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高考数学二轮复习专题20 排列组合问题(2份打包，教师版+原卷版)
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这是一份高考数学二轮复习专题20 排列组合问题(2份打包，教师版+原卷版)，文件包含高考数学二轮复习专题20排列组合问题教师版doc、高考数学二轮复习专题20排列组合问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1．(2022·新高考Ⅱ) 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
1．答案 B 解析 因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,
有 SKIPIF 1 < 0 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： SKIPIF 1 < 0 种不同的排列方式，故选B．
【方法总结】
1．解决排列组合综合问题的三大途径
(1)从特殊元素出发，事件分类，用加法；
(2)从特殊位置出发，事件分步，用乘法；
(3)从对立事件出发，用减法．
2．解决排列与组合问题的四大原则
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
3．解决排列与组合问题的十大方法
(1)重复排列住店法；(2)特色元素优先法；(3)相邻问题捆绑法；(4)相间问题插空法；(5)定序问题用除法；(6)分排问题直排法；(7)先选后排综合法；(8)多元问题分类法；(9)分球问题隔板法；(10)正难则反间接法．
【题型突破】
题型一 多面手问题
1．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和
日语的各一人到边远地区支教，则有________种不同的选法．
1．答案 20 解析 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
2．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，
现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有________种不同的选派法．
2．答案 185 解析 方法一 设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＝5(种)，A，
B都在内且当钳工的选派方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(4,4)＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,4)＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)＝40(种)，所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．
方法二 5名男钳工有4名被选上的方法有Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,2)＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,4)＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．
方法三 4名女车工都被选上的方法有Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2)＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法．
3．某歌舞有10人参加演出，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中
选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，则有________种不同的选法．
3．答案 675 解析 方法一 Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(0,3)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＝675(种)
方法二 Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(0,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,5)＝675(种)
4．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，
共有______种不同的选法．
4．答案 12 解析 Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)＝12(种)．
5．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会唱歌的，1
名会跳舞的去参加文艺演出，则共有法______种．
5．答案 15 解析 Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,3)＝12(种)．
6．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工
作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．
6．答案 42 解析 可以分三类：第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)种选
法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3)种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)种选法．根据分类加法计数原理，一共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)＝42(种)不同的选法．
7．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安
排2人排版，2人印刷，有________种不同的安排方法．
7．答案 37 解析 Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(0,2) Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＝37(种)
8．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派
划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种 B．68种 C．74种 D．92种
8．答案 D 解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方
法有Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(3,6)种，有一个“多面手”的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(3,5)种，有两个“多面手”的选派方法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(3,4)种，即共有20＋60＋12＝92(种)不同的选派方法．
9．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，
现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有( )种不同的选法．
A．225 B．185 C．145 D．110
9．答案 B 解析 方法一 Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)＋Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)＝185(种)．
方法二 Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,4)＝185(种)
方法三 Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2) ＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)＝185(种)
10．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人．从中选出4人担任“一带一
路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．
10．答案 60 解析 Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,4)＝60(种)
题型二 特殊元素(位置)问题
11．(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________
个没有重复数字的四位数(用数字作答)．
11．答案 1 260 解析 若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)；若取的4个数
字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)．综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝720＋540＝1 260．
12．如果一个三位数abc同时满足a>b且b数是 ．
12．答案 285 解析 根据题意，按十位数字分类讨论：①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个
数为0．②十位数字是8时，只有989，此时三位“凹数”的个数为1．③十位数字是7时，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为2×2＝4．④十位数字是6时，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为3×3＝9．⑤十位数字是5时，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4×4＝16．⑥十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5×5＝25．⑦十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6×6＝36．⑧十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7×7＝49．⑨十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8×8＝64．⑩十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9×9＝81，所以所有不同的三位“凹数”的个数是1＋4＋…＋81＝285．
13．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中
至少有1名女生，则共有________种不同的选法(用数字作答)．
13．答案 660 解析 法一：只有1名女生时，先选1名女生，有Ceq \\al(1,2)种方法；再选3名男生，有Ceq \\al(3,6)种方
法；然后排队长、副队长位置，有Aeq \\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(2,4)＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有Ceq \\al(2,6)种方法；然后排队长、副队长位置，有Aeq \\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(2,6)Aeq \\al(2,4)＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．
法二：不考虑限制条件，共有Aeq \\al(2,8)Ceq \\al(2,6)种不同的选法，而没有女生的选法有Aeq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)种，故至少有1名女生的选法有Aeq \\al(2,8)Ceq \\al(2,6)－Aeq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)＝840－180＝660(种)．
14．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代
表团人员(含A，B两代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
14．答案 B 解析 如果仅有A，B两代表团入住a宾馆，则余下3个代表团必有2个人住同一个宾馆，
此时不同的安排种数为Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6．如果A，B两代表团及余下3个代表团中的1个入住a宾馆，则剩下2个代表团分别入住b，c宾馆，此时不同的安排种数为Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6．综上，不同的安排种数为12，故选B．
15．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关
系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
15．答案 B 解析 根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩
子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有Ceq \\al(2,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B．
16．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1
号瓶内，那么不同的放法种数为( )
A．Ceq \\al(2,10)Aeq \\al(4,8) B．Ceq \\al(1,9)Aeq \\al(5,9) C．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9) D．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,8)
16．答案 C 解析 先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有Ceq \\al(1,8)种选法，再排
剩余的瓶子，有Aeq \\al(5,9)种方法，故不同的放法共有Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9)种，故选C．
17．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲
景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18 C．16 D．10
17．答案 D 解析 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有Aeq \\al(3,3)种可选的路线；第二种：不在最后
体验甲景区，则有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝10．故选D．
18．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲
景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18 C．16 D．10
18．答案 D 解析 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有Aeq \\al(3,3)种可选的路线；第二种：不在最后
体验甲景区，则有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)＝10．
19．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和
乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种 C．22种 D．20种
19．答案 B 解析 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别
推荐给甲大学和乙大学，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
20．2021年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛
国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有( )
A．144种 B．24种 C．12种 D．6种
20．答案 D 解析 由题意，得若甲承担仰泳，则乙运动员有Ceq \\al(1,2)＝2种安排方法，其他两名运动员有Aeq \\al(2,2)
＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有Aeq \\al(2,2)＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法，故选D．
题型三 相邻问题与相间问题
21．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
21．答案 C 解析 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有Ceq \\al(1,2)种选法，乙、丙相邻，
捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(2,2)＝96(种)排法．故选C．
22．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三
位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 种．
22．答案 120 解析 ①当甲排在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有Aeq \\al(4,4)×Aeq \\al(2,2)＝48种．②当甲排在第二位，
首位不能是丙和丁，共有3×Aeq \\al(3,3)×Aeq \\al(2,2)＝36种．③当甲排在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(2,3)×Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝36种．因此共有48＋36＋36＝120种编排方案．
23．北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，
3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
23．答案 C 解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)不同排法，剩
1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；则女性领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法．
24．三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( )
A．72 B．144 C．240 D．288
24．答案 D 解析 第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2
种排法，故有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,2)＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有Aeq \\al(3,3)＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种，故选D．
25．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精
神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．
25．答案 72 解析 先在4个视频中选择2个视频，有Ceq \\al(2,4)种方法，再按一定顺序排列有Aeq \\al(2,2)种方法，最
后把2篇文章插入2个视频形成的3个空位中有Aeq \\al(2,3)种方法，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝72(种)．
26．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有
____种．
26．答案 36 解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)种方法，
将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种方法．于是符合题意的摆法共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)．
27．为迎接元旦的到来，某学校高中部决定举行歌唱比赛．已知高中三个年级各推选了2个班级，共6个
班级进行比赛．现要求同一年级的2个班级的节目不连排，则节目编排的不同方法共有________种．
27．答案 240 解析 不妨记高一、高二、高三每个年级推选的2个班级分别为A1，A2，B1，B2，C1，
C2．可根据A1，A2之间的班级个数进行分类计论．当A1，A2之间有1个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,2)·(Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2))＝96(种)；当A1，A2之间有2个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)·(Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2))＝96(种)；当A1，A2之间有3个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝32(种)；当A1，A2之间有4个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)＝16(种)．综上，不同的排法共有96＋96＋32＋16＝240(种)，
28．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出
场，且女生甲不能排在第一个，求出场顺序的排法种数，下列列式错误的是( )
A．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3) B．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3) C．Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3) D．Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)
28．答案 C 解析 若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
Aeq \\al(3,3)种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种．∴满足条件的出场顺序有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种，故A正确；先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个排男生，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)种，若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选2个排男生，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种，∴满足条件的出场顺序有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种，故B正确；5位选手全排列的方法数Aeq \\al(5,5)减去2位男生连续出场的方法数Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)，再减去女生甲排在第一个的方法数Aeq \\al(4,4)．∵多减去了2位男生既连续出场，女生甲又排在第一个的方法数Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)，∴满足条件的出场顺序有Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种，故D正确．故选C．
29．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆
放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A．Aeq \\al(5,5)种 B．Aeq \\al(2,2)种 C．Aeq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)种 D．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)种
29．答案 D 解析 由于红色菊花放正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，故红菊花两边各有
一盆白色和黄色菊花．故有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝16种不同摆放方法．
30．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相
邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
30．答案 B 解析 法一 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声
节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□，小品1，歌舞1，小品2，□，相声，□”，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□，小品1，□，相声，□，小品2，□”．有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,4)＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
法二 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(3,4)＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．
题型四 涂色与种植问题
31．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求相邻的2个格子颜
色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)
31．答案 750 解析 首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三
个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．
32．如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各
不相同，共有________种不同的涂法．
32．答案 18 解析 ①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依
次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6(种)不同的涂法．所以根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18(种)不同的涂法．
33．如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1
种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法(用数字作答)．
33．答案 260 解析 区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：
若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．
34．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同
的涂法有________种．
34．答案 72 解析 法一 首先涂A有4种涂法，再涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂
法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．
法二 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．
35．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不
同的涂色方法有________种．
35．答案 180 解析 依次给区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ涂色分别有5，4，3，3种方法，根据分步乘法计数原
理，不同的涂色方法的种数为5×4×3×3＝180．
36．用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
则不同的涂色方法种数为( )
A．120 B．160 C．180 D．240
36．答案 C 解析 根据题意，因为规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，
区域A有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．故选C．
37．如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，
相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________(用数字作答)．
37．答案 96 解析 按区域1与3是否同色分类：①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再
涂区域2，4，5(还有3种颜色)有Aeq \\al(3,3)种方法．∴区域1与3涂同色，共有4Aeq \\al(3,3)＝24种方法．②区域1与3不同色：先涂区域1与3有Aeq \\al(2,4)种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有Aeq \\al(2,4)×2×1×3＝72种方法．由分类加法计数原理， 不同的涂色种数为24＋72＝96．
38．如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图．现在提供5种颜色给5
个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为( )
A．120 B．26 C．340 D．420
38．答案 D 解析 如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：
①区域A有5种颜色可选；②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选；③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选；④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择．综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种)．
39．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜
色不同，则不同的涂色方法有( )
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
39．答案 C 解析 分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，
有4×3×2＝24种；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种．故不同的涂色方法有48＋24＝72种．
40．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5
种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为________．
40．答案 420 解析 按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C
同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法．第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法．根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．
题型五 不同元素分组分配问题
41．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相
应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
41．答案 90 解析 先把6个毕业生平均分成3组，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，
有Aeq \\al(3,3)＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90种分派方法．
42．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研
究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A．eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3))Aeq \\al(4,4)种 B．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34种 C．eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))43种 D．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)43种
42．答案 B 解析 方法一 首先将12名同学平均分成四组，有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))种分法，然后将这四组同学分
配到四个不同的课题组，有Aeq \\al(4,4)种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))·Aeq \\al(4,4)·34＝Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34(种)，故选B．
方法二 根据题意可知，第一组分3名同学有Ceq \\al(3,12)种分法，第二组分3名同学有Ceq \\al(3,9)种分法，第三组分3名同学有Ceq \\al(3,6)种分法，第四组分3名同学有Ceq \\al(3,3)种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(3,3)34种，故选B．
43．(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安
排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
43．答案 36 解析 由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2
组各1人，有Ceq \\al(2,4)＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有Aeq \\al(3,3)＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
44．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算
(即筹算)太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有( )
A．eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5)A\\al(3,3),A\\al(2,2))种 B．eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5)A\\al(2,2),A\\al(3,3))种 C．eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5),A\\al(2,2))种 D．Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5)种
44．答案 A 解析 先将14种计算器械分为三组，方法数为eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5),A\\al(2,2))，再分给3个人，方法数为eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5),A\\al(2,2))
×Aeq \\al(3,3)，故选A．
45．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，
剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )
A．90种 B．180种 C．270种 D．360种
45．答案 B 解析 根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有Ceq \\al(1,6)＝
6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有Ceq \\al(1,5)＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案．
46．(2020·新高考Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，
乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
46．答案 C 解析 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有Ceq \\al(1,6)种选法，再从剩余的5名同学中选2名
安排到乙场馆，有Ceq \\al(2,5)种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有Ceq \\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法．
47．(2020·新高考Ⅱ)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少
1人，则不同的分配方案共有( )
A．4种 B．5种 C．6种 D．8种
47．答案 C 解析 先将3名大学生分成2组，有Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(2,2)种分法，再分配到2个村，有Aeq \\al(2,2)种分法，则不
同的分配方案共有Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝6(种)．
48．(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
48．答案 ABC 解析 对A，先从6本书中分给甲2本，有Ceq \\al(2,6)种方法；再从其余的4本书中分给乙2
本，有Ceq \\al(2,4)种方法；最后的2本书给丙，有Ceq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90种，故A正确；对B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有Ceq \\al(4,6)种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有Ceq \\al(4,6)Aeq \\al(3,3)＝90种，故B正确；对C，6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)种方法；其余2本分给丙、丁，有Aeq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)＝180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人， 所以不同的分配方法有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(4,4)＝1 080种，故D错误．
49．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛．若每个同
学可以自由选择，则不同的选择种数是 ，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是 ．(用数字作答)
49．答案 243 30 解析 若每个同学可以自由选择，由分步乘法计数原理可得，不同的选择种数是35
＝243；因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案．当分配方案为2，2，1时，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝18种；当分配方案为3，1，1时，共有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12种．所以不同的选择种数是18＋12＝30．
50．(多选)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是( )
A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
50．答案 BCD 解析 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故
A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有Ceq \\al(2,4)(Aeq \\al(2,2)＋1)＝18(种)放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有Ceq \\al(1,4)·eq \f(C\\al(1,4)·C\\al(1,3)·C\\al(2,2)·A\\al(3,3),A\\al(2,2))＝144(种)放法，故C正确；若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)共9种放法，故D正确．故选BCD．
1．(2022·新高考Ⅱ) 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
1．答案 B 解析 因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,
有 SKIPIF 1 < 0 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： SKIPIF 1 < 0 种不同的排列方式，故选B．
【方法总结】
1．解决排列组合综合问题的三大途径
(1)从特殊元素出发，事件分类，用加法；
(2)从特殊位置出发，事件分步，用乘法；
(3)从对立事件出发，用减法．
2．解决排列与组合问题的四大原则
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
3．解决排列与组合问题的十大方法
(1)重复排列住店法；(2)特色元素优先法；(3)相邻问题捆绑法；(4)相间问题插空法；(5)定序问题用除法；(6)分排问题直排法；(7)先选后排综合法；(8)多元问题分类法；(9)分球问题隔板法；(10)正难则反间接法．
【题型突破】
题型一 多面手问题
1．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和
日语的各一人到边远地区支教，则有________种不同的选法．
1．答案 20 解析 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
2．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，
现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有________种不同的选派法．
2．答案 185 解析 方法一 设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＝5(种)，A，
B都在内且当钳工的选派方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(4,4)＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,4)＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)＝40(种)，所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．
方法二 5名男钳工有4名被选上的方法有Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,2)＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,4)＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．
方法三 4名女车工都被选上的方法有Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2)＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法．
3．某歌舞有10人参加演出，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中
选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，则有________种不同的选法．
3．答案 675 解析 方法一 Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(0,3)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＝675(种)
方法二 Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(0,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,5)＝675(种)
4．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，
共有______种不同的选法．
4．答案 12 解析 Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)＝12(种)．
5．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会唱歌的，1
名会跳舞的去参加文艺演出，则共有法______种．
5．答案 15 解析 Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,3)＝12(种)．
6．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工
作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．
6．答案 42 解析 可以分三类：第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)种选
法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3)种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)种选法．根据分类加法计数原理，一共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)＝42(种)不同的选法．
7．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安
排2人排版，2人印刷，有________种不同的安排方法．
7．答案 37 解析 Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(0,2) Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＝37(种)
8．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派
划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种 B．68种 C．74种 D．92种
8．答案 D 解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方
法有Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(3,6)种，有一个“多面手”的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(3,5)种，有两个“多面手”的选派方法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(3,4)种，即共有20＋60＋12＝92(种)不同的选派方法．
9．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，
现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有( )种不同的选法．
A．225 B．185 C．145 D．110
9．答案 B 解析 方法一 Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)＋Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)＝185(种)．
方法二 Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,4)＝185(种)
方法三 Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2) ＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)＝185(种)
10．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人．从中选出4人担任“一带一
路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．
10．答案 60 解析 Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,4)＝60(种)
题型二 特殊元素(位置)问题
11．(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________
个没有重复数字的四位数(用数字作答)．
11．答案 1 260 解析 若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)；若取的4个数
字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)．综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝720＋540＝1 260．
12．如果一个三位数abc同时满足a>b且b
12．答案 285 解析 根据题意，按十位数字分类讨论：①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个
数为0．②十位数字是8时，只有989，此时三位“凹数”的个数为1．③十位数字是7时，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为2×2＝4．④十位数字是6时，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为3×3＝9．⑤十位数字是5时，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4×4＝16．⑥十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5×5＝25．⑦十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6×6＝36．⑧十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7×7＝49．⑨十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8×8＝64．⑩十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9×9＝81，所以所有不同的三位“凹数”的个数是1＋4＋…＋81＝285．
13．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中
至少有1名女生，则共有________种不同的选法(用数字作答)．
13．答案 660 解析 法一：只有1名女生时，先选1名女生，有Ceq \\al(1,2)种方法；再选3名男生，有Ceq \\al(3,6)种方
法；然后排队长、副队长位置，有Aeq \\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(2,4)＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有Ceq \\al(2,6)种方法；然后排队长、副队长位置，有Aeq \\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(2,6)Aeq \\al(2,4)＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．
法二：不考虑限制条件，共有Aeq \\al(2,8)Ceq \\al(2,6)种不同的选法，而没有女生的选法有Aeq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)种，故至少有1名女生的选法有Aeq \\al(2,8)Ceq \\al(2,6)－Aeq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)＝840－180＝660(种)．
14．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代
表团人员(含A，B两代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
14．答案 B 解析 如果仅有A，B两代表团入住a宾馆，则余下3个代表团必有2个人住同一个宾馆，
此时不同的安排种数为Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6．如果A，B两代表团及余下3个代表团中的1个入住a宾馆，则剩下2个代表团分别入住b，c宾馆，此时不同的安排种数为Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6．综上，不同的安排种数为12，故选B．
15．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关
系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
15．答案 B 解析 根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩
子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有Ceq \\al(2,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B．
16．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1
号瓶内，那么不同的放法种数为( )
A．Ceq \\al(2,10)Aeq \\al(4,8) B．Ceq \\al(1,9)Aeq \\al(5,9) C．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9) D．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,8)
16．答案 C 解析 先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有Ceq \\al(1,8)种选法，再排
剩余的瓶子，有Aeq \\al(5,9)种方法，故不同的放法共有Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9)种，故选C．
17．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲
景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18 C．16 D．10
17．答案 D 解析 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有Aeq \\al(3,3)种可选的路线；第二种：不在最后
体验甲景区，则有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝10．故选D．
18．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲
景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18 C．16 D．10
18．答案 D 解析 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有Aeq \\al(3,3)种可选的路线；第二种：不在最后
体验甲景区，则有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)＝10．
19．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和
乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种 C．22种 D．20种
19．答案 B 解析 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别
推荐给甲大学和乙大学，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
20．2021年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛
国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有( )
A．144种 B．24种 C．12种 D．6种
20．答案 D 解析 由题意，得若甲承担仰泳，则乙运动员有Ceq \\al(1,2)＝2种安排方法，其他两名运动员有Aeq \\al(2,2)
＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有Aeq \\al(2,2)＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法，故选D．
题型三 相邻问题与相间问题
21．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
21．答案 C 解析 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有Ceq \\al(1,2)种选法，乙、丙相邻，
捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(2,2)＝96(种)排法．故选C．
22．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三
位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 种．
22．答案 120 解析 ①当甲排在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有Aeq \\al(4,4)×Aeq \\al(2,2)＝48种．②当甲排在第二位，
首位不能是丙和丁，共有3×Aeq \\al(3,3)×Aeq \\al(2,2)＝36种．③当甲排在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(2,3)×Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝36种．因此共有48＋36＋36＝120种编排方案．
23．北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，
3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
23．答案 C 解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)不同排法，剩
1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；则女性领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法．
24．三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( )
A．72 B．144 C．240 D．288
24．答案 D 解析 第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2
种排法，故有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,2)＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有Aeq \\al(3,3)＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种，故选D．
25．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精
神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．
25．答案 72 解析 先在4个视频中选择2个视频，有Ceq \\al(2,4)种方法，再按一定顺序排列有Aeq \\al(2,2)种方法，最
后把2篇文章插入2个视频形成的3个空位中有Aeq \\al(2,3)种方法，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝72(种)．
26．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有
____种．
26．答案 36 解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)种方法，
将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种方法．于是符合题意的摆法共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)．
27．为迎接元旦的到来，某学校高中部决定举行歌唱比赛．已知高中三个年级各推选了2个班级，共6个
班级进行比赛．现要求同一年级的2个班级的节目不连排，则节目编排的不同方法共有________种．
27．答案 240 解析 不妨记高一、高二、高三每个年级推选的2个班级分别为A1，A2，B1，B2，C1，
C2．可根据A1，A2之间的班级个数进行分类计论．当A1，A2之间有1个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,2)·(Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2))＝96(种)；当A1，A2之间有2个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)·(Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2))＝96(种)；当A1，A2之间有3个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝32(种)；当A1，A2之间有4个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)＝16(种)．综上，不同的排法共有96＋96＋32＋16＝240(种)，
28．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出
场，且女生甲不能排在第一个，求出场顺序的排法种数，下列列式错误的是( )
A．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3) B．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3) C．Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3) D．Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)
28．答案 C 解析 若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
Aeq \\al(3,3)种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种．∴满足条件的出场顺序有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种，故A正确；先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个排男生，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)种，若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选2个排男生，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种，∴满足条件的出场顺序有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)种，故B正确；5位选手全排列的方法数Aeq \\al(5,5)减去2位男生连续出场的方法数Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)，再减去女生甲排在第一个的方法数Aeq \\al(4,4)．∵多减去了2位男生既连续出场，女生甲又排在第一个的方法数Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)，∴满足条件的出场顺序有Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种，故D正确．故选C．
29．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆
放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A．Aeq \\al(5,5)种 B．Aeq \\al(2,2)种 C．Aeq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)种 D．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)种
29．答案 D 解析 由于红色菊花放正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，故红菊花两边各有
一盆白色和黄色菊花．故有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝16种不同摆放方法．
30．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相
邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
30．答案 B 解析 法一 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声
节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□，小品1，歌舞1，小品2，□，相声，□”，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□，小品1，□，相声，□，小品2，□”．有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,4)＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
法二 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(3,4)＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．
题型四 涂色与种植问题
31．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求相邻的2个格子颜
色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)
31．答案 750 解析 首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三
个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．
32．如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各
不相同，共有________种不同的涂法．
32．答案 18 解析 ①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依
次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6(种)不同的涂法．所以根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18(种)不同的涂法．
33．如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1
种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法(用数字作答)．
33．答案 260 解析 区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：
若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．
34．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同
的涂法有________种．
34．答案 72 解析 法一 首先涂A有4种涂法，再涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂
法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．
法二 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．
35．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不
同的涂色方法有________种．
35．答案 180 解析 依次给区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ涂色分别有5，4，3，3种方法，根据分步乘法计数原
理，不同的涂色方法的种数为5×4×3×3＝180．
36．用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
则不同的涂色方法种数为( )
A．120 B．160 C．180 D．240
36．答案 C 解析 根据题意，因为规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，
区域A有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．故选C．
37．如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，
相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________(用数字作答)．
37．答案 96 解析 按区域1与3是否同色分类：①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再
涂区域2，4，5(还有3种颜色)有Aeq \\al(3,3)种方法．∴区域1与3涂同色，共有4Aeq \\al(3,3)＝24种方法．②区域1与3不同色：先涂区域1与3有Aeq \\al(2,4)种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有Aeq \\al(2,4)×2×1×3＝72种方法．由分类加法计数原理， 不同的涂色种数为24＋72＝96．
38．如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图．现在提供5种颜色给5
个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为( )
A．120 B．26 C．340 D．420
38．答案 D 解析 如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：
①区域A有5种颜色可选；②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选；③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选；④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择．综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种)．
39．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜
色不同，则不同的涂色方法有( )
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
39．答案 C 解析 分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，
有4×3×2＝24种；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种．故不同的涂色方法有48＋24＝72种．
40．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5
种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为________．
40．答案 420 解析 按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C
同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法．第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法．根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．
题型五 不同元素分组分配问题
41．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相
应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
41．答案 90 解析 先把6个毕业生平均分成3组，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，
有Aeq \\al(3,3)＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90种分派方法．
42．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研
究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A．eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3))Aeq \\al(4,4)种 B．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34种 C．eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))43种 D．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)43种
42．答案 B 解析 方法一 首先将12名同学平均分成四组，有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))种分法，然后将这四组同学分
配到四个不同的课题组，有Aeq \\al(4,4)种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))·Aeq \\al(4,4)·34＝Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34(种)，故选B．
方法二 根据题意可知，第一组分3名同学有Ceq \\al(3,12)种分法，第二组分3名同学有Ceq \\al(3,9)种分法，第三组分3名同学有Ceq \\al(3,6)种分法，第四组分3名同学有Ceq \\al(3,3)种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(3,3)34种，故选B．
43．(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安
排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
43．答案 36 解析 由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2
组各1人，有Ceq \\al(2,4)＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有Aeq \\al(3,3)＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
44．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算
(即筹算)太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有( )
A．eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5)A\\al(3,3),A\\al(2,2))种 B．eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5)A\\al(2,2),A\\al(3,3))种 C．eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5),A\\al(2,2))种 D．Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5)种
44．答案 A 解析 先将14种计算器械分为三组，方法数为eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5),A\\al(2,2))，再分给3个人，方法数为eq \f(C\\al(4,14)C\\al(5,10)C\\al(5,5),A\\al(2,2))
×Aeq \\al(3,3)，故选A．
45．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，
剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )
A．90种 B．180种 C．270种 D．360种
45．答案 B 解析 根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有Ceq \\al(1,6)＝
6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有Ceq \\al(1,5)＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案．
46．(2020·新高考Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，
乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
46．答案 C 解析 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有Ceq \\al(1,6)种选法，再从剩余的5名同学中选2名
安排到乙场馆，有Ceq \\al(2,5)种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有Ceq \\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法．
47．(2020·新高考Ⅱ)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少
1人，则不同的分配方案共有( )
A．4种 B．5种 C．6种 D．8种
47．答案 C 解析 先将3名大学生分成2组，有Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(2,2)种分法，再分配到2个村，有Aeq \\al(2,2)种分法，则不
同的分配方案共有Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝6(种)．
48．(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
48．答案 ABC 解析 对A，先从6本书中分给甲2本，有Ceq \\al(2,6)种方法；再从其余的4本书中分给乙2
本，有Ceq \\al(2,4)种方法；最后的2本书给丙，有Ceq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90种，故A正确；对B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有Ceq \\al(4,6)种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有Ceq \\al(4,6)Aeq \\al(3,3)＝90种，故B正确；对C，6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)种方法；其余2本分给丙、丁，有Aeq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)＝180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人， 所以不同的分配方法有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(4,4)＝1 080种，故D错误．
49．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛．若每个同
学可以自由选择，则不同的选择种数是 ，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是 ．(用数字作答)
49．答案 243 30 解析 若每个同学可以自由选择，由分步乘法计数原理可得，不同的选择种数是35
＝243；因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案．当分配方案为2，2，1时，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝18种；当分配方案为3，1，1时，共有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12种．所以不同的选择种数是18＋12＝30．
50．(多选)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是( )
A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
50．答案 BCD 解析 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故
A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有Ceq \\al(2,4)(Aeq \\al(2,2)＋1)＝18(种)放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有Ceq \\al(1,4)·eq \f(C\\al(1,4)·C\\al(1,3)·C\\al(2,2)·A\\al(3,3),A\\al(2,2))＝144(种)放法，故C正确；若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)共9种放法，故D正确．故选BCD．
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