数学人教版16.1 二次根式同步练习题

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【典例1】若x=a-1a，求x+2+4x+x2x+2-4x+x2的值．
【思路点拨】
先根据x=a-1a求出x的值，表示出（x+2）与（x2+4x）的值，再把原式进行化简，代入即可求出原式的值．
【解题过程】
解：∵x=a-1a，
∴x＝a+1a-2，
∴x+2＝a+1a．
∴x2+4x＝x（x+4）＝（a+1a-2）（a+1a+2）=(a+1a)2-4=(a+1a)2-4a•1a=(a-1a)2．
∵x≥0，
∴a≥1a，
∴a≥1，1a≤1，
∴a-1a≥0．
原式=(x+2+4x+x2)2(x+2-4x+x2)(x+2+4x+x2)，
=(x+2+4x+x2)2(x+2)2-(4x+x2)，
=(x+2+4x+x2)24，
=[a+1a+(a-1a)2]24，
当a≥1a时，
原式=(a+1a+a-1a)24=4a24=a2．
1．（2021春•广西月考）在二次根式8，75，150，127，15中与3是同类二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】
将二次根式进行化简，然后根据同类二次根式的概念进行判断．
【解题过程】
解：8=22，75=53，150=210，127=39，
∴75，127与3是同类二次根式，共2个，
故选：B．
2．（2020秋•平房区期末）若最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【思路点拨】
根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
【解题过程】
解：∵最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，
∴3a-b=24a+3b=2a-b+6，即3a-b=2①a+2b=3②，
①×2+②得：7a＝7，
解得：a＝1，
把a＝1代入②得：1+2b＝3，
解得：b＝1．
故选：D．
3．（2021春•浦东新区校级期中）设x、y都是负数，则x-2xy+y等于（ ）
A．(x-y)2B．(-x--y)2C．-(x+y)2D．-(-x+-y)2
【思路点拨】
根据x、y都是负数，可以将所求式子变形，然后即可化简题目中的式子，本题得以解决．
【解题过程】
解：∵x、y都是负数，
∴x-2xy+y
＝﹣（﹣x+2xy-y）
＝﹣（-x+-y）2，
故选：D．
4．（2021秋•南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※3结果为（ ）
A．33B．-23C．32D．23
【思路点拨】
根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．
【解题过程】
解：原式＝（﹣2）2×3-（﹣2）×3-33
＝43+23-33
＝33，
故选：A．
5．（2021•遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（ ）
A．8B．19C．67D．230-6
【思路点拨】
根据题意求出两个小正方形的边长，可得出大正方形的边长，进而得出答案．
【解题过程】
解：∵两个小正方形面积分别为12，10，
∴两个小正方形的边长分别为23，10，
∴两个小正方形重合部分的边长为23+10-大正方形的边长，
∴两个小正方形的重合部分是正方形，
∵两个小正方形重合部分的面积为3，
∴重合部分的边长为3，
∴大正方形的边长是23+10-3=3+10，
∴空白部分的面积为（3+10）2﹣（12+10﹣3）＝230-6．
故选：D．
6．（2021春•九龙坡区校级月考）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则yx+xy的值是（ ）
A．-52B．52C．±52D．254
【思路点拨】
根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．
【解题过程】
解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴x、y同号，并且x、y都是负数，
解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，
当x＝﹣1，y＝﹣4时，yx+xy=-4-1+-1-4
＝2+12
=52；
当x＝﹣4，y＝﹣1时，yx+xy=-1-4+-4-1
=12+2
=52，
则yx+xy的值是52，
故选：B．
7．（2021春•海淀区校级期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xyx+yxy的值为（ ）
A．5B．25C．±25D．5
【思路点拨】
先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．
【解题过程】
解：xyx+yxy
=xxy|x|+yxy|y|，
∵x，y为实数，xy＝5，
∴x、y同号，
当x＜0，y＜0时，
原式=xxy-x+yxy-y=-xy-xy=-5-5=-25，
当x＞0，y＞0时，
原式=xxyx+yxyy=xyxy=5+5=25，
由上可得，xyx+yxy的值是±25，
故选：C．
8．（2020•武昌区校级自主招生）已知x=12020-2019，则x6﹣22019x5﹣x4+x3﹣22020x2+2x-2020的值为（ ）
A．0B．1C．2019D．2020
【思路点拨】
对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．
【解题过程】
解：∵x=12020-2019=2020+2019，
∴x6﹣22019x5﹣x4+x3﹣22020x2+2x-2020
＝x5（x﹣22019）﹣x4+x2（x﹣22020）+2x-2020
＝x5（2020+2019-22019）﹣x4+x2（2020+2019-22020）+2x-2020
＝x5（2020-2019）﹣x4+x2（2019-2020）+2x-2020
＝x4[x（2020-2019）﹣1]+x2（2019-2020）+2x-2020
＝0+x（2020+2019）（2019-2020）+2x-2020
＝﹣x+2x-2020
＝x-2020
=2019．
故选：C．
9．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：(5-3)(5+3)+1；
（2）计算：125+9227-1224+(5)2；
（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
92-12×(24+323)
=92-12×(24+323)⋯⋯第一步
=322-23×26+23×323⋯⋯第二步
=322-122+62⋯⋯第三步
=922⋯⋯第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；
②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ，该运算正确结果应是 ．
【思路点拨】
（1）利用平方差公式计算；
（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；
（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；
②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．
【解题过程】
解：（1）原式＝5﹣3+1＝3；
（2）原式＝55+9×69-12×26+5
＝55+6-6+5
＝55+5；
（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；
故答案为：商的算术平方根，等于算术平方根的商；
②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是-3322．
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； -3322．
10．（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[xx+y-yy-x-2xyx-y]÷（1x-1y）•（x+y），其中x＝3，y＝2．
【思路点拨】
根据二次根式的化简求值即可求解．
【解题过程】
解：原式＝（xy-x-y-xyy-x+2xyy-x）÷y-xxy•（x+y）
=-(y-x)2y-x•xyy-x•（x+y）
=-(y-x)⋅xy(y+x)(y-x)•（y+x）
=-xy
当x＝3，y＝2时，
原式=-6．
答：原式的值为-6．
11．（2020•杭州模拟）最简根式12(2x-y)x+y与12(y+6)3x+y-2能是同类根式吗？若能，求出x、y的值；若不能，请说明理由．
【思路点拨】
根据同类根式的定义，即可推出12（2x﹣y）=12（y+6），x+y＝3x+y﹣2，通过解二元一次方程组即可推出x和y的值．
【解题过程】
解：假设他们是同类根式，则：12(2x-y)=12(y+6)x+y=3x+y-2，
解得x=1y=-2，
∵当x=1y=-2时，x+y＝﹣1，3x+y﹣2＝﹣1，
∴两根式皆无意义，
∴假设错误，它们不能是同类根式．
12．（2021秋•浦东新区校级月考）已知x＝3+22，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．
【思路点拨】
利用完全平方公式把原式变形，根据二次根式的除法法则求出1x，代入计算即可．
【解题过程】
解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5
＝（x+1x）2+6（x+1x）+5
＝（x+1x+1）（x+1x+5），
∵x＝3+22，
∴1x=13+22=3﹣22，
∴x+1x=3+22+3﹣22=6．
∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．
13．（2021秋•雨花区校级期末）已知x＝3+7，y＝3-7，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）yx+xy．
【思路点拨】
（1）根据完全平方公式对原式进行变形，然后利用二次根式加减法和平方差公式求得x+y与xy的值，从而代入求值；
（2）原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
【解题过程】
解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy，
∵x＝3+7，y＝3-7，
∴x+y＝（3+7）+（3-7）＝3+7+3-7=6，
xy＝（3+7）（3-7）＝9﹣7＝2，
∴原式＝62﹣2×2
＝36﹣4
＝32；
（2）原式=y2+x2xy，
当xy＝2，x2+y2＝32时，
原式=322=16．
14．（2021春•思明区校级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
【思路点拨】
（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解题过程】
解．（1）根据题意知p=a+b+c2=9
所以S=p(p-a)(p-b)(p-c)=9(9-7)(9-5)(9-6)=66
∴△ABC的面积为66；
（2）∵S=12ch1=12bh2＝66
∴12×6h1=12×5h2＝66
∴h1＝26，h2=1256
∴h1+h2=2256．
15．（2020秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+22mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7-21+80．
【思路点拨】
（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解题过程】
解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n）2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为m2+6n2，2mn；
（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n）2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）21+80=20+45+1=(25+1)2=25+1，
则7-21+80
=7-25-1
=6-25
=(5-1)2
=5-1．
16．（2020秋•渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
例如：当x=3+1时，求12x3﹣x2﹣x+2的值．
为解答这道题，若直接把x=3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1=3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．
原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若x=2-1，求2x3+4x2﹣3x+1的值；
（2）已知x＝2+3，求x4-x3-9x2-5x+5x2-4x+3的值．
【思路点拨】
（1）变形已知条件得到x+1=2，两边平方得到x2+2x＝1，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1，然后把x的值代入计算即可；
（2）变形已知条件，利用平方的形式得到x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．
【解题过程】
解：（1）∵x=2-1，
∴x+1=2，
∴（x+1）2＝2，
即x2+2x+1＝2，
∴x2+2x＝1，
∴原式＝2x（x2+2x）﹣3x+1
＝2x﹣3x+1
＝﹣x+1
＝﹣（2-1）+1
＝2-2；
（2）∵x＝2+3，
∴x﹣2=3，
∴（x﹣2）2＝3，
即x2﹣4x+4＝3，
∴x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，
∴原式=(4x-1)2-x(4x-1)-9(4x-1)-5x+5-1+3
=12（16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5x+5）
=12[12（4x﹣1）﹣48x+15）
=12（48x﹣12﹣48x+15）
=12×3
=32．
17．（2020秋•成都期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=34x+11y=5时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．
然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．
把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．
∴方程组的解为x=4y=-1．
请你解决下列两个问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=59x-4y=19．
（2）已知正数x，y满足3x2-2xy+12y2=472x2+xy+8y2=36，求1x-12y的值．
【思路点拨】
（1）把第2个方程变形为3（3x﹣2y）+2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；
（2）利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组x+2y=5xy=2，再利用完全平方公式得到（1x-12y）2=1x+12y-22xy=x+2y2xy-22xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解题过程】
解：（1）3x-2y=5①9x-4y=19②，
把②变形为9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③．
把①代入③，得3×5+2y＝19，
∴y＝2．
把y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，
∴x＝3．
∴方程组的解为x=3y=2；
（2）3x2-2xy+12y2=47①2x2+xy+8y2=36②，
把①变形为3x2+1.5xy+12y2﹣3.5xy＝47，即1.5（2x2+xy+8y2）﹣3.5xy＝47③．
把②代入①，得1.5×36﹣3.5xy＝47，
∴xy＝2．
把xy＝2代入②，得2x2+2+8y2＝36，
∴x2+4y2＝17，
∴x2+4xy+4y2＝17+8，
即（x+2y）2＝25，
∵x＞0，y＞0，
∴x+2y＝5，
∵（1x-12y）2=1x+12y-22xy=x+2y2xy-22xy=54-22×2=14，
∴1x-12y=±12．
18．（2020•浙江自主招生）已知正实数x，y，z满足方程组x1+x=y，y1+y=z，z1+z=x，求该方程组的所有实数解．
【思路点拨】
令x≥y，根据二次根式的性质和分母有理化的知识进行化简即可．
【解题过程】
解：不妨令x≥y，有z1+z≥x1+x，得z+zx≥x+zx，
∴z≥x，
∴z≥y，
∴y1+y≥x1+x，得y+xy≥x+yx，
∴y≥x，
∴y＝x，
∴x＝y＝z，代入解得：x＝y＝z=3-52．