高考数学二轮复习专题17 解析几何中的椭圆问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·全国甲文) 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为C的左、右顶点，B为
C的上顶点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．(2022·全国甲理) 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．(2022·新高考Ⅰ) 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，C的上顶点为A，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．过
SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于D，E两点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是________________．
4．(2022·新高考Ⅱ) 已知直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，
N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则l的方程为___________．
【知识总结】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2．
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的简单几何性质
【题型突破】
题型一 椭圆的标准方程
1．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方
程为( )
A．eq \f(4x2,25)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差
数列，则椭圆的方程为( )
A．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
3．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|
＝6，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C．eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
4．(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若
AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
5．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|
＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
6．设F1，F2分别是椭圆E： SKIPIF 1 < 0 (0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，
若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．
7．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝eq \f(1,2)x的对称点在椭圆C上，则椭
圆C的方程为________________．
8．椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率为e1，双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为e2，其中，a>b>0，eq \f(e1,e2)＝eq \f(\r(3),3)，直
线l：x－y＋3＝0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
9．若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在x轴上，过点(1， SKIPIF 1 < 0 )作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C
的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
题型二 椭圆中的求值
11．(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2
为等腰三角形，则M的坐标为____________．
12．已知椭圆E：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，则l的方程为( )
A．2x＋9y－10＝0 B．2x－9y－10＝0 C．2x＋9y＋10＝0 D．2x－9y＋10＝0
13．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B，直线AF2与该椭圆交于A、
M两点．若∠F1AF2＝120°，则直线BM的斜率为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(\r(3),4) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)
14．已知P为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭
圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，则d＝________．
15．已知直线MN过椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，
且与椭圆交于P，Q两点，则eq \f(|PQ|2,|MN|)＝________．
16．已知点P(x，y)在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,100)＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2
的余弦值为________．
17．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋eq \r(2)y－2eq \r(2)＝0与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右
焦点F(c，0)关于直线l：y＝eq \f(c,b)x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．1 D．2
18．如图所示，A1，A2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，
点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则 SKIPIF 1 < 0 ＝( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(9,4) D．eq \f(4,9)
19．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A．eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．eq \r(3)
20．设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|
∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
题型三 椭圆的离心率
21．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆
与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
22．(2016·全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆
的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
23．(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，
则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
24．(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A
且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
25．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆
交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
26．(2018·浙江)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1关于直线y＝－eq \r(3)c的对称点Q在椭圆上，
则椭圆的离心率是( )
A．eq \r(3)－1 B．eq \f(\r(3)＋1,2) C．2－eq \r(3) D．eq \f(\r(3),3)
27．(2018·北京)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭
圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
28．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＋c))2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的
离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),5))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),5)，\f(\r(3),5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),5)，\f(\r(5),5)))
29．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半
径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
30．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1
⊥BF1，且∠AF1O＝eq \f(π,3)，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2eq \r(3) B．4 C．2eq \r(5) D．2eq \r(6)
题型四 椭圆中的最值与范围
31．过椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的
最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
32．已知点F为椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|
＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
33．椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的
面积是( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(6\r(5),5) C．eq \f(8\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
34．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|
－|PF1|的最小值为________．
35．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，
则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________．
36．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆F2，P为椭圆C上
一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________．
37．在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有eq \(F1P,\s\up7(→))·eq \(F2P,\s\up7(→))≤1，则eq \(F1P,\s\up7(→))与eq \(F2Q,\s\up7(→))的夹角余弦值的
范围为________．
38．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O
有四个不同的公共点，则a的取值范围是________．
39．(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
40．已知点P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0a，b，c的关系
a2＝b2＋c2