数学必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

6.4 平面向量数量积的应用

教学目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．

2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．

教学过程：

一 、新知初探：

1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

2．向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．

(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．

二、初试身手：

1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　)

A．菱形　　　　　　 B．梯形

C．矩形   D．平行四边形

2．已知△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为(　　)

A．钝角三角形   B．直角三角形

C．锐角三角形   D．不能确定

3．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.

4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．

三、合作探究：

1）、向量在平面几何中的应用

1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD?

[提示]　法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.

法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.

2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD?

[提示]　法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD.

法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD.

以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到AB∥CD.

【例1】　(1)已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形   D．等边三角形

(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．

变式1．将本例(1)的条件改为(－)·(＋－2)＝0，试判断△ABC的形状．

2．将本例(2)的条件“BF∶FC＝2∶1”改为“BF∶FC＝1∶1”，求证：AF⊥DE.

2）平面向量在物理中的应用

1．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？

用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．

【例3】　(1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．

(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示．

①求F3的大小；

②求F2与F3的夹角．

变式：一条宽为km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？

四、课堂小结：

本节课学习了哪些知识内容？

五、巩固练习：

1．判断正误

(1)若∥，则直线AB与直线CD平行．(　　)

(2)若△ABC是直角三角形，则必有·＝0.(　　)

(3)△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC为等边三角形．(　　)

(4)||＝.(　　)

2．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　)

A．(9,1)   B．(1,9)

C．(9,0)   D．(0,9)

3．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.