高中数学高考第01讲 集合（教师版）

第1讲   集合

思维导图

知识梳理

1．集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：

确定性、无序性、互异性

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.

(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.

(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.

(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.

3．集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

核心素养分析

在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。

能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。掌握集合的基本关系与基本运算在数学表达中的作用。

重点提升数学抽象和数学运算素养。

题型归纳

题型1    集合的基本概念

【例1-1】（2020•东湖区校级模拟）设集合，，，若，则　　

A．或或2 B．或 C．或2 D．或2

【分析】分别由，，求出的值，代入观察即可．

【解答】解：若，则，

，

，4，；

若，则或，

时，

，，；

时，（舍，

故选：．

【例1-2】（2020·山东校级模拟）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

【解答】解：　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.

【跟踪训练1-1】（2019秋•徐汇区校级期末）已知复数，满足集合，，，则　     .　

【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．

【解答】解：根据集合相等的条件可知，若，，，

则①或②，

由①得：不存在，不满足条件．

由②得，若，；

则两式相结合得或，

；

故答案为：1．

【跟踪训练1-2】（2020•大连模拟）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)

A．3　　　　　　　　　　 B．4

C．5  D．6

【解答】解：　a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4.故选B.

【跟踪训练1-3】（2020•徐汇区校级模拟）已知实数集合，2，3，的最大元素等于该集合的所有元素之和，则　　．

【分析】根据题意求元素的关系．

【解答】解：因为实数集合，2，3，的最大元素等于该集合的所有元素之和，

所以（无解）或者，

解之得．

故答案为．

【名师指导】

与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．

(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

题型2    集合的基本关系

【例2-1】（2020•成都模拟）已知集合，，，2，，若，则实数的值为　　

A．0或2 B．0或4 C．2或4 D．0或2或4

【分析】由得中元素一定在中，求出．

【解答】解：因为，，，2，，，所以，4．

故选：．

【例2-2】（2020春•金凤区校级期中）已知集合，，，若，则实数的取值范围是　 　．

【分析】求出集合或，，利用，，能求出实数的取值范围．

【解答】解：集合，

，

或，，

，，

，解得．

实数的取值范围是，．

故答案为：，．

【例2-3】已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．

【解答】解：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}．

若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，

所以所以0<m≤1.

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．

【跟踪训练2-1】（多选）（2019秋•宿迁期末）已知集合，，．若，则实数的值可能是　　

A． B．1 C．2 D．5

【分析】利用，求出的范围，即可判断．

【解答】解：，

，

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020春•海淀区校级期中）设集合，，，，若，则的取值范围为　　．

【分析】先化简集合，再根据，得到关于的不等式求出的取值范围．

【解答】解：由，得，，

由得，．

又当时，，满足，时，，满足，

．

故答案为：，．

【跟踪训练2-3】已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

【解答】解①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－，此时B＝，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．

【名师指导】

根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；

(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．

题型3    集合的基本运算

【例3-1】（2020•新课标Ⅱ）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{﹣2，3} B．{﹣2，2，3） 

C．{﹣2，﹣1，0，3} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}

【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．

【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，

则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，

则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，

故选：A．

【例3-2】（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】利用交集定义求出A∩B＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．由此能求出A∩B中元素的个数．

【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，

∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．

∴A∩B中元素的个数为4．

故选：C．

【例3-3】（2019•巢湖市一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为　　

A．， B． C． D．，

【分析】结合数轴可求时的的范围，再求解即可．

【解答】解：结合数轴可知，当时，，

故，则实数的取值范围，

故选：．

【例3-4】定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)

A．6  B．7

C．8  D．9

【解答】解：　由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素．

【跟踪训练3-1】（2020•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（　　）

A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}

【分析】求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案．

【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，

则A∩B＝{1，3}，

故选：D．

【跟踪训练3-2】（2020•海南）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（　　）

A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}

【分析】利用并集定义和不等式的性质直接求解．

【解答】解：∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，

∴A∪B＝{x|1≤x＜4}．

故选：C．

【跟踪训练3-3】（2020•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4

【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得a．

【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|xa}，

由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得a＝1，

则a＝﹣2．

故选：B．

【跟踪训练3-4】（2020•毕节市模拟）已知全集，集合，2，3，4，，，则图中阴影部分表示的集合为　　

A．，2，3，4， B．，2， C．， D．，4，

【分析】求出集合，，从而求出，图中阴影部分表示的集合为，由此能求出结果．

【解答】解：全集，集合，2，3，4，，

，

．

图中阴影部分表示的集合为：

，2，．

故选：．

【跟踪训练3-5】（2020•镇江三模）已知集合，，，，若，则实数　 　．

【分析】根据即可得出或或或，然后验证即可求出的值．

【解答】解：，

，，

或或或，

经验证得，．

故答案为：1．

【跟踪训练3-6】（2019秋•闵行区校级期中）任意两个正整数、，定义某种运算，则集合，，中元素的个数是　　．

【分析】根据新定义，对，的奇偶性分三种情况讨论，分别求出符合题意的点即可．

【解答】解：①当与都为奇数时，有，，

据此可得出，，，3个点符合题意，

②当与都为偶数时，有，

据此可得出，，2个点符合题意，

③当与一奇一偶时，，，

据此可得出，，，，4个点符合题意，

所以共有9个点符合题意，

故答案为：9．

【名师指导】

1.根据集合的运算结果求参数值或范围的方法

(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．

(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．

2.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．