高考数学二轮复习专题30 数列中裂项相消法求和问题(2份打包，教师版+原卷版)

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专题30　数列中裂项相消法求和问题 【高考真题】1．(2022·新高考Ⅰ)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【方法总结】裂项相消法求和裂项相消法裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．常用的裂项公式(1)若{an}是等差数列，则＝，＝；(2)＝－，＝；(3)＝；(4)＝；(5)＝－(6)＝－，＝(－)；(7)loga＝loga(n＋1)－logan；(8)＝－，＝；(9)＝－；(10)＝－；(11) (－1)n＝(－1)n．注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．【题型突破】1．在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn．2．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝．(1)求证：数列是等差数列；(2)若bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn．3．(2017·全国Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．4．(2015·全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．5．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．6．在数列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝lg，求数列{bn}的前n项和Sn．7．已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2．(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；(2)求数列的前n项和Tn．8．(2018·天津)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，①求Tn；②证明：＝－2(n∈N*)．9．已知数列{an}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S2n－1＝a．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn．10．在等差数列{an}中，已知a6＝16，a18＝36．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn．在①bn＝，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①bn＝nan，②bn＝③bn＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，其中a1，a2＋1，a3＋1成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记________，求数列{bn}的前2n项和T2n．12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5．(1)求{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn≤．13．在等比数列{an}中，首项a1＝8，数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，又设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<．14．已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<．15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝log2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：＋＋…＋<2．16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<(n∈N*)．17．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列前n项的和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．18．设函数f(x)＝＋(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f()，n∈N*，且n≥2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围．19．已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋1－1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．20．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<成立的最大的正整数n．