高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 2 第2课时　奇偶性、对称性与周期性

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 2 第2课时　奇偶性、对称性与周期性，共13页。试卷主要包含了函数奇偶性的判定，函数奇偶性的应用，函数的周期性、对称性等内容，欢迎下载使用。
题型一 函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)；
(2)f(x)＝eq \f(lg1－x2,|x－2|－2)；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x0；))
(4)f(x)＝lg2(x＋eq \r(x2＋1))．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq \r(3)，
即函数f(x)的定义域为{－eq \r(3)，eq \r(3)}，关于原点对称．
从而f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－20时，－x0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
命题点2 函数的对称性
例6 (多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于x＝2对称
B．f(x)的图象关于(2,0)对称
C．f(x)的最小正周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
思维升华 对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．
跟踪训练3 (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.
答案 2 696
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3，
又x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，
∴f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝1＋2＋1＝4，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)
＝674×4＝2 696.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
答案 4
解析 ∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．
例1 若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(lg2x)的定义域为________．
答案 [eq \r(2)，4]
解析 对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f(lg2x)，2－1≤lg2x≤2，
∴eq \r(2)≤x≤4.
故y＝f(lg2x)的定义域为[eq \r(2)，4]．
例2 已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)求证：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．
(1)解 令a＝1，b＝1，
得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0，
令a＝b＝－1，
∴f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.
(2)证明 令a＝eq \f(1,x)，b＝x，
得f(1)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝0，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)．
(3)解 令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，
令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.
例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)0，
∴f(x1)