高考数学二轮复习专题16 解析几何中的圆问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·全国乙理) 过四点 SKIPIF 1 < 0 中的三点的一个圆的方程为____________．
2．(2022·全国甲文) 设点M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为
_____________．
3．(2022·北京) 若直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B SKIPIF 1 < 0 C．1 D． SKIPIF 1 < 0
4．(2022·新高考Ⅰ)写出与圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都相切的一条直线的方程________________．
5．(2022·新高考Ⅱ) 设点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共
点，则a的取值范围是________．
【知识总结】
1．圆的定义和圆的方程
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|3．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
4．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
5．直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2)．
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN)．
【题型突破】
题型一 圆的方程
1．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
2．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
3．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的
圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
4．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
5．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
9．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正
确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3) B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2,3)在圆M内
10．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π
题型二 与圆有关的最值问题
11．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4
12．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝
90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
14．已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B．eq \f(17,4) C．eq \f(29,5) D．eq \f(13\r(13),4)
15．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值
是________．
16．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
17．等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值
为( )
A．－5－2eq \r(3) B．－5－4eq \r(3) C．－6－2eq \r(3) D．－6－4eq \r(3)
18．已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)
到直线AB距离的最大值为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
19．若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为( )
A．eq \f(π,2) B．π C．2π D．3π
题型三 直线与圆的位置关系
20．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切
21．(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
22．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线
l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
23．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正
确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
24．(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则
m等于( )
A．±2 B．±eq \r(2) C．±eq \r(3) D．±eq \r(5)
25．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0
26．若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为( )
A．eq \f(π,2) B．π C．2π D．3π
27．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2) D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
28．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线
AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．
29．(多选)(2022·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为( )
A．l与C可能相离 B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq \f(3\r(2),2) D．l被C截得的最短弦长为4
题型四 圆与圆的位置关系
30．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
31．已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(11,2)，则这两圆的公共弦长为( )
A．5 B．2eq \r(2) C．2 D．1
32．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y
－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
33．若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
34．圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为
______________，公共弦长为________．
35．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)
36．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大
值是________．
37．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3) C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3)
38．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范
围是( )
A．(－∞，1－5eq \r(2))∪(1＋5eq \r(2)，＋∞) B．(1－5eq \r(2)，1＋5eq \r(2))
C．(－∞，1－eq \r(2))∪(1＋eq \r(2)，＋∞) D．(1－eq \r(2)，1＋eq \r(2))定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|