高考数学二轮复习专题25 三角形中面积的计算问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题25　三角形中面积的计算问题

【高考真题】

1．(2022·新高考Ⅱ) 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三

角形的面积依次为，已知．

(1)求的面积；

(2)若，求b．

2．(2022·浙江) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【知识总结】

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2．三角形面积公式

S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算R、r．

3．解三角形有关的二级结论

(1)三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－．

(2)三角形中的三角函数关系

①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠)；④sin＝cos；⑤cos＝sin．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠)．

(3)三角形中的不等关系

①在三角形中大边对大角，大角对大边．

②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．

③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B<，sinA<cosB，cosA>sinB．

④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．

⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．

⑥若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈，则1＜sin x＋cos x≤．

(4)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．

注意：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；

③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．

【方法总结】

三角形中面积的计算问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，此类问题一般是一问计算角或边，另一问计算面积．对于计算面积的一问一般用公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．但要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．

【题型突破】

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0．

(1)若B＝，求A，C；

(2)若C＝，c＝14，求S△ABC．

2．(2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝

sinAcosA－sinBcosB．

(1)求角C的大小；

(2)若sinA＝，求△ABC的面积．

3．(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2．

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

4．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC＝－，AB＝3，BD＝．

(1)求AD的长；

(2)求△ABC的面积．

5．已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，

c＝3．

(1)求A；

(2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．

6．已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c．若csinA＝acosC．

(1)求角C；

(2)若c＝且sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，求△ABC的面积．

7．(2020·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．

(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；

(2)若sin A＋sin C＝，求C．

8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C－ccos(B＋C)＝－．

(1)求tan C；

(2)若c＝3，sin Asin B＝，求△ABC的面积．

9．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点D在BC上，且cos∠ADC＝．

(1)求BD；

(2)若cos∠CAD＝，求△ABC的面积．

10．在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，b＝．

(1)若cos Acos C＝，求△ABC的面积；

(2)试问＋＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不成立，请说明理由．

11．(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．

(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

12．(2020·北京)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)a的值；

(2)sin C和△ABC的面积．

条件①：c＝7，cos A＝－；

条件②：cos A＝，cos B＝．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

13．在①cos A＝，cosC＝；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝三个条件中任选一个填

至横线上，并加以解答．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S．

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

14．从①B＝，②a＝2，③bcos A＋acos B＝＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决

相应问题．

已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且________，求△ABC的面积S的大小．

15．在条件①(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，②asinB＝bcos，

③bsin＝asinB中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2，________，求△ABC的面积．

16．在①2ccos B＝2a－b，②△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，③cos2A－cos2C＝sin2B－sin

Asin B，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且        ．

(1)求角C的大小；

(2)若c＝2且4sin Asin B＝3，求△ABC的面积．

17．在①sin B＝cos B＋1，②2bsin A＝atan B，③(a－c)sin A＋csin C＝bsin B这三个条件中任选一个，

补充在下面横线上，并加以解答．

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝，b＝，若________，求角B的值与△ABC的面积．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

18．在条件①btan A＝(2c－b)tan B，②cos 2A＋2cos2＝1，③sin B＝2sin C中任选一个，

补充到下列问题中，并给出问题解答．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2．

(1)求角A的值；

(2)求△ABC的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．在①＝；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B这三个条件中任选一个，补

充在下面的横线上，并加以解答．

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________．

(1)求角B；

(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．

20．在①sin A，sin C，sin B成等差数列；②a∶b∶c＝4∶3∶2；③bcos A＝1这三个条件中任选一个，补

充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＋bsin B ＝csin C，c＝1，        ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．