初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理当堂检测题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理当堂检测题，文件包含专题172勾股定理与动点问题压轴题专项讲练人教版解析版docx、专题172勾股定理与动点问题压轴题专项讲练人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。


【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD⊥AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/s，设出发时间为ts．
（1）求BC上的高；
（2）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．
【思路点拨】
（1）过点A作AH⊥BC于H，利用勾股定理即可求出AH的长；
（2）首先利用勾股定理求出CD的长，由△CDP是等腰三角形进行分类，分别是CP＝CD，DC＝DP，PD＝PC三种情形，分别求出PC的长即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH=12BC＝15（cm），
在Rt△ABH中，由勾股定理得，
AH=AB2-BH2=252-152=20（cm），
∴BC上的高为20cm；
（2）由S△ABC=12×BC×AH=12×AC×BD得，
30×20＝25×BD，
∴BD＝24cm，
在Rt△BDA中，由勾股定理得，
AD=AB2-BD2=7（cm），
∴CD＝CA﹣CD＝25﹣7＝18（cm），
①当CP＝CD＝18cm时，t＝（25+25+30﹣18）÷2＝31；
②当DC＝DP时，过点D作DF⊥BC于F，
由面积法得，DF=BD×CDBC=24×1830=725（cm），
由勾股定理得，CF=CD2-DF2=182-(725)2=545（cm），
∴PC＝2CF=1085（cm），
∴t＝（25+25+30-1085）÷2＝29.2；
③当PD＝PC时，设PC＝xcm，则PF＝（x-545）cm，
在Rt△PDF中，由勾股定理得，
x2＝（x-545）2+(725)2，
解得x＝15，
∴PC＝15cm，
∴t＝（25+25+30﹣15）÷2＝32.5，
综上：t＝31或14.2或32.5．
1．（2020秋•仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ）
A．14.8B．15
C．15.2D．16
【思路点拨】
利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．
【解题过程】
解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP=AB⋅BCAC=245=4.8，
∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，
故选：A．
2．（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（ ）
A．62596或252B．252或24或12
C．62596或24或12D．62596或252或24
【思路点拨】
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解题过程】
解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，
∴BC＝24cm．
①当BP＝BA＝25时，
∴t=252．
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，
∴t＝24．
③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，
解得t=62596．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，
故选：D．
3．（2021•赣州模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，连接AC，∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，CD＝2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离为3，则点P的位置有（ ）
A．4处B．3处C．2处D．1处
【思路点拨】
根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．
【解题过程】
解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，
∴AC＝4，AD=AC2-CD2=42-22=23，
∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅CDAC=23×24=3，
∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AB＝BC＝22，
∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅ABAC=22×224=2，
∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3，
∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，
即满足条件的点P有3处，
故选：B．
4．（2020秋•耒阳市期末）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF＝（ ）
A．5B．8C．13D．4.8
【思路点拨】
连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值．
【解题过程】
解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，
∵AC＝BC＝5，AB＝8，
∴BG＝4，CG=BC2-BG2=52-42=3，
∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，
∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，
∵AC＝BC，
∴8×3＝5×（DE+DF）
∴DE+DF＝4.8．
故选：D．
5．（2021秋•碑林区校级期中）已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9B．12C．14D．16
【思路点拨】
根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．
【解题过程】
解：∵AE＝4，EB＝5，
∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，
∵∠DAE＝∠B＝90°，
∴∠DAE+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，
∵∠B＝90°，BC＝12，
∴MN=AB2+BC2=92+122=15；
当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，
MN＝AB＝9，
∴9≤MN≤15，
∴MN的长度不可能是16，
故选：D．
6．（2021秋•漳州期末）如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．
【思路点拨】
分三种情况，当OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB时，由等腰三角形的性质可求出答案．
【解题过程】
解：当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：
①如图，OB＝AB，
∴∠O＝∠OAB，
∵∠AOM＝45°，
∴∠ABO＝90°，
∴OB＝1；
②如图，
OA＝OB=2；
③如图，OA＝AB，
∴∠O＝∠ABO＝45°，
∴∠A＝90°，
∴OB=OA2+AB2=2+2=2．
综上所述，OB的长为1或2或2．
故答案为：1或2或2．
7．（2020•青白江区模拟）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB的长为 ．
【思路点拨】
需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．
【解题过程】
解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝6，故PB＝2．
②当AD＝PD时，
∴∠PAD＝∠APD，
∵∠B＝∠APD＝∠C，
∴∠PAD＝∠C，
∴PA＝PC，
过A作AG⊥BC于G，
∴CG＝4，
∴AG=AC2-CG2=62-42=25，
过P作PH⊥AC于H，
∴CH＝3，
设PC＝x，
∴S△APC=12AG•PC=12AC•PH，
∴5x＝3×PH，
∴PH=53x，
∵PC2＝PH2+CH2，
∴x2＝（53x）2+9，
解得：x=92（负值舍去），
∴PC=92，
∴PB=72；
③当AD＝AP时，点P与点B重合，不合题意．
综上所述，PB的长为2或72．
故答案为：2或72．
8．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．
【思路点拨】
分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
【解题过程】
解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，
∴BC＝AB=42+32=5，
分为3种情况：
①当PB＝PQ时，
∵C点与A点关于直线OB对称，
∴∠BAO＝∠BCO，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BPQ＝∠BCO，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，
∴∠APQ＝∠CBP，
在△APQ与△CBP中，
∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBPQP=PB，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴PA＝BC，
此时OP＝5﹣4＝1；
②当BQ＝BP时，
∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠BQP，
根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴这种情况不存在；
③当QB＝QP时，
∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，
∴PB＝PA，
设OP＝x，则PB＝PA＝4﹣x，
在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，
解得：x=78；
∵点P在AC上，
∴点P在点O左边，
此时OP=78．
∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或78．
故答案为：1或78．
9．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是 ．
【思路点拨】
如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2PA，求出PA的取值范围即可解决问题．
【解题过程】
解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．
∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，
∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，
∵∠BAC＝45°，
∴∠P1AP2是等腰直角三角形，
∴P1P2=2AP2=2PA．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴AD＝DC＝6，
∴AC＝62＞AB，
∵AB＝8，
∴BD＝2，BC=BD2+CD2=4+36=210，
∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，
∴AH=8×6210=12510，
∵12105≤PA≤62，
∴2455≤P1P2≤12．
故答案为2455≤P1P2≤12．
10．（2021秋•泉州期末）如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？
【思路点拨】
由题意知：BC＝AC，设BC＝xcm，则OC＝（36﹣x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，
∴BC＝CA，
设BC＝xcm，则CA＝xcm，
∵OA＝36cm
∴OC＝（36﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°
∴OB2+OC2＝BC2，
∴122+（36﹣x）2＝x2，
解得：x＝20，
∴BC＝20cm．
11．（2021秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；
（3）当AP＝CQ时，求t的值？
【思路点拨】
（1）在直角△ABC中，根据勾股定理来求BC的长度；
（2）在直角△BPQ中，根据勾股定理来求PQ的长度；
（3）由路程＝时间×速度求出AP，BQ，再根据等量关系：AP＝CQ列出方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，
∴BC=AC2-AB2=24cm．
（2）如图，连接PQ，
BP＝7﹣2＝5，
BQ＝6×2＝12，
在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+BQ2=13（cm）；
（3）设t秒后，AP＝CQ．则
t＝24﹣6t，
解得 t=247．
答：P、Q两点运动247秒，AP＝CQ．
12．（2020秋•宝安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）运动几秒后，△PBQ是等腰三角形；
（3）运动过程中，直线PQ能否平分△ABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用勾股定理直接求出BC的长；
（2）根据BP＝BQ，列出方程即可；
（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，则7﹣1×t+6t＝28，但当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，从而说明不存在．
【解题过程】
解：（1）由勾股定理得，
BC=AC2-AB2=252-72=24（cm）；
（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，
∴BP＝BQ，
则7﹣1×t＝6t，
解得t＝1，
∴运动1秒后，△PBQ是等腰三角形；
（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，
则BP+BQ=12(AB+BC+AC)=12(7+24+25)=28（cm），
则7﹣1×t+6t＝28，
解得t=215，
当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，
∴直线PQ不能平分△ABC的周长．
13．（2021秋•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由勾股定理求出BC的长即可；
（2）连接AP，过点P作PE⊥AB于E，则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，证△AEP≌△ACP（AAS），得AE＝AC＝6cm，则BE＝AB﹣AE＝4（cm），再在Rt△BEP中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2-AC2=102-62=8（cm）；
（2）存在，理由如下：
如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，
由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，
连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：
则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，
在△AEP与△ACP中，
∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°AP=AP，
∴△AEP≌△ACP（AAS），
∴AE＝AC＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，
即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，
解得：t=52，
即当t的值为52时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．
14．（2020秋•曲沃县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
【思路点拨】
（1）由题意求得BQ和BP，由勾股定理可求出答案；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）求出BQ，分两种情况可求出答案．
【解题过程】
解：（1）∵运动时间为4秒，
∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），
在Rt△PQB中，根据勾股定理得：
PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；
（2）设运动时间为t秒，则BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），
根据题意得：2t＝16﹣t，
解得：t=163，
即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），
根据三角形面积公式可得：BQ=AB⋅BCAC=12×1620=485（cm），
在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=BC2-BQ2=122-(485)2=365（cm），
（12+365）÷2＝9.6（秒），
当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．
∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，△CQB能形成直角三角形．
15．（2020秋•丹阳市期末）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．
（1）点C到AB边的距离是 ；
（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据勾股定理计算AC的长，进而利用三角形面积公式解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质分四种情况解答即可．
【解题过程】
解：（1）△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵AB＝5，BC＝3，
∵52＝AC2+32，
∴AC＝4，
∴点C到AB边的距离=AC⋅BCAB=3×45=2.4；
故答案为：2.4；
（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，
当P在AB上时，
①BC＝BP，如图1，
∵BP＝t﹣0.5﹣3，
∴t﹣0.5﹣3＝3，
解得：t＝6.5；
②CB＝CP，如图2，
过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，
由（1）知：CD＝2.4，
∵BC＝3，
∴BD=32-2．42=1.8，
∴BP＝3.6，
∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；
③PB＝CP，如图3，
∴∠B＝∠PCB，
∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACP＝∠A，
∴AP＝CP＝BP＝2.5，
∴t＝2.5+0.5+3＝6；
当P在AC上，如图4，CB＝CP＝3，
∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．
综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．
16．（2021春•饶平县校级期中）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．
【思路点拨】
（1）由△ACE≌△ADE（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解题过程】
解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25
∴BC＝20，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAC＝∠EAD，
∵AC⊥CB，DE⊥AB，
∴∠EDA＝∠ECA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴CE＝DE，AC＝AD＝15，
设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10
在Rt△BED中
∴x2+102＝（20﹣x）2，
∴x＝7.5，
∴CE＝7.5．
（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC＝15，
∴AD＝AC＝15．
②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD＝AD，
∴∠DCA＝∠CAD，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴CD＝BD＝DA＝12.5，
③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，
如图1中，作CH⊥BA于点H，
则12•AB•CH=12•AC•BC，
∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CH＝12，
在Rt△ACH中，AH=AC2-CH2=9，
∵CD＝AC，CH⊥BA，
∴DH＝HA＝9，
∴AD＝18．
17．（2020秋•长清区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【思路点拨】
（1）利用勾股定理得出AC＝8cm，进而表示出AP的长，由勾股定理求出PB，进而得出答案；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD＝BC＝6cm，因此BD＝10﹣6＝4cm，设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
【解题过程】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴由勾股定理得PB＝210cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，PD=PCBP=BP，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6 cm，
∴AD＝10﹣6＝4 cm．
设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；
（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．
18．（2020秋•滦南县期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
【思路点拨】
（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解题过程】
解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=AC2+PC2=164=241．
答：AP的长为241．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB=64+256=320=85
若BA＝BP，则 2t＝85，解得t＝45；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5．
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
19．（2021秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长及斜边AB上的高；
（2）①当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为 ；
（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．
【思路点拨】
（1）由勾股定理可求得AC的值，再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；
（2）①根据线段的和差关系解答即可；②根据角平分线的性质解答即可；
（3）分AB作为底和腰两种情况讨论即可．
【解题过程】
解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．
设斜边AB上的高为h，
∵12AB•h=12AC•BC，
∴5h＝3×4，
∴h＝2.4．
∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．
故答案为：2t﹣4．
②若点P在∠ABC的角平分线上，则：
设PM＝PC＝y，则AP＝4﹣y，
在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，
∴22+y2＝（4﹣y）2，
解得y=32，
(4-32)÷2=54，
即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为54．
故答案为：54．
（3）当AB作为底边时，如图所示：
∵APAM=AP2.5=54，
∴AP＝3.125，此时t＝3.125÷2＝1.5625；
当AB作为腰时，如图所示：
AP1＝AB＝5，此时t＝5÷2＝2.5；
AP2＝2AC＝8，此时t＝4，
综上，t的值为1.5625或2.5或4．
20．（2021秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长．
（2）求斜边AB上的高．
（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．
【思路点拨】
（1）根据勾股定理直接求出AC的值；
（2）由勾股定理可求得AC的值，再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；
（3）分两种情况计算即可：①当点P在CB上时，②当点P'在∠BAC的角平分线上时；
（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，当点P在线段AC上时，分三种情况：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC=AB2-BC2=102-62=8；
（2）设边AB上的高为h
则S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅h，
∴12×6×8=12×10⋅h，
∴h=245，
答：斜边AB上的高为245；
（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，
则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC，
有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴PD＝16﹣2t，
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
AP=APPD=PC，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
又∵AB＝10，
∴BD＝2，
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得：t=203．
故答案为：①16﹣2t；②203．
（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，
①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2；
②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH=245，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH=BC2-CH2=62-(245)2=185=3.6，
∴BP＝2BH＝7.2，
∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4；
③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝CQ=12×BC＝3，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ=12×AC=12×8＝4，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=BQ2+PQ2=32+42=5，
点P运动的长度为AP＝2t，
AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，
∴2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5．