高考数学二轮复习专题35 分布列与期望及决策问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·全国甲理) 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0
分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
1．解析 (1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 SKIPIF 1 < 0 ，所以甲学校获得冠军的概率为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
(2)依题可知， SKIPIF 1 < 0 的可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的分布列为
期望 SKIPIF 1 < 0
2．(2022·北京) 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)
的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
2．解析 (1)由频率估计概率可得，
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4
(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
∴X的分布列为
∴ SKIPIF 1 < 0
(3)丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，甲获得9.80的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，乙获得9.78的概率为 SKIPIF 1 < 0 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．
【知识总结】
离散型随机变量X的分布列为
则，(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝eq \i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi.
(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．
【题型突破】
1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4班准备从《唱
支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的．
(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；
(2)记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X的分布列与均值．
1．解析 (1)4个班每个班各选一首红歌基本事件总数为54，
“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”的事件A有Ceq \\al(2,4)·42个基本事件，
从而“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”的概率为P(A)＝eq \f(C\\al(2,4)·42,54)＝eq \f(96,625)．
(2)随机变量的所有可能值为1，2，3，4，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5),54)＝eq \f(1,125)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C\\al(1,4)C\\al(3,3)＋\f(C\\al(2,4)·C\\al(2,2),A\\al(2,2))))A\\al(2,2),54)＝eq \f(28,125)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(2,4)A\\al(3,3),54)＝eq \f(72,125)，P(X＝4)＝eq \f(A\\al(4,5),54)＝eq \f(24,125)，
故X的分布列为
∴X的均值E(X)＝1×eq \f(1,125)＋2×eq \f(28,125)＋3×eq \f(72,125)＋4×eq \f(24,125)＝eq \f(369,125)．
2．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子
中，每个小球的放置相互独立．
(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；
(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；
(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X)．
2．解析 (1)记“三个小球恰在同一个盒子中”为事件A，则P(A)＝eq \f(4,43)＝eq \f(1,16)．
(2)记“三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同”为事件B，
其中，装有小球的三个盒子中不含4号盒子为事件B1，含4号盒子为事件B2，
则P(B1)＝eq \f(2×1,43)＝eq \f(2,64)＝eq \f(1,32)，P(B2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)×（1＋2×1）,43)＝eq \f(9,64)．
∵事件B1，B2互斥，∴P(B)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq \f(11,64)．
(3)X的所有可能取值为1，2，3，4，则
P(X＝1)＝eq \f(43－33,43)＝eq \f(37,64)，P(X＝2)＝eq \f(33－23,43)＝eq \f(19,64)，
P(X＝3)＝eq \f(23－13,43)＝eq \f(7,64)，P(X＝4)＝eq \f(1,43)＝eq \f(1,64)，
∴随机变量X的分布列为
∴E(X)＝1×eq \f(37,64)＋2×eq \f(19,64)＋3×eq \f(7,64)＋4×eq \f(1,64)＝eq \f(25,16)．
3．某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自
然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金．其他不中奖，没有奖金．
(1)求员工A中二等奖的概率；
(2)设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；
(3)员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望．
3．解析 (1)记事件“员工A中二等奖”为M，有放回依次取三个球的取法有103种．
中二等奖取法有2Ceq \\al(2,10)＝90种，则P(M)＝eq \f(90,103)＝0.09．
(2)X的可能取值为0，2 000，5 000，10 000．
P(X＝2 000)＝eq \f(Ceq \\al(3,10),103)＝0.12；P(X＝5 000)＝eq \f(90,103)＝0.09；
P(X＝10 000)＝eq \f(10,103)＝0.01；
P(X＝0)＝1－P(X＝2 000)－P(X＝5 000)－P(X＝10 000)＝0.78．
则X的分布列为
(3)由(2)知，员工A中奖奖金的期望
E(X)＝10 000×0.01＋5 000×0.09＋2 000×0.12＋0×0.78＝790(元)，
员工B每次抽奖奖金与员工A一样为790元．
∴员工B两次抽奖中奖奖金的期望为790×2＝1 580(元)．
4．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队
已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为eq \f(1,2)，m，eq \f(1,4)．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为eq \f(1,12)．
(1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；
(2)三个团队有X个在两年内出成果，求X的分布列和均值．
4．解析 (1)设吉利研究所出成果为事件A，北汽科研中心出成果为事件B，长城攻坚站出成果为事件C．
若三个团队中只有长城攻坚站出成果，则P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(C)＝eq \f(1,12)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))(1－m)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)，解得m＝eq \f(1,3)．
吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率为
P＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)＋P(A)·P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)．
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
P(X＝1)＝P(A)P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(B)P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(C)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24)，
P(X＝2)＝P(A)P(B)P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \x\t(B))P(C)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，
P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24)，
所以X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(11,24)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,24)＝eq \f(13,12)．
5．随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世
界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)；乙通过笔试、面试的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)；丙通过笔试、面试的概率与乙相同．
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；
(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和均值．
5．解析 (1)设事件A表示“甲被企业M正式录取”，事件B表示“乙被企业M正式录取”，事件C表
示“丙被企业M正式录取”，则P(A)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，P(B)＝P(C)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，
设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”，
则P(D)＝P(eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,6)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(10,27)，
所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率P＝1－P(D)＝1－eq \f(10,27)＝eq \f(17,27).
(2)X的所有可能取值为300,500,700,900，
P(X＝300)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,18)，
P(X＝500)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,18)，
P(X＝700)＝2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，
P(X＝900)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9).
所以X的分布列为
E(X)＝300×eq \f(1,18)＋500×eq \f(5,18)＋700×eq \f(4,9)＋900×eq \f(2,9)＝eq \f(2 000,3).
6．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，
各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
6．解析 用Ai表示事件“设备在一天的运转中，部件i需要调整”，i＝1，2，3.
(1)用A表示事件“设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整”，则A＝A1A2，且A1，A2相互独立．从而P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝(1－0.1)×(1－0.2)＝0.72，
P(A)＝1－P(A)＝0.28.
所以部件1，2中至少有1个需要调整的概率为0.28.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，
P(X＝1)＝P(A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝3)]＝1－(0.504＋0.398＋0.006)＝0.092.
所以X的分布列为：
所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6.
7．下象棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校
象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛．现某班有12位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛(规则采用“中国数目法”，没有和棋)，即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3∶0，3∶1，3∶2三种赛式)．
9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分．第10轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为eq \f(2,3)，丙获胜的概率为eq \f(1,3)，各局比赛结果相互独立．
(1)①在第10轮比赛中，甲所得积分为X，求X的分布列；
②求第10轮结束后，甲的累计积分Y的均值；
(2)已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛(“提前一轮”即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．
7．解析 (1)①由题意得，随机变量X的可能取值为3，2，1，0，
则P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＋Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(2,3)＝eq \f(16,27)，P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(16,81)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(8,81)，P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＋Ceq \\al(1,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(1,9)，
所以X的分布列为
②随机变量Y的可能取值为29，28，27，26，
则E(Y)＝eq \f(16,27)×29＋eq \f(16,81)×28＋eq \f(8,81)×27＋eq \f(1,9)×26＝eq \f(2 290,81)．
(2)若X＝3，则甲10轮后的总积分为29分，乙即便第10轮和第11轮都得3分，
则11轮过后的总积分是28分，29>28，
所以甲如果第10轮积3分，则可提前一轮结束比赛，其概率为P(X＝3)＝eq \f(16,27)．
8．一款小游戏的规则如下：每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白
球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3次，则获得200分；若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次，则获得20分；若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．
(1)求一轮游戏中获得20分的概率；
(2)很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加而是减少了，请运用概率统计的相关知识解释这种现象．
8．解析 (1)每轮游戏要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸
出2个球，所以每次游戏出现“摸出的两个都是红球”的概率为P＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10)．
设每轮游戏中出现“摸出的两个都是红球”的次数为X，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10)))2＝eq \f(243,1 000)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10)))＝eq \f(27,1 000)，
所以一轮游戏中获得20分的概率P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(243,1 000)＋eq \f(27,1 000)＝eq \f(27,100)．
(2)若“摸出的两个都是红球”出现3次获得200分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次获得20分，
若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．
设每轮游戏得分为Y，则Y的取值为－10，20，200，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10)))3＝eq \f(729,1 000)，P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))3＝eq \f(1,1 000)．
由(1)知，Y的分布列为
E(Y)＝－10×eq \f(729,1 000)＋20×eq \f(27,100)＋200×eq \f(1,1 000)＝－1.69．
这表明，获得分数Y的均值为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了．
9．“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中
可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为eq \f(2,3)，乙获胜的概率为eq \f(1,3)；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为eq \f(1,2)，每局比赛结果相互独立．
(1)求4局比赛决出胜负的概率；
(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．
9．解析 (1)设前24分钟比赛甲胜出分别为Ai(i＝1，2，3)，乙胜出分别为Bi(i＝1，2，3)，
在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为C，4局比赛决出胜负记为事件D.
则P(D)＝P(A1A2CC＋A1A2A3C＋B1B2CC＋B1B2B3C)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(11,36).
(2)X的可能取值为4，5，6，7.
P(X＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)；
P(X＝5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋C32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)(eq \f(1,3))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋C31(eq \f(2,3))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)；
P(X＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＋C32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)(eq \f(1,3))1C21eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＋C31(eq \f(2,3))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＋C32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)(eq \f(2,3))1C21eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＋C31(eq \f(1,3))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(7,24)；
P(X＝7)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＋C32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)(eq \f(1,3))1C31eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＋C31(eq \f(2,3))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)C32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＋C32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)(eq \f(2,3))1C31eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＋C31(eq \f(1,3))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)C32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(7,24)；
所以，随机变量X的概率分布列为：
X的数学期望为E(X)＝4×eq \f(1,6)＋5×eq \f(1,4)＋6×eq \f(7,24)＋7×eq \f(7,24)＝eq \f(137,24).
10．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
10．解析 (1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500，
由表格数据知P(X＝200)＝ eq \f(2＋16,90) ＝0.2，P(X＝300)＝ eq \f(36,90) ＝0.4，
P(X＝500)＝ eq \f(25＋7＋4,90) ＝0.4.
因此X的分布列为
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n