹣1＞12n2﹣1，
此时由32≤y0≤9，可得32≤2n﹣1≤9，有54≤n≤5，
∴2＜n＜4，
（3）当0＜n≤2时，
而12n2+1＞12n2﹣1，
∴32≤12n2+1≤9，
∴1≤n≤4，
∴1≤n≤2，
综上所述，n的取值范围是1≤n≤92．
23．（2021春•东湖区校级月考）在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），则它的特征点坐标是 （12，2） ；
（2）若抛物线L1：y＝ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y＝ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 y＝﹣ax2+bx ；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．
【解题思路】（1）结合点A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论；
（2）①由抛物线L1：y＝ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，可将y换成﹣y，将x换成﹣x，整理后即可得出结论；
②根据抛物线L2的解析式可找出它的对称轴为：x=b2a，由抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上可得出a=b2a，变形后即可得出结论；
③结合②的结论，表示出点C、M、N三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程，解方程再结合a的范围即可得出a的值．
【解答过程】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，得-2=4a-2b0=16a-4b，解得：a=12b=2．
∴抛物线L的解析式为y=12x2+2x，
∴它的特征点为（12，2）．
故答案为：（12，2）；
（2）①∵抛物线L1：y＝ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，
∴抛物线L2的解析式为﹣y＝a（﹣x）2+b（﹣x），即y＝﹣ax2+bx．
故答案为：y＝﹣ax2+bx．
②∵抛物线L2的对称轴为直线：x=-b2(-a)=b2a．
∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a=b2a，
∴a与b的关系式为b＝2a2．
③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，
∴在抛物线L1：y＝ax2+bx中，令y＝0，即ax2+bx＝0，
解得：x1=-ba，x2＝0（舍去），
即点M（-ba，0）；
在抛物线L2：y＝﹣ax2+bx中，令y＝0，即﹣ax2+bx＝0，
解得：x1=ba，x2＝0（舍去），
即点N（ba，0）．
∵b＝2a2，
∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）．
∴MN＝2a﹣（﹣2a）＝4a，MC=(a+2a)2+4a4，NC=(a-2a)2+4a4．
因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：
（i）MC＝MN，此时有：(a+2a)2+4a2=4a，即9a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±72，
∵a＜0，
∴a=-72；
（ii）NC＝MN，此时有：NC=(a-2a)2+4a4=4a，即a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±152，
∵a＜0，
∴a=-152；
（iii）MC＝NC，此时有：(a+2a)2+4a2=(a-2a)2+4a4，即9a2＝a2，
解得：a＝0，
又∵a＜0，
∴此情况不存在．
综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为-72或-152．
24．（2021•苏州二模）定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．
【解题思路】（1）利用“N”函数的定义，求出a，b，c的值，即可求出表达式；
（2）将y＝kx与二次函数联立，得出关于x的一元二次方程，根据交点个数确定△的取值即可求出k的值；
（3）先由“N”函数的中心对称性确定点B的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出C的坐标．
【解答过程】解：（1）设y＝﹣x2+x﹣1“N”函数的表达式为y＝ax2+bx+c．
则a﹣1＝0，b＝1，c﹣1＝0．
∴a＝1，b＝1，c＝1．
∴y＝x2+x+1．
（2）根据题意得：
y=-x2+x-1y=kx，即x2+（k﹣1）x+1＝0．
判别式△1=(k-1)2-4．
y=x2+x+1y=kx，即x2+（1﹣k）x+1＝0．
判别式△2=(1-k)2-4．
∴△1＝△2．
设△＝△1＝△2．
若Δ＞0，则“N”函数与y＝kx有四个交点；
若Δ＝0，则“N”函数与y＝kx有两个交点；
若Δ＜0，则“N”函数与y＝kx有没有交点；
∴Δ＝0，即（k﹣1）2﹣4＝0，解得k1＝﹣1；k2＝3．
故k＝﹣1或3．
（3）由题意得“N“函数关于原点成中心对称；
∴点B的坐标为（2，﹣1）．
∵△ABC是直角三角形，下面分情况讨论：
若∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
即（c﹣1）2+22+（c+1）2+22＝42+22，
解得c=±5．
∵c＞0，
∴c=5．
∴C的坐标为（0，5）．
若∠CAB＝90°，
则AC2+AB2＝BC2．
即（c﹣1）2+22+20＝（c+1）2+22，
解得：c＝5．
∴C的坐标为（0，5）．
若∠ABC＝90°，
则C在y的负半轴，故舍去．
∴C（0，5）或C（0，5）．
25．（2021•长沙模拟）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴的交点C的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为“M函数”．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为﹣3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，则称y＝x2+2x﹣3为“M函数”．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为“M函数”，并说明理由；
（2）请探究“M函数”y＝x2+bx+c（c≠0）表达式中的b与c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是“M函数”，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．
【解题思路】（1）求出函数y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点，可直接根据“M函数”的定义进行判断；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，将（c，0）代入y＝x2+bx+c，即可求出b与c之间的关系；
（3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，所以只需满足∠BCO＜45°，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足∠ACB为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意．
【解答过程】解：（1）y＝x2﹣4x+3是“M函数”，理由如下：
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，
∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，
∴y＝x2﹣4x+3是“M函数”；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，
∵y＝x2+bx+c是“M函数”，
∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，
代入得：0＝c2+bc+c，
∴0＝c（c+b+1），
而c≠0，
∴b+c＝﹣1；
（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，
由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，
显然当x＝1时，y＝0，
即与x轴的一个交点为（1，0），
则∠ACO＝45°，
∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO，
∴c＜﹣1；
②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，
∴显然都满足∠ACB为锐角，
∴c＞0，且c≠1；
③当C与原点重合时，不符合题意，
综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．
26．（2020秋•任城区期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解题思路】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答过程】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：m-1=-nn-3=0，解得m=-2n=3，
∴（m+n）2021＝（3﹣2）2021＝1；
（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
27．（2021•北仑区一模）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．
（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；
（2）求M，N两点的坐标；
（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据定义，只要两个抛物线与x轴有着相同的交点，且a的值为负即可；
（2）在解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，令y＝0即可求出M，N的横坐标，可进一步写出其坐标；
（3）先求出抛物线C1的解析式，再用含t的代数式表示出点P的坐标，进一步用含t的代数式表示出△PAM的面积，即可根据二次函数的图象及性质求出其最大值．
【解答过程】解：（1）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y=-13x2+23x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；
（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，
当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，
∵m≠0，
∴x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝﹣6，x2＝2，
∵点M在点N的左边，
∴M（﹣6，0），N（2，0）；
（3）存在，理由如下：
如图2，连接AM，PO，PM，PA，
∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，
∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），
∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），
∴﹣12n＝﹣3，
∴n=14，
∴抛物线C1的解析式为y=14x2+x﹣3，
∴可设点P的坐标为（t，14t2+t﹣3），
∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM
=12×6×（-14t2﹣t+3）+12×3×（﹣t）-12×6×3
=-34t2-92t，
=-34（t+3）2+274，
∵-34＜0，﹣6＜t＜0，
∴根据二次函数的图象和性质知，当t＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，-154）时，△PAM的面积有最大值，最大值为274．
28．（2021•开福区模拟）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y=-x+1(x＜0)x-1(x≥0)．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x-12．
①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数的最大值和最小值．
【解题思路】（1）写出y＝ax﹣3的相关函数，代入计算；
（2）①写出二次函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数，代入计算；
②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．
【解答过程】解：（1）y＝ax﹣3的相关函数y=-ax+3(x＜0)ax-3(x≥0)，
将A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，
解得a＝1；
（2）二次函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数为y=x2-4x+12(x＜0)-x2+4x-12(x≥0)，
①当m＜0时，将B（m，32）代入y＝x2﹣4x+12
得m2﹣4m+12=32，
解得：m＝2+5（舍去），或m＝2-5，
当m≥0时，将B（m，32）代入y＝﹣x2+4x-12得：
﹣m2+4m-12=32，
解得：m＝2+2或m＝2-2．
综上所述：m＝2-5或m＝2+2或m＝2-2；
②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+12，抛物线的对称轴为x＝2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为432，
当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x-12，抛物线的对称轴为x＝2，
当x＝0有最小值，最小值为-12，当x＝2时，有最大值，最大值y=72，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x-12的相关函数的最大值为432，最小值为-12．
29．（2021春•海曙区校级期末）定义：若二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴的两个不同交点A、B的横坐标为xA、xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA、xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为和谐函数．例如，函数y＝x2+2x﹣3就是一个和谐函数．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为和谐函数，答： 是 （填“是”或“不是”）；
（2）请探究和谐函数y＝ax2+bx+c表达式中的a、b、c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是和谐函数，当∠ACB＝90°时，求出c的值；
（4）若和谐函数y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B两点，点P（0，m）是y轴正半轴上一点，当∠APB＝45°时，直接写出m的值 2+7 ．
【解题思路】（1）算出y＝x2﹣4x+3的xA、xB、yC即可；
（2）根据求根公式写出根与c的关系式，即可写出a、b、c之间的关系；
（3）根据题意得出AC＝BC，及C为顶点，确定b的值为0，再由AB＝AC得OA＝OB，即c是抛物线的根，代入抛物线的解析式求出c即可；
（4）先作辅助线构造一线三等角全等，再利用全等三角形的性质列出关于m的式子，求出m即可．
【解答过程】解：（1）取x＝0，则yC＝3，
取y＝0，则xA＝1，xB＝3（或xA＝3，xB＝1），
∴y＝x2﹣4x+3是和谐函数，
故答案为：是；
（2）取y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴x=-b±b2-4ac2a，
∴-b±b2-4ac2a=c，
解得：b+ac＝﹣1；
（3）∵∠ACB＝90°，
又∵OA＝OC或OB＝OC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，C为抛物线的顶点，
∴b＝0，
∴OA＝OB＝OC，
∴c是0＝x2+bx+c的根，
即：c2+c＝0，
解得c＝0或c＝﹣1，
∵ac≠0，
∴c≠0，
∴c＝﹣1；
（4）如图，过点B作BM⊥AP，作NP平行x轴，作NH平行y轴，
∵∠APB＝45°，
∴BM＝PM，
∵∠NMP+∠BMH＝90°，∠NMP+∠NPM＝90°，
∴∠BMH＝∠NPM，
在△NMP和△HBM中，
∠N=∠MHB∠BMH=∠NPMPM=BM，
∴△NMP≌△HBM（AAS），
∴NP＝MH，NM＝HB，
由题意知A（﹣3，0），P（0，m），
∴直线AP的解析式为：y=m3x+m，
设M（x，m3x+m），
则有：m3x+m=-xm-(m3x+m)=-x+1，
解得：m＝2-7（舍）或m＝2+7，
故答案为2+7．
30．（2021春•渝北区校级月考）如图①，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫作直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线l叫做P的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．
（1）若l：y＝﹣2x+2，则纠缠抛物线P的函数解析式是 y＝﹣x2﹣x+2 ．
（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y=-1kx2﹣x+2k是否“互为纠缠线”．
（3）如图②，若纠缠直线l：y＝﹣2x+4，纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上，当以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．
【解题思路】（1）根据纠缠线的定义，若l：y＝﹣2x+2，则点A，B，C，D坐标分别为（1，0），（0，2），（0，1），（﹣2，0），则可以设抛物线为y＝a（x+2）（x﹣1），代入点B坐标即可求解；
（2）由题意可得点A，B，C，D坐标分别为（k，0），（0，2k），（0，k），（﹣2k，0），则抛物线的函数解析式为y＝a（x+2k）（x﹣k），代入点B坐标即可求解；
（3）根据题意得到点A，B，C，D坐标分别为（2，0），（0，4），（0，2），（﹣4，0），同理可得抛物线的函数解析式，以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，由题意得：|xQ﹣xF|＝1，即：m+1＝±1，即可求解．
【解答过程】解：（1）若l：y＝﹣2x+2，
当y＝0时，x＝1；当x＝0时，y＝2，
∴点A、B、C、D的坐标分别为：（1，0）、（0，2）、（0，1）、（﹣2，0），
设纠缠抛物线P的函数解析式为：y＝a（x+2）（x﹣1），
将点B的坐标代入上式得：2＝a（0+2）（0﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴纠缠抛物线P的函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+2，
故答案为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）同（1）得：点A、B、C、D的坐标分别为：（k，0）、（0，2k）、（0，k）、（﹣2k，0），
设纠缠抛物线的函数解析式为：y＝a（x+2k）（x﹣k），
将点B的坐标代入上式得：2k＝﹣2ak2，
解得：a=-1k，
∴纠缠抛物线的函数解析式为：y=-1k（x+2k）（x﹣k）=-1kx2-x+2k，
∴y＝﹣2x+2k与y=-1kx2-x+2k是“互为纠缠线”；
（3）同（1）得：点A、B、C、D的坐标分别为：（2，0）、（0，4）、（0，2）、（﹣4，0），
同理可得：纠缠抛物线的函数解析式为：y=-12x2﹣x+4，
则抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
设点F（m，﹣2m+4），点Q（﹣1，n），
将点C、D的坐标代入一次函数表达式并求得：
直线CD的表达式为：y=12x+2，
∵点E的横坐标为﹣1，
∴点E的纵坐标为32，
∴点C、E横坐标差为1，纵坐标差为12，
以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，
由题意得：|xQ﹣xF|＝1，即：m+1＝±1，
解得：m＝0或m＝﹣2，
当m＝0时，点F（0，4），则点Q（﹣1，72）；
同理当m＝﹣2时，点Q（﹣1，172）；
综上，点Q坐标为：Q（﹣1，72）或Q（﹣1，172）．
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