高考数学二轮复习专题40 圆锥曲线中的最值与范围问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题40　圆锥曲线中的最值与范围问题

【高考真题】

1．(2022·浙江) 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段

上，直线分别交直线于C，D两点．

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(2)求的最小值．

2．(2022·全国甲理) 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当

直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

【方法总结】

1．最值问题的常用方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．

2．范围问题常用方法

(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．

(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围．

【题型突破】

1．(2020·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．

2．(2020·浙江)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2

的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．

(1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标；

(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

3．如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，

且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

4．(2021·全国乙)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小

值为4．

(1)求p的值；

(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

5．已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p>0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)且F1F2⊥OP(O为坐

标原点)．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，

F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．

7．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是2，点P为C1上一动点，且满足P与点A1(－a，0)，A2(a，

0)连线斜率之积为－.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)当点P在x轴上方时，过P点作椭圆C1的切线l交抛物线C2：x2＝y于A，B两点，点P关于原点O的对称点为Q.求△QAB面积的最小值．

8．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

9．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线y＝x－相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最小值．

10．已知椭圆方程为＋＝1，若抛物线x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点．

(1)求该抛物线的方程；

(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

11．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，|AB|＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l：x＝my－1与椭圆C交于不同的两点M，N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．

12．(2019·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

13．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是e，定义直线y＝±为椭圆的“类准线”，

已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±4，长轴长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点(点E，F与点A不重合)，且满足AE⊥AF，若点P满足2＝＋，求直线AP的斜率的取值范围．

14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，)，离心率为e＝，记椭圆C的右焦点为F，过点F且

斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M(x0，0)，求x0的取值范围．

15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截

得的弦长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．

16．如图，已知M(1，2)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，过点D(2，－2)的直线与抛物线C交于A，B

两点(A，B两点异于M)，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2.

(1)求k1k2的值；

(2)记△AMD，△BMD的面积分别为S1，S2，当k1∈[1，2]时，求的取值范围．

17．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2

的面积为2.

(1)求椭圆E的长轴A1A2的最小值，并确定此时椭圆E的方程；

(2)对于(1)中确定的椭圆E，设过定点M(－2，0)的直线l与椭圆E相交于P，Q两点，若＝λ，当λ∈时，求△OPQ的面积S的取值范围．

18．已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a＞0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛

物线y2＝2px(p＞0)在第一象限分别交于D，C两点．

(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；

(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．

19．已知抛物线C1：x2＝py过点(2，1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与抛物线C1的焦点重

合，过F1且与长轴垂直的直线交椭圆C2于A，B两点，且|AB|＝3.

(1)求抛物线C1与椭圆C2的方程；

(2)若曲线C3是以坐标原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线l与圆C3相切，且与椭圆C2交于M，N两点，若△OMN的面积为S，求S的取值范围．

20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点．当

P是C的上顶点时，△F1PF2的面积为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q，是否存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．