天津市宝坻区第四中学2022-2023学年高二下学期第一次数学检测试题

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一、单选题
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.
【详解】选项A. ,故选项A不正确.
选项B. ,故选项B不正确.
选项C. ,故选项C不正确.
选项D. ,故选项D正确.
故选：D
2．如图所示，是函数的图象及其在点处的切线，则等于（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求得.
【详解】根据导数的几何意义可知，
为函数的图象在点的切线的斜率，由图可知.
故选：A
3．设函数在处的导数为2，则（ ）．
A．B．2C．D．6
【答案】A
【分析】根据导数的定义与极限的性质计算即可.
【详解】.
故选：A.
4．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．
【详解】解：由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，故①错误；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，
在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；
故选：C．
5．若函数，则=（ ）
A．-B．C．1D．0
【答案】D
【分析】求导后代入求解即可
【详解】由题意，，故
故选：D
6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求出所求切线的方程，进而可求得切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】令，则，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
与轴的交点为，与轴的交点为，故所求三角形的面积为．
故选：D．
【点睛】本题考查切线与坐标轴围成的三角形面积计算，解答的关键就是求出切线的方程，考查计算能力，属于基础题.
7．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求导得到，函数单调递增，得到大小关系.
【详解】，故，所以在上递增，
，所以，
故选：D
8．已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．函数有零点
B．函数有极大值，也有极小值
C．函数既无最大值，也无最小值
D．函数的图象与直线y=1有3个交点
【答案】C
【分析】由确定A正确，结合导数判断BCD选项的正确性.
【详解】，所以A选项正确.
，所以在区间上递增，在区间上递减，
所以当时，有极大值，
当时，有极小值，所以B选项正确.
注意到恒成立，所以是的最小值，C选项错误.
画出的大致图象如下图所示，由图可知函数的图象与直线y=1有3个交点，D选项正确.
故选：C
9．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数在上单调递增，知在上恒成立，分离参数，求最值得答案．
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题
10．位移（单位：与时间（单位：之间满足函数关系式，则当时的瞬时速度为______．
【答案】30
【分析】由瞬时变化率的计算公式可得时的瞬时速度.
【详解】解：∵
∴该物体在时的瞬时速度为，
故答案为：30
11．函数的单调递增区间为__________．
【答案】
【分析】直接求导，令导数大于0，即可求得单增区间.
【详解】，令，可得或，故单调递增区间为.
故答案为：.
12．已知函数，则的值为______.
【答案】
【分析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故答案为：.
13．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝________.
【答案】2
【详解】解：∵y'=3x2+3x，∴由y'=0得x=0，或x=-1．-10,函数单调递增
∵f(0)=m，f(-1)=m+，f(1)= m+m+，f(-2)=m-2，
∴m+=，得m=2．
14．若函数在区间内存在极小值，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为，则，令可得或，列表如下：
所以，函数的极小值点为，由题意可得，解得.
故答案为：.
16．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．
【答案】 -1 -2
【解析】由的导数值为1求得切点坐标，代入切线方程得，再由的导数值为1得切点坐标，代入函数式可求得，
【详解】由题意可知，故，则函数的切点为，代入，得；又，故，则函数的切点为，代入，得．
故答案为：－1；－2．
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．
三、解答题
16．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极大值和极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．
【详解】（1）易知，函数的定义域为；
所以，则切点为
又，
则在点处的切线斜率，
所以，切线方程为，整理可得
即函数在点处的切线方程为.
（2）由（1）可知，当时，，在上单调递减；
或时，，在或上单调递增；
函数在上的单调性列表如下：
所以，的极大值为，极小值为；
又，；
综上可得，函数在上的最大值为，最小值为
17．已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
【答案】(1)，
(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.
【分析】（1）利用导数与极值点的关系，求得后，再检验；
（2）首先求，再利用导数和函数单调性，极值的关系，即可求解.
【详解】（1），由条件可知和，
即，解得：，，
所以，
检验：
经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；
（2），解得：，
所以

有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是
，函数的极大值是，函数的极小值是.
18．给定函数
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为，极小值,；
（2）答案见详解；（3）当时，解为个；当或时，解为个； 当时，解为个
【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.
（3）利用数形结合法即可求解.
【详解】（1）由，定义域为
，
令，即，
令，即，
令，即，
所以函数的单调递增区间为；
单调递减区间为，为极小值点，
所以函数的极小值为.
（2）函数的大致图象，如图所示：
（3）方程解的个数等价于于的交点个数.
作出与的图象，
由图可知当时，方程的解为个；
当或时，方程的解为个；
当时，方程的解为个；
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）分析定义域并求解导函数，分类讨论与时的正负，从而可得函数的单调性；
（2）结合（1）的答案判断得时，存在两个零点，需，再结合，可得函数在上有零点，再求解，并构造新函数，通过求导判断单调性求解得，从而可得函数在上有零点，从而可得的取值范围为.
【详解】（1）函数定义域为，
∵，∴．
①当时，在上恒成立，
即函数的单调递减区间为．
②当时，，解得，
当时，，
∴函数的单调递增区间为，
当时，，
∴函数的单调递减区间为．
综上可知：
①当时，函数的单调递减区间为；
②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，
∴函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，
又函数有两个零点，∴，∴．
又，∴，使得，
又，
设，则，
∵，∴，∴函数在上单调递减，
∴，∴，使得，
综上可知，实数的取值范围为
【点睛】关键点点睛：通过函数单调性列不等式，然后分别在的两侧取值判断对应函数值小于，即取小于，通过构造函数，求导判断单调性与最大值的方式，从而得函数在和上存在零点.
20．已知函数．
（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）如果函数恰有两个不同的极值点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）问题转化为对恒成立.求导后分离参数得到，设，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；
（2）由，为两个极值点不妨设，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a，将要证不等式转化为只含有，的不等式，适当变形转化为只含有的不等式，作换元，转化为关于t的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.
【详解】（1）是上是增函数，
，
，
设则，
令解得，解得，
故在单调递减，在单调递增，
，
；
（2）依题意可得：，
，是极值点，
∴，两式相减可得：，
所证不等式等价于：，不妨设，
两边同除以可得：，令 ，
所证不等式只需证明：，
设，
，
由（1）可知：当时，恒成立，
成立，即，
可得：，

在单调递减，，
原不等式成立即.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．增
极大值
减
极小值
增
1
3
极大值
极小值













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增