专题19动力学的两类基本问题及等时圆模型-高三物理一轮复习重难点逐个突破

专题19   动力学的两类基本问题及等时圆模型

考点一   动力学的两类基本问题

1.动力学的两类基本问题应把握的关键

(1)两大分析——物体的受力分析和运动分析；

(2)一个“桥梁”——物体运动的加速度是联系运动和力的桥梁

(3)由运动学公式和牛顿第二定律列方程求解

2.解决动力学基本问题时对力的处理方法

(1)在物体受两个力时一般采用“合成法”

(2)若物体的受力个数较多(3个或3个以上)，则采用“正交分解法”。

3.动力学的两类基本问题的分析方法

(1)选定研究对象。

(2)对研究对象进行受力分析并画出受力示意图,根据平行四边形定则，应用合成法或正交分解法，表示出物体所受的合外力，列出牛顿第二定律方程。

(3)对研究对象进行运动分析并画出运动示意图，标出已知量和待求量，选择合适的运动学公式，列出运动学方程。

(4)联立牛顿第二定律方程和运动学方程求解。

1. 如图所示，质量m＝15 kg的木箱静止在水平地面上，木箱与地面间的动摩擦因数

μ＝0.2。现用F＝60 N的水平恒力向右拉动木箱(g取10 m/s2)。求：

(1)3 s时木箱的速度大小。

(2)木箱在2 s内的位移大小。

【答案】(1)6 m/s　(2)4 m

【解析】

(1)对木箱受力分析如图所示。

由牛顿第二定律得F－μmg＝ma

解得a＝＝ m/s2＝2 m/s2

由运动学公式可得v＝at＝2×3 m/s＝6 m/s。

(2)木箱在2 s内的位移大小为x＝at2＝×2×22 m＝4 m。

2．（2022·四川·遂宁安居育才卓同国际学校高三阶段练习）如图所示，一个放置在水平台面上的木块，其质量为，受到一个斜向下的、与水平方向成角的推力的作用，使木块从静止开始运动，后撤去推力，若木块与水平面间的动摩擦因数为0.1，取，已知。求：

（1）撤去推力时木块的速度为多大？

（2）木块在水平面上运动的总位移为多少？

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）撤去推力前，对木块受力分析如图

由牛顿第二定律可得，

又

联立，可得

依题意，木块做静止开始的匀加速直线运动，

后撤去推力时木块的速度为

（2）撤去推力后，对木块受力分析如图

由牛顿第二定律可得

解得

可知，木块做匀减速直线运动其加速度大小为，根据速度与位移关系式可得木块在水平面上运动的总位移为

解得

3.如图所示，楼梯口一倾斜的天花板与水平地面成θ＝37°角。一装潢工人手持木杆绑着刷子粉刷天花板，工人所持木杆对刷子的作用力始终保持竖直向上，大小为F＝10 N，刷子的质量为m＝0.5 kg，刷子可视为质点，刷子与天花板间的动摩擦因数μ＝0.5，天花板长为L＝4 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。试求：

(1)刷子沿天花板向上运动时的加速度大小；

(2)工人把刷子从天花板底端推到顶端所用的时间。

【答案】(1)2 m/s2　(2)2 s

【解析】(1)以刷子为研究对象，受力分析如图所示

设杆对刷子的作用力为F，滑动摩擦力为Ff，天花板对刷子的弹力为FN，刷子所受重力为mg，由牛顿第二定律得

(F－mg)sin 37°－μ(F－mg)cos 37°＝ma

代入数据解得a＝2 m/s2。

(2)由运动学公式得L＝at2

代入数据解得t＝2 s。

4．（2022·上海师大附中高三学业考试）避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图竖直平面内，制动坡床视为水平面夹角为θ（小角度）的斜面。一辆长L＝12m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为v1＝23m/s时，车尾位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动。当货物在车厢内滑动了s＝4m时，车头距制动坡床顶端d＝38m。再过一段时间，货车停止。已知空货车质量M是货物质量m的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数μ＝0.4；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44倍。货物与货车分别视为小滑块和平板，取cosθ＝1，sinθ＝0.1，g＝10m/s2。

（1）求货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；

（2）请画出当货物在车厢内滑动时货车的受力示意图，并求出货车此时的的加速度的大小和方向；

（3）求出制动坡床的长度。

【答案】（1）5m/s2，方向沿制动坡床向下；（2）示意图见解析，5.5m/s2，方向沿制动坡床向下；（3）98m

【解析】

（1）以货物为研究对象，由于货物相对车箱向前滑行，所受摩擦力向后，根据牛顿第二定律

解得方向沿制动坡床向下。

（2）货车受力示意图，如图所示

根据牛顿第二定律

可得货车的加速度方向沿制动坡床向下。

（3）根据位移与时间的关系

解得

这段时间内，货车的位移

制动坡床的长度为

5．（2022·浙江·高考真题）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为，货物可视为质点（取，，重力加速度）。

（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度的大小；

（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度的大小；

（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据牛顿第二定律可得

代入数据解得

（2）根据运动学公式

解得

（3）根据牛顿第二定律

根据运动学公式

代入数据联立解得

6．（2022·湖北·黄冈中学二模）机动车礼让行人是一种文明行为。如图所示，质量的汽车以的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线处，驾驶员发现小朋友排着长的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。

（1）求汽车开始刹车到停止所用的时间和所受阻力的大小；

（2）若路面宽，小朋友行走的速度，求汽车停在斑马线处等待小朋友全部通过所需的时间；

（3）假设驾驶员以超速行驶，在距离斑马线处立即刹车，求汽车运动到斑马线时的速度大小。

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

 （1）根据平均速度

解得刹车时间

刹车加速度

根据牛顿第二定律

解得

（2）小朋友过时间

等待时间

（3）根据

解得

7.可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏．如图所示，有一企鹅在倾角为37°的倾斜冰面上，先以加速度a＝0.5 m/s2从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，t＝8 s时，突然卧倒以肚皮贴着冰面向前滑行，最后退滑到出发点，完成一次游戏(企鹅在滑动过程中姿势保持不变)．若企鹅肚皮与冰面间的动摩擦因数μ＝0.25，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：

(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小；

(2)企鹅在冰面滑动的加速度大小；

(3)企鹅退滑到出发点时的速度大小．(计算结果可用根式表示)

【答案】(1)16 m　(2)8 m/s2　4 m/s2　(3)2 m/s

【解析】

(1)在企鹅向上“奔跑”过程中：x＝at2，

解得x＝16 m.

(2)在企鹅卧倒以后将进行两个过程的运动，第一个过程是从卧倒到最高点，第二个过程是从最高点滑到出发点，两次过程根据牛顿第二定律分别有：

mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma1

mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma2

解得：a1＝8 m/s2，a2＝4 m/s2.

(3)企鹅从卧倒到滑到最高点的过程中，做匀减速直线运动，设时间为t′，位移大小为x′，则有t′＝，x′＝a1t′2，

解得：x′＝1 m.

企鹅从最高点滑到出发点的过程中，设末速度为vt，则有：vt2＝2a2(x＋x′)

解得：vt＝2 m/s.

8．（2022·浙江绍兴·二模）弹射＋滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。飞机在弹射装置作用下使飞机具有一定的初速度，跑道的前一部分是水平的，跑道后一段略微向上翘起。飞机在尾段翘起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小，但能使飞机具有斜向上的速度，有利于飞机的起飞，起飞升力与速度的关系我们可以简化为（升力）L＝kv（），假设某飞机质量为，从静止的航母上滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动，前一段在水平跑道上受到的平均阻力恒为，加速度为，位移为80m，后一段倾斜跑道上的加速度为，路程为100m，飞机恰好能正常起飞，求

（1）求水平加速时的牵引力；

（2）水平跑道到倾斜跑道转折点时的速度；

（3）在跑道上加速的总时间。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

 （1）在水平跑道上加速时

得

（2）飞机起飞速度为

设在转折点的速度为，则倾斜轨道加速过程中

得

（3）设在水平轨道上加速时间为，则

得 ，（舍去）

在倾斜轨道上加速时间为  

得 （或）

所以

9．（2022·山东临沂·二模）冰壶比赛是2022年北京冬奥会比赛项目之一，比赛场地示意图如图。在某次比赛中，中国队运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以速度沿虚线滑出。从此时开始计时，在t=10s时，运动员开始用毛刷一直连续摩擦冰壶前方冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小，最后冰壶恰好停在圆心O处。已知投掷线AB与O之间的距离s=30m，运动员摩擦冰面前冰壶与冰面间的动摩擦因数，摩擦冰面前后冰壶均做匀变速直线运动。重力加速度。求：

（1）t=10s时冰壶的速度及冰壶与AB的距离；

（2）冰壶与被摩擦后的冰面之间的动摩擦因数。

【答案】（1），20m；（2）0.005

【解析】

 （1）不摩擦冰面时，冰壶做匀减速直线运动，设加速度大小为，时速度为，滑行距离为s1，则

解得        

（2）摩擦冰面时冰壶仍做匀减速直线运动，设加速度大小的，滑行距离为，

则

且

解得

10．（2022·福建省龙岩第一中学模拟预测）C919客机是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的干线喷气式客机。已知C919是双发（拥有两台LEAP-1C涡扇发动机）窄体客机，空重，起飞过程从静止开始滑跑，当位移达x=640m时，达到决断速度（若放弃起飞，飞机则会冲出跑道）。设飞机受到的风阻，摩擦力恒为3388N，飞机做匀加速直线运动，若飞机加注5000kg燃油，求滑跑过程中（g取10）

（1）飞机滑跑时加速度的大小

（2）达到决断速度时单个发动机产生的推力大小

（3）已知厦门高崎机场跑道长度为3400m，某次实验飞机载重（含航油）为，起飞加速度为。飞机全功率减速的总阻力恒为。试计算决断速度（最后结果可用根号表示）。

【答案】（1）5m/s2；（2）114514N；（3）m/s

【解析】

 （1）根据

得

（2）根据牛顿第二定律

得

（3）飞机总质量为，故减速加速度

设飞机恰好运动到跑道头，则加速过程运动距离为，减速过程运动距离为，

有

根据

解得

11．（2022·北京·北师大二附中模拟预测）我国自主研制了运20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用描写，k为系数；v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质量为m时，起飞离地速度为v0；装载货物后质量为M，装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。

（1）请用已知量写出k的表达式；

（2）求飞机装载货物后的起飞离地速度v1；

（3）若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行距离d起飞离地，求飞机滑行过程所用的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

 （1）空载起飞时，升力正好等于重力，竖直方向平衡方程

所以

（2）载货起飞时，升力正好等于重力，竖直方向平衡方程

将k代入解得

（3）该飞机装载货物后，初速度为零的匀加速直线运动，则由

解得

根据匀变速速度与时间关系

解得

12．(2022·浙江绍兴市高三月考)2021年5月15日中国自发研制的火星探测器“天问一号”成功登陆火星．探测器登陆过程主要为以下几个过程：首先探测器与环绕器分离，进入火星大气层，经历“气动减速”，假设当速度v2＝500 m/s时打开降落伞，进入“伞降减速阶段”，探测器匀减速下落x＝7.5 km至速度v3；接着降落伞脱落，推力发动机开启，进入“动力减速阶段”，经匀减速下落时间t＝100 s速度减为0，上述减速过程均可简化为探测器始终在竖直下落．在距离火星表面100 m时，探测器进入“悬停阶段”，接着探测器可以平移寻找着陆点；找到安全着陆点后在缓冲装置和气囊保护下进行“无动力着陆”．已知天问一号探测器质量为m＝5×103 kg，降落伞脱离可视为质量不变，火星表面重力加速度g约为4 m/s2，“伞降减速阶段”中降落伞对探测器的拉力为重力的5倍．

(1)求“伞降减速阶段”中探测器的加速度大小；

(2)求“动力减速阶段”中推力发动机对探测器的作用力；

(3)在“悬停阶段”，为寻找合适的着陆点，探测器先向右做匀加速直线运动，再向右做匀减速直线运动，减速阶段的加速度为加速阶段的2倍，平移总位移为6 m，总时间为3 s，求减速阶段中发动机对探测器的作用力与重力的比值．

【答案】(1)16 m/s2　(2)2.5×104 N　(3)

【解析】

(1)“伞降减速阶段”中，由牛顿第二定律得FT－mg＝ma1 ，FT＝5mg

因此a1＝4g＝16 m/s2

(2)由v32＝v22－2a1x

解得v3＝100 m/s

因此“动力减速阶段”的加速度a2＝＝1 m/s2

由牛顿第二定律得F－mg＝ma2

得F＝mg＋ma2＝2.5×104 N

(3)设加速阶段加速度为a3，减速阶段加速度为a4，且a4＝2a3，运动过程中最大速度为vm，由＋＝3 s      ＋＝6 m

解得vm＝4 m/s   a4＝4 m/s2

所以发动机需要提供使其减速的力为F1＝ma4

维持悬停的力为F2＝mg

因此发动机对探测器的作用力为F＝＝mg

则＝.

考点二  等时圆模型

“等时圆”是指物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间，如下图。

13.(多选)如图所示，让物体分别同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑，沿光滑的弦轨道P1A、P2A滑到A处，P1A、P2A与竖直直径的夹角分别为θ1、θ2。则(　　)

A．物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为sin θ1∶sin θ2

B．物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为cos θ1∶cos θ2

C．物体沿P1A、P2A下滑的时间之比为1∶1

D．若两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cos θ1∶cos θ2

【答案】BCD

【解析】

将物体的重力分别沿光滑的弦轨道P1A、P2A方向和垂直轨道方向分解，则沿光滑的弦轨道P1A、P2A方向分力分别为m1gcos θ1和m2gcos θ2，其加速度分别为gcos θ1和gcos θ2，若两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cos θ1∶cos θ2，选项D正确；两物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为cos θ1∶cos θ2，选项A错误；因为弦轨道长度L＝dcos θ，由L＝at2，解得t＝ ，由速度公式v＝at可得，物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为cos θ1∶cos θ2，选项B、C正确。

14.如图所示，PQ为圆的竖直直径，AQ、BQ、CQ为三个光滑斜面轨道，分别与圆相交于A、B、C三点。现让三个小球(可以看作质点)分别沿着AQ、BQ、CQ轨道自端点由静止滑到Q点，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有(　　)

A.v2＞v1＞v3  B.v1＞v2＞v3

C.v3＞v1＞v2  D.v1＞v3＞v2

【答案】A

【解析】　

设任一斜面的倾角为θ，圆的直径为d。根据牛顿第二定律得到a＝gsin θ，斜面的长度为x＝dsin θ，则由x＝at2得t＝＝＝，可见，物体下滑时间与斜面的倾角无关，则有t1＝t2＝t3，根据＝，因x2＞x1＞x3，可知v2＞v1＞v3，故选项A正确。

15.如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为(　　)

A．2∶1　　    B．1∶1          C．∶1 D．1∶

【答案】B

【解析】选B.设光滑斜槽轨道与水平面的夹角为θ，则物体下滑时的加速度为a＝gsin θ，由几何关系，斜槽轨道的长度s＝2(R＋r)sin θ，由运动学公式s＝at2，得t＝　＝　　＝2　　，即所用时间t与倾角θ无关，所以t1＝t2，B项正确．