数学1 圆课后练习题

专题3.1  圆-重难点题型

【北师大版】

【知识点1  圆的概念】

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

【题型1  圆的概念】

【例1】（2020秋•崇川区校级期中）到圆心的距离不大于半径的点的集合是（　　）

A．圆的外部 B．圆的内部 

C．圆 D．圆的内部和圆

【分析】根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．

【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；

圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．

所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．

故选：D．

【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（　　）

A．以点O为圆心 

B．以10m长为半径 

C．以点A为圆心，4cm长为半径 

D．经过已知点M

【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．

【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，

∴C选项正确，

故选：C．

【变式1-2】如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC＝CD＝1，则周长更接近于20的是（　　）

A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 

C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆

【分析】根据圆的周长公式，若周长是20时，就可以求出半径，然后判断半径与OA，OB，OC，OD中的哪个比较接近即可．

【解答】解：根据圆的周长公式，得若2πR＝20，则R≈3根据题意中的数据，

OC最接近．

故选：C．

【变式1-3】如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：IG＝FD．小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG＝FD．

请回答：小云所作的两条线段分别是　   　和　   　；

证明IG＝FD的依据是矩形的对角线相等，　     　和等量代换．

【分析】连接OH、OE，由矩形OGHI和正方形ODEF的性质得出IG＝OH，OE＝FD，由OH＝OE，即可得出结论．

【解答】解：连接OH、OE，如图所示：

∵在矩形OGHI和正方形ODEF中，IG＝OH，OE＝FD，

∵OH＝OE，

∴IG＝FD；

故答案为：OH、OE，同圆的半径相等．

【知识点2  与圆有关的概念】

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

【题型2  与圆有关的概念】

【例2】（2021春•巨野县期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用圆的有关定义与性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：①弦是直径，错误，符合题意；

②半圆是弧，正确，不符合题意；

③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意；

④圆心相同半径相同的两个圆是同圆，故错误，符合题意，

错误的有3个，

故选：C．

【变式2-1】（2020秋•朝阳期中）下列说法：

①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．

正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；

②弦不一定是直径，错误，不符合题意；

③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；

④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；

⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，

正确的有3个，

故选：C．

【变式2-2】（2020秋•武安市期末）如图，是圆O弦的是（　　）

A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE

【分析】根据弦的定义确定答案即可．

【解答】解：弦是圆上两点间的的线段，图中AB是弦，其他均不是，

故选：A．

【变式2-3】（2020秋•海淀区校级月考）如图，圆O的弦中最长的是（　　）

A．AB B．CD C．EF D．GH

【分析】根据图示直接得到答案．

【解答】解：如图所示，圆O的弦中最长的是AB．

故选：A．

【知识点3  确定圆的条件】

不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．

【题型3  确定圆的条件】

【例3】（2021•吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　）

A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4

【分析】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆，由此即可解决问题．

【解答】解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．

故选：C．

【变式3-1】（2021•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【分析】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．

【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选：A．

【变式3-2】（2020秋•秀洲区月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．

（1）画出该轮的圆心；

（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．

【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；

（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．

【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；

（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．

∵BC＝16cm，

∴BD＝8cm，

∵AB＝10cm，

∴AD＝6cm，

设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，

∴R2＝82+（R﹣6）2，

解得：Rcm，

∴圆片的半径R为cm．

【变式3-3】（2021秋•泉山区校级月考）如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．

【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．

【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．

∵BD，CE是△ABC的高，

∴△BCD和△BCE都是直角三角形．

∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，

∴DF＝EF＝BF＝CF．

∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．

【题型4  圆中角度的计算】

【例4】（2020秋•宜州区期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若OB＝DE，∠E＝26°，则∠AOC是（　　）

A．52° B．62° C．72° D．78°

【分析】连接OD，如图，利用OD＝DE得到∠DOE＝∠E＝26°，则根据三角形外角性质得到∠ODC＝52°，再利用OC＝OD得到∠C＝∠ODC＝52°，然后根据三角形外角性质得到∠AOC的度数．

【解答】解：连接OD，如图，

∵OD＝OB＝DE，

∴∠DOE＝∠E＝26°，

∴∠ODC＝∠DOE+∠E＝26°+26°＝52°，

∵OC＝OD，

∴∠C＝∠ODC＝52°，

∴∠AOC＝∠C+∠E＝52°+26°＝78°．

故选：D．

【变式4-1】（2020秋•金牛区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°

【分析】先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解．

【解答】解：∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO＝25°，

∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．

故选：B．

【变式4-2】（2020秋•远安县期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．130°

【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．

【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．

在△OAB中，OA＝OB，

则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，

同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，

故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．

故选：A．

【变式4-3】（2020秋•嘉鱼县期末）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为　  　．

【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝80°，∠OBC＝∠C＝60°，然后计算∠OBA+∠OBC即可．

【解答】解：连接OB，如图，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA＝80°，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠C＝60°，

∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝80°+60°＝140°．

故答案为140°．

【题型5  圆中线段长度的计算】

【例5】（2020秋•站前区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　  　．

【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长．

【解答】解：连接OC，

∵CD＝4，OD＝3，

在Rt△ODC中，

∴OC5，

∴AB＝2OC＝10，

故答案为：10．

【变式5-1】如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝　 　．（用数字表示）

【分析】根据圆的周长公式得到OD＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【解答】解：∵⊙O的周长为4π，

∴OD＝2，

∵OC＝OD，

∴∠C＝∠D，

∵BE∥OC，

∴∠EBD＝∠C，

∴∠EBD＝∠D，

∴BE＝DE，

∴EO+EB＝OD＝2，

故答案为：2．

【变式5-2】（2021秋•朝阳区校级月考）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．

【解答】解：如图，连接OC．

∵四边形OBCD是矩形，

∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，

∴OB6，

∴AB＝OA﹣OB＝4，

故选：C．

【变式5-3】（2021春•龙湖区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．

【分析】由直径AB＝5cm，可得半径OC＝OAABcm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长．

【解答】解：连接OC，

∵AB＝5cm，

∴OC＝OAABcm，

Rt△CDO中，由勾股定理得：DOcm，

∴AD1cm，

由勾股定理得：AC，

则AD的长为1cm，AC的长为cm．

【题型6  圆相关概念的应用】

【例6】（2021•厦门模拟）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

【分析】求得的长度，结合数轴作出选择．

【解答】解：根据题意知，的长度为：π×13＝1.5，则与拉直后铁丝N端的位置最接近的是点A．

故选：A．

【变式6-1】（2020•鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（　　）

A．甲先到B点 B．乙先到B点 

C．甲、乙同时到B D．无法确定

【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．

【解答】解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，

因此两个同时到B点．

故选：C．

【变式6-2】（2020秋•莘县期中）如图，大半圆中有n个小半圆，若大半圆弧长为L1，n个小半圆弧长的和为L2，大半圆的弦AB，BC，CD的长度和为L3．则（　　）

A．L1＝L2＞L3 

B．L1＝L2＜L3 

C．无法比较L1、L2、L3间的大小关系 

D．L1＞L3＞L2

【分析】设小半圆的半径为r，大半圆的半径为nr，分别计算弧长即可得出L1＝L2，再利用两点之间线段最短可得L1＞L3，从而可得答案．

【解答】解：设小半圆的半径为r，大半圆的半径为nr，L1nπr，L2n＝nπr，

∴L1＝L2，

∵弦AB，弦BC，弦CD，

∴L1＞L3，

∴L1＝L2＞L3，

故选：A．

【变式6-3】（2020秋•香坊区期末）为了销售方便，售货员把啤酒捆成如图形状，如果捆一圈，接头不计，问至少用绳子　   　厘米．

【分析】根据图形分析：捆一圈所需要的绳长是四个直径的长和4个圆周长，也就是四个直径的长加上一个圆的周长．

【解答】解：如图所示：圆的直径为：7cm．

则根据题意得：7×4+7π＝28+7π≈49.98（cm）

答：捆一圈至少用绳子49.98cm.