高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 强化训练1　不等式中的综合问题

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1．若eq \f(1,a)0，c>0，
所以eq \f(4c,b)＋eq \f(b,c)≥2eq \r(\f(4c,b)·\f(b,c))＝4.
当且仅当eq \f(4c,b)＝eq \f(b,c)时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，
即当b＝eq \f(2,3)，c＝eq \f(1,3)时，eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)取得最小值9.
14．设m＝lg0.30.6，n＝eq \f(1,2)lg20.6，则( )
A．m－n>mn>m＋n B．m－n>m＋n>mn
C．mn>m－n>m＋n D．m＋n>m－n>mn
答案 B
解析 因为m＝lg0.30.6>lg0.31＝0，
n＝eq \f(1,2)lg20.60，
eq \f(1,m)＝lg0.60.3>0，
而>lg0.60.3，
所以－eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，即可得m＋n>0，
因为(m－n)－(m＋n)＝－2n>0，所以m－n>m＋n，
所以m－n>m＋n>mn.故选B.
15．圆M的方程为(x－2－5cs θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 6
解析 设∠CPE＝α，
则∠EPF＝2α，
由切线长定理可得|eq \(PE,\s\up6(→))|＝|eq \(PF,\s\up6(→))|，
|eq \(PC,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(PE,\s\up6(→))|2＋4)，
cs α＝eq \f(|\(PE,\s\up6(→))|,|\(PC,\s\up6(→))|)，
eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝|eq \(PE,\s\up6(→))|·|eq \(PF,\s\up6(→))|cs 2α
＝|eq \(PE,\s\up6(→))|2·(2cs2α－1)
＝|eq \(PE,\s\up6(→))|2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2|\(PE,\s\up6(→))|2,|\(PE,\s\up6(→))|2＋4)－1))
＝eq \f(2|\(PE,\s\up6(→))|4,|\(PE,\s\up6(→))|2＋4)－|eq \(PE,\s\up6(→))|2
＝eq \f(2[|\(PE,\s\up6(→))|2＋4－4]2,|\(PE,\s\up6(→))|2＋4)－|eq \(PE,\s\up6(→))|2
＝2(|eq \(PE,\s\up6(→))|2＋4)－16＋eq \f(32,|\(PE,\s\up6(→))|2＋4)－|eq \(PE,\s\up6(→))|2
＝(|eq \(PE,\s\up6(→))|2＋4)＋eq \f(32,|\(PE,\s\up6(→))|2＋4)－12
＝|eq \(PC,\s\up6(→))|2＋eq \f(32,|\(PC,\s\up6(→))|2)－12，
圆心M的坐标为(2＋5cs θ，5sin θ)，
则|eq \(MC,\s\up6(→))|＝eq \r(2＋5cs θ－22＋5sin θ2)＝5，
由图可得|eq \(MC,\s\up6(→))|－1≤|eq \(PC,\s\up6(→))|≤|eq \(MC,\s\up6(→))|＋1，
即4≤|eq \(PC,\s\up6(→))|≤6，则16≤|eq \(PC,\s\up6(→))|2≤36，
由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋eq \f(32,x)－12在区间[16,36]上单调递增，
所以当|eq \(PC,\s\up6(→))|2＝16时，eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))取得最小值为16＋eq \f(32,16)－12＝6.
16.(2020·郑州模拟)如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.
(1)试用α表示该步行道MN的长度；
(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．
解 (1)因为∠ACB＝eq \f(π,3)，所以∠NCT＝eq \f(π,3)－α，
因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.
在Rt△CMT中，因为CT＝10，所以MT＝10tan α，
在Rt△CNT中，∠NCT＝eq \f(π,3)－α，
所以NT＝10taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，
所以MN＝10tan α＋10taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，其中0