高考数学二轮复习专题18 解析几何中的双曲线问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题18　解析几何中的双曲线问题
【高考真题】
1．(2022·北京) 已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
2．(2022·全国甲理) 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
3．(2022·全国甲文) 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无
公共点”的e的一个值______________．
4．(2022·全国乙理) 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C
的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．(2022·浙江) 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点
，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

【知识总结】
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点F1，F2．
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【题型突破】
题型一　双曲线的标准方程
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1
有公共焦点，则C的方程为(　　)
A．－＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．－＝1　　　　　D．－＝1
2．(2016·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂
直，则双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1　　　　B．x2－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1
3．(2018·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于
A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．－＝1　　　　　D．－＝1
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边
三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 　　　　　B．－＝1　　　　　C．－y2＝1　　　　　D．x2－＝1
5．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相
交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1　　　　B．－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1
6．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中
点为，则的方程式为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C
的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1　　　　B．－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M．若△FOM
的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为(　　)
A．x2－＝1　　　　B．－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1
9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐
标为－，则此双曲线的方程是(　　)．
A．－＝1　　　　B．－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1
10．双曲线－＝1(a，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2
的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1　　　　　B．x2－＝1　　　　　C．x2－＝1　　　　　D．－y2＝1
题型二　双曲线中的求值
11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐
近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|等于(　　)
A．　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．4
12．(2019·全国Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|
＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)
A． 　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
13．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC
＝θ，若Γ的离心率为，则(　　)
A．θ∈　　　　　　B．θ＝　　　　　　C．θ∈　　　　　　D．θ＝
14．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．
15．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F
为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．

16．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A、B两点，若P为AB中点，则|AB|＝(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
18．已知双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△
PF1F2的面积为(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
19．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，
若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为(　　)
A．2a2　　　　　　　　B．a2　　　　　　　　C．30a2　　　　　　　　D．15a2
20．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使
＝e，则·的值为(　　)
A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－3　　　　　　　　D．－2
题型三　双曲线的离心率
21．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．或　　　　　　　　D．或2
22．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A．2sin 40°　　　　　　　　B．2cos 40°　　　　　　　　C.　　　　　　　　D.
23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两
条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
24．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，
sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
25．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，
若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
26．已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲
线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．10
27．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为
N(12，15)，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
28．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线
l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若＝3，则该双曲线的离心率为(　　)
A． 　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
29．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于
A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
30．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且＝3，若OM⊥FN，
则C的离心率为(　　)
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．
题型四　双曲线的渐近线
31．(2018·全国Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　B．y＝±x　　　　C．y＝±x　　　　D．y＝±x
32．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一
象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　　B．y＝±x　　　　　　C．y＝±2x　　　　　　D．y＝±2x
33．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(1，0)作x轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，O为坐标
原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为________．
34．已知双曲线C：－＝1(a，b>0)的右顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1∶，则C的
渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　B．y＝±x　　　　　C．y＝±2x　　　　　D．y＝±x
35．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，F为其一个焦点，若F关于l1的对称点在l2
上，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x　　　　　B．y＝±x　　　　　C．y＝±3x　　　　　D．y＝±x
36．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，
且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x　　　　　B．y＝±x　　　　　C．y＝±x　　　　　D．y＝±x
37．已知F2，F1是双曲线－＝1(a>0，b>0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别
交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　B．y＝±x　　　　　C．y＝±x　　　　　　D．y＝±x
38．已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2
最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．x±y＝0　　　　B．x±y＝0　　　　C．x±2y＝0　　　　D．2x±y＝0
题型五　双曲线中的最值与范围
39．P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是
双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．1　　　　　　B．2＋　　　　　　C．4＋　　　　　　D．2＋1
40．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线上在第一
象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)
A．8　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．4＋3　　　　　　　　D．3＋3
41．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，
切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)
A．10　　　　　　　　B．13　　　　　　　　C．16　　　　　　　　D．19
42．设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上
的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　B．5　　　　　　　　　　C．6　　　　　　　　　　D．7
43．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一
点，则·的取值范围为________．
44．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，
3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
45．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，
若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则·的最小值的取值范围是________．