北师大版九年级下册3 垂径定理当堂检测题

这是一份北师大版九年级下册3 垂径定理当堂检测题，共23页。

专题3.3 垂径定理
【北师大版】

【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 垂径定理（连半径）】
【例1】（2021春•海门市期中）如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，根据垂径定理得到AM＝BM＝8，再根据勾股定理得到82+（16﹣r）2＝r2，解方程求出r＝10，然后计算CD﹣CM即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM=12AB＝8，
在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，
∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．
故选：A．

【变式1-1】（2021•淄川区一模）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．42 C．46 D．43
【分析】如图，连接OA，OC．设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，构建方程组求出r即可．
【解答】解：如图，连接OA，OC．

∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有r2=62+(2a)2r2=92+a2，
解得，r＝46，
故选：C．
【变式1-2】（2020秋•衢州期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：
（1）CD的弦心距OF的长；
（2）弦CD的长．

【分析】（1）根据题意求出OE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OF；
（2）连接OD，根据勾股定理求出DF，根据垂径定理解答即可．
【解答】解：（1）∵AE＝1cm，BE＝5cm，
∴AB＝AE+EB＝6cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵OF⊥CD，∠DEB＝30°，
∴OF=12OE=12×2＝1（cm）；
（2）连接OD，
在Rt△ODF中，由勾股定理得：DF=OD2-OF2=32-12=22（cm），
∵OF⊥CD，
∴CD＝2DF＝42（cm）．

【变式1-3】（2020秋•蜀山区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．

【分析】连接OD，先由垂径定理得CE＝DE=12CD＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OD＝r，由勾股定理求出r＝5，则OE＝4，AE＝9，求出S△AED=272，S△OED＝6，则S△AOD＝S△AED﹣S△OED=152，即可解决问题．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE=12CD＝3，
设⊙O的半径为r，
则OE＝r﹣1，OD＝r，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OE＝4，AE＝5+4＝9，
∴S△AED=12AE•DE=12×9×3=272，S△OED=12OE•DE=12×4×3＝6，
∴S△AOD＝S△AED﹣S△OED=272-6=152，
∵OF⊥AD，OA＝OD，
∴AF＝DF，
∴S△AOF=12S△AOD=12×152=154．

【题型2 垂径定理（作垂线）】
【例2】（2020秋•江干区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，则CD的长为（　　）

A．34 B．62 C．234 D．12
【分析】根据题意过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，从而得出△OPE是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出PE＝OE=2，从而利用勾股定理推出DE=34，再由垂径定理得到CE＝DE，从而推出CD＝2DE＝234．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，

∵AB＝AP+BP＝4+8＝12，
∴OD＝OA＝6，
∴OP＝OA﹣AP＝6﹣4＝2，
∵∠OPE＝∠APC＝45°，
∴△OPE是等腰直角三角形，
∴PE＝OE=2，
在Rt△OED中，DE=OD2-OE2=36-2=34，
∵OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2DE＝234，
故选：C．
【变式2-1】（2020•东胜区一模）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】延长AO交BC于D，过点O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为x，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD＝2DE，进而可求出x的值．
【解答】解：延长AO交BC于D，过点O作OE⊥BC于E，如图所示：

设AB的长为x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD＝AD＝AB＝x；
∵OA＝4，BC＝10，
∴BE=12BC＝5，DE＝x﹣5，OD＝x﹣4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE=12OD，
∴x﹣5=12（x﹣4），
解得：x＝6．
故选：C．
【变式2-2】（2020•泰兴市模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）

A．5 B．4 C．92 D．25
【分析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，可得AD＝AB＝5，根据垂径定理可得DE＝BE，得CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，再根据勾股定理即可求得DE的长，进而可得CD的长．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，

根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE=134，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=92．
故选：C．
【变式2-3】（2020秋•渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．

【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH=12CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH=OC2-CH2=42-22=23，
∴AH=OA2-OH2=62-(23)2=26，
∴AC＝AH﹣CH＝26-2．


【题型3 垂径定理（分类讨论）】
【例3】（2021秋•江夏区校级期末）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　）
A．6 B．221
C．6或221 D．以上说法都不对
【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．
【解答】解：如图，

①若CD＝8，
则CF=12CD＝4，
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝3，
∵EF＝1，
∴OE＝2，
则AE=21，
∴AB＝2AE＝221；
②若AB＝8，
则AE=12AB＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OE＝3，
∵EF＝1，
∴OF＝4，
则CF＝3，
∴CD＝2CF＝6；
综上，另一弦长为6或221，
故选：C．
【变式3-1】（2021•松桃县模拟）已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
【分析】分两种情况，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM=12AB=12×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2-AM2=502-482=14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC=AM2+CM2=642+482=80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝50﹣14＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．


【变式3-2】（2021春•鼓楼区校级月考）若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB＝10，CD＝24，则AB，CD之间的距离为（　　）
A．7 B．17 C．5或12 D．7或17
【分析】过O点作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，则利用垂径定理得到AE＝BE＝5，CF＝DF＝12，再利用勾股定理可计算出OE＝12，OF＝5，讨论：当圆心O在AB、CD之间，如图1，EF＝OE+OF；当圆心O不在AB、CD之间，如图2，EF＝OE﹣OF．
【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE=12AB＝5，CF＝DF=12CD＝12，
在Rt△OAE中，OE=OA2-AE2=132-52=12，
在Rt△OCF中，OF=OC2-CF2=132-122=5，
当圆心O在AB、CD之间，如图1，EF＝OE+OF＝12+5＝17，
当圆心O不在AB、CD之间，如图2，EF＝OE﹣OF＝12﹣5＝7，
综上所述，AB，CD之间的距离为7或17．
故选：D．

【变式3-3】（2021秋•滨江区期末）在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（　　）
A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm
【分析】点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE＝BE=12AB＝20，再利用勾股定理计算出OE＝15，然后分别计算出DE和CE即可．
【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，
∵点C和D为弦AB所对弧的中点，
∴CD为直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE=12AB＝20，
在Rt△OAE中，∵OA＝25，AE＝20，
∴OE=OA2-AE2=15，
∴DE＝OD+OE＝40，CE＝OC﹣OE＝10，
即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．
故选：D．

【题型4 垂径定理（动点问题）】
【例4】（2020秋•齐河县期末）如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得到答案．
【解答】解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM=12AB，
在Rt△AOM中，AM=OA2-OM2=42-22=23，
∴AB＝2AM＝43，
则43≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．

【变式4-1】（2020秋•喀什地区期末）如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，P是弦AB上的一个动点，不在OP取值范围内的是（　　）

A．4 B．5 C．12 D．13
【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝12，则利用勾股定理可计算出OH＝5，然后利用垂线段最短得到OP的范围，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH=12AB＝12，
在Rt△OAH中，OH=OA2-AH2=132-122=5，
∵P是弦AB上的一个动点，
∴5≤OP≤13．
故选：A．

【变式4-2】（2020秋•天心区月考）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=3，则弦BC的最大值为（　　）

A．23 B．3 C．6 D．32
【分析】过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理易知E是AB中点，得OE是△ABC中位线，则BC＝2OE，而OE≤OP，故BC≤2OP，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，如图：

∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE=12BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
∴弦BC的最大值为：2OP＝23．
故选：A．
【变式4-3】（2021•利州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（　　）

A．48 B．45 C．42 D．40
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝75，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=602+452=75，
∵12×AH×BD=12×AD×AB，
∴AH=60×4575=36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM=OM2-OH2，
∴此时HM有最大值，最大值为262-102=24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．

【题型5 垂径定理（翻折问题）】
【例5】（2020•青羊区模拟）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）

A．43cm B．23cm C．3cm D．2cm
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交AB于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE＝DE，再根据垂径定理可知AE＝BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．
【解答】解：如图所示，
连接AO，过O作OD⊥AB，交AB于点D，交弦AB于点E，
∵AB折叠后恰好经过圆心，
∴OE＝DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE=12OD=12×4＝2，
∵OD⊥AB，
∴AE=12AB，
在Rt△AOE中，
AE=OA2-OE2=42-22=23．
∴AB＝2AE＝43．
故选：A．

【变式5-1】（2016•丹东模拟）半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为　　cm．

【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【解答】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME＝OE=12OC，
在直角三角形COE中，CE=12-(12)2=32，
折痕CD的长为2×32=3（cm）．

【变式5-2】（2021秋•袁州区校级期中）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为　 　．

【分析】观察图形延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长．
【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
由题意可得CD＝4，OD＝4，OB＝8，
DE=12（8×2﹣4）=12×12＝6，
OE＝6﹣4＝2，
在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2＝OB2，
代入可求得BE＝215，
∴AB＝415．
故答案为415．

【变式5-3】（2021•姜堰市校级二模）如图，⊙O的半径为6cm，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB，E、F是AB上两点（E、F不与A、B重合且E在F右边），且AF＝BE．
（1）判定四边形OECF的形状；
（2）AF为多少时，△CFB为直角三角形？

【分析】将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB，知AB⊥CO，CD＝OD，证明DF＝DE，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：△CFB为直角三角形，求出∠OBD，求出BF、AF的长．
【解答】解：（1）连CO交AB于D，由对称性可以得到
CD＝DO＝3cm，AD＝BD，AB＝63cm
又∵OA＝OB＝6cm，
∴OACB是菱形，
∵AF＝BE，
∴DE＝DF，又CD＝DO，
∴OECF为平行四边形，又AB⊥CO，
∴四边形OECF是菱形；
（2）∠CBA＝∠BAO，CB＝6cm
DC=12CB＝3cm，
∴∠OBD＝30°，
∴BF＝43cm
∴AF＝AB﹣BF＝63-43=23cm．





【知识点2 垂径定理的应用】
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【题型6 垂径定理的实际应用】
【例6】（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．

【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，

在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥F′E′于H，则OH＝CE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′=202-122=16，
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
【变式6-1】（2020秋•江门期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．

【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD=12AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN=7.44（m）．
∴MN＝2EN＝2×7.44≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．

【变式6-2】（2020秋•淮南月考）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．

【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ACO中，AC＝5，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC=12AB=12×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．

【变式6-3】（2021秋•兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？

【分析】（1）首先过点O作OF⊥AB于点G，交⊙O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，然后由勾股定理，求得OF的长，继而求得油的最大深度．
（2）分两种情况：根据（1）求得OE＝300mm，可得油面上升EF＝OF﹣OE，可得结论，同理可得当油面在圆心O的上方时，油面上升的高度．
【解答】解：（1）过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA，
∴AF=12AB＝300mm，
∵直径MN＝1000mm
∴OA＝500mm
由勾股定理得，OF=OA2-AF2=5002-3002=400mm，
则GF＝OG﹣OF＝100mm；
（2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况：
当油面CD在圆心O的下方时，连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝400mm，OE=OC2-CE2=300mm，
则EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm，
同理，当CD在圆心O上方时，可得EF＝700．
答：此时油面上升了100毫米或700毫米．